初高中数学衔接知识点专题.doc
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1、个人收集整理 勿做商业用途初高中数学衔接知识点专题临洮二中数学组 董学峰 专题一 数与式的运算【要点回顾】1绝对值1绝对值的代数意义: 即 2绝对值的几何意义: 的距离 3两个数的差的绝对值的几何意义:表示 的距离4两个绝对值不等式:;2乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式:1平方差公式: ;2完全平方和公式: ;3完全平方差公式: 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式:公式1公式2(立方和公式)公式3 (立方差公式)说明:上述公式均称为“乘法公式”3根式1式子叫做二次根式,其性质如下:(1) ;(2) ;(3) ; (4) 2平方根与算术平方根的概念: 叫做的平方根,记作,其中叫
2、做的算术平方根3立方根的概念: 叫做的立方根,记为4分式1分式的意义 形如的式子,若B中含有字母,且,则称为分式当M0时,分式具有下列性质: (1) ; (2) 2繁分式 当分式的分子、分母中至少有一个是分式时,就叫做繁分式,如,说明:繁分式的化简常用以下两种方法:(1) 利用除法法则;(2) 利用分式的基本性质3分母(子)有理化把分母(子)中的根号化去,叫做分母(子)有理化分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分母中的根号的过程;而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分子中的根号的过程【例题选讲】例1 解下列不等式:(1) (2)4例2 计算: (1) (2
3、)(3) (4)例3 已知,求的值例4 已知,求的值例5 计算(没有特殊说明,本节中出现的字母均为正数):(1) (2) (3) (4) 例6 设,求的值例7 化简:(1) (2)(1)解法一:原式= 解法二:原式=(2)解:原式=说明:(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行,当分子、分母为多项式时,应先因式分解再进行约分化简;(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式 【巩固练习】1 解不等式 2 设,求代数式的值3 当,求的值4 设,求的值5 计算6化简或计算:(1) (2) (3) (4) 专题二 因式分解【要点回顾】 因式分解是代数式的一种重要的恒等变形,它与整式乘法是相反方向的变形在分
4、式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用是一种重要的基本技能因式分解的方法较多,除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外,还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等1公式法常用的乘法公式:1平方差公式: ;2完全平方和公式: ;3完全平方差公式: 45(立方和公式)6 (立方差公式)由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形,所以把整式乘法公式反过来写,运用上述公式可以进行因式分解2分组分解法 从前面可以看出,能够直接运用公式法分解的多项式,主要是二项式和三项式而对于四项以上的多项式,如既没有公式可用,也没有公因式可以提取因此,可以先将多项式分组
5、处理这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法分组分解法的关键在于如何分组常见题型:(1)分组后能提取公因式 (2)分组后能直接运用公式3十字相乘法(1)型的因式分解 这类式子在许多问题中经常出现,其特点是:二次项系数是1;常数项是两个数之积; 一次项系数是常数项的两个因数之和,运用这个公式,可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式(2)一般二次三项式型的因式分解由我们发现,二次项系数分解成,常数项分解成,把写成,这里按斜线交叉相乘,再相加,就得到,如果它正好等于的一次项系数,那么就可以分解成,其中位于上一行,位于下一行这种借助画十字交叉线分解系数,从而将二次三项式分解因式的方法,叫做十字
6、相乘法必须注意,分解因数及十字相乘都有多种可能情况,所以往往要经过多次尝试,才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解4其它因式分解的方法其他常用的因式分解的方法:(1)配方法 (2)拆、添项法【例题选讲】例1 (公式法)分解因式:(1) ;(2) 例2 (分组分解法)分解因式:(1) (2)例3 (十字相乘法)把下列各式因式分解:(1) (2) (3) (4) 解:(1)(2) (3)分析:把看成的二次三项式,这时常数项是,一次项系数是,把分解成与的积,而,正好是一次项系数 解: (4) 由换元思想,只要把整体看作一个字母,可不必写出,只当作分解二次三项式解: 例4 (十字相乘法)把下列各式
7、因式分解:(1) ;(2) 解:(1) (2) 说明:用十字相乘法分解二次三项式很重要当二次项系数不是1时较困难,具体分解时,为提高速度,可先对有关常数分解,交叉相乘后,若原常数为负数,用减法”凑”,看是否符合一次项系数,否则用加法”凑”,先”凑”绝对值,然后调整,添加正、负号例5 (拆项法)分解因式【巩固练习】1把下列各式分解因式:(1) (2) (3) (4) (5) 2已知,求代数式的值3现给出三个多项式,请你选择其中两个进行加法运算,并把结果因式分解。4已知,求证: 专题三 一元二次方程根与系数的关系【要点回顾】1一元二次方程的根的判断式一元二次方程,用配方法将其变形为: 由于可以用的
8、取值情况来判定一元二次方程的根的情况因此,把叫做一元二次方程的根的判别式,表示为:对于一元二次方程ax2bxc0(a0),有1当 0时,方程有两个不相等的实数根: ;2当 0时,方程有两个相等的实数根: ;3当 0时,方程没有实数根2一元二次方程的根与系数的关系定理:如果一元二次方程的两个根为,那么: 说明:一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现,所以通常把此定理称为”韦达定理”上述定理成立的前提是 特别地,对于二次项系数为1的一元二次方程x2pxq0,若x1,x2是其两根,由韦达定理可知 x1x2p,x1x2q,即 p(x1x2),qx1x2,所以,方程x2pxq0可化为
9、x2(x1x2)xx1x20,由于x1,x2是一元二次方程x2pxq0的两根,所以,x1,x2也是一元二次方程x2(x1x2)xx1x20因此有 以两个数x1,x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 x2(x1x2)xx1x20【例题选讲】例1 已知关于的一元二次方程,根据下列条件,分别求出的范围:(1)方程有两个不相等的实数根;(2)方程有两个相等的实数根(3)方程有实数根;(4)方程无实数根例2 已知实数、满足,试求、的值例3 若是方程的两个根,试求下列各式的值:(1) ;(2) ;(3) ;(4) 例4 已知是一元二次方程的两个实数根(1) 是否存在实数,使成立?若存在,求出的值;若
10、不存在,请说明理由(2) 求使的值为整数的实数的整数值解:(1) 假设存在实数,使成立 一元二次方程的两个实数根, ,又是一元二次方程的两个实数根, ,但不存在实数,使成立(2) 要使其值是整数,只需能被4整除,故,注意到,要使的值为整数的实数的整数值为【巩固练习】1若是方程的两个根,则的值为()ABCD2若是一元二次方程的根,则判别式和完全平方式的关系是()ABCD大小关系不能确定3设是方程的两实根,是关于的方程的两实根,则= _ _ ,= _ _ 4已知实数满足,则= _ _ ,= _ ,= _ 5已知关于的方程的两个实数根的平方和等于11,求证:关于的方程有实数根6若是关于的方程的两个实
11、数根,且都大于1(1) 求实数的取值范围;(2) 若,求的值专题四 平面直角坐标系、一次函数、反比例函数【要点回顾】1平面直角坐标系1 组成平面直角坐标系。 叫做轴或横轴, 叫做轴或纵轴,轴与轴统称坐标轴,他们的公共原点称为直角坐标系的原点.2 平面直角坐标系内的对称点:对称点或对称直线方程对称点的坐标轴 轴 原点 点 直线 直线 直线 直线 2函数图象 1一次函数: 称是的一次函数,记为:(k、b是常数,k0)特别的,当=0时,称是的正比例函数。2 正比例函数的图象与性质:函数y=kx(k是常数,k0)的图象是 的一条直线,当 时,图象过原点及第一、第三象限,y随x的增大而 ;当 时,图象过
12、原点及第二、第四象限,y随x的增大而 3 一次函数的图象与性质:函数(k、b是常数,k0)的图象是过点(0,b)且与直线y=kx平行的一条直线。设(k0),则当 时,y随x的增大而 ;当 时, y随x的增大而 4反比例函数的图象与性质:函数(k0)是双曲线,当 时,图象在第一、第三象限,在每个象限中,y随x的增大而 ;当 时,图象在第二、第四象限.,在每个象限中,y随x的增大而 双曲线是轴对称图形,对称轴是直线与;又是中心对称图形,对称中心是原点【例题选讲】例1 已知、,根据下列条件,求出、点坐标(1) 、关于x轴对称;(2) 、关于y轴对称;(3) 、关于原点对称例2已知一次函数ykx2的图
13、象过第一、二、三象限且与x、y轴分别交于、两点,O为原点,若AOB的面积为2,求此一次函数的表达式。 例3如图,反比例函数的图象与一次函数的图象交于,两点(1)求反比例函数与一次函数的解析式;(2)根据图象回答:当取何值时,反比例函数的值大于一次函数的值解:(1)在的图象上,, 又在的图象上,即 ,解得:, 反比例函数的解析式为,一次函数的解析式为, (2)从图象上可知,当或时,反比例函数图象在一次函数图象的上方,所以反比例函数的值大于一次函数的值。【巩固练习】1函数与在同一坐标系内的图象可以是( ) 2如图,平行四边形ABCD中,A在坐标原点,D在第一象限角平分线上,又知,,求点的坐标 3如
14、图,已知直线与双曲线交于两点,且点的横坐标为(1)求的值;(2)过原点的另一条直线交双曲线于两点(点在第一象限),若由点为顶点组成的四边形面积为,求点的坐标 专题五 二次函数【要点回顾】1 二次函数yax2bxc的图像和性质问题1 函数yax2与yx2的图象之间存在怎样的关系?问题2 函数ya(xh)2k与yax2的图象之间存在怎样的关系?由上面的结论,我们可以得到研究二次函数yax2bxc(a0)的图象的方法:由于yax2bxca(x2)ca(x2)c, 所以,yax2bxc(a0)的图象可以看作是将函数yax2的图象作左右平移、上下平移得到的,二次函数yax2bxc(a0)具有下列性质:1
15、当a0时,函数yax2bxc图象开口方向 ;顶点坐标为 ,对称轴为直线 ;当 时,y随着x的增大而 ;当 时,y随着x的增大而 ;当 时,函数取最小值 2当a0时,函数yax2bxc图象开口方向 ;顶点坐标为 ,对称轴为直线 ;当 时,y随着x的增大而 ;当 时,y随着x的增大而 ;当 时,函数取最大值 上述二次函数的性质可以分别通过上图直观地表示出来因此,在今后解决二次函数问题时,可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题2二次函数的三种表示方式1二次函数的三种表示方式:(1)一般式: ;(2)顶点式: ;(3)交点式: 说明:确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法,在选择把二
16、次函数的关系式设成什么形式时,可根据题目中的条件灵活选择,以简单为原则二次函数的关系式可设如下三种形式:给出三点坐标可利用一般式来求;给出两点,且其中一点为顶点时可利用顶点式来求给出三点,其中两点为与x轴的两个交点。时可利用交点式来求3分段函数一般地,如果自变量在不同取值范围内时,函数由不同的解析式给出,这种函数,叫作分段函数【例题选讲】例1 求二次函数y3x26x1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值(或最小值),并指出当x取何值时,y随x的增大而增大(或减小)?并画出该函数的图象例2 某种产品的成本是120元/件,试销阶段每件产品的售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间关系如下表所示
17、:x /元130150165y/件705035若日销售量y是销售价x的一次函数,那么,要使每天所获得最大的利润,每件产品的销售价应定为多少元?此时每天的销售利润是多少? 例3 已知函数,其中,求该函数的最大值与最小值,并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值 例4 根据下列条件,分别求出对应的二次函数的关系式(1)已知某二次函数的最大值为2,图像的顶点在直线yx1上,并且图象经过点(3,1);(2)已知二次函数的图象过点(3,0),(1,0),且顶点到x轴的距离等于2;(3)已知二次函数的图象过点(1,22),(0,8),(2,8) 例5 在国内投递外埠平信,每封信不超过20g付邮资8
18、0分,超过20g不超过40g付邮资160分,超过40g不超过60g付邮资240分,依此类推,每封xg(0x100)的信应付多少邮资(单位:分)?写出函数表达式,作出函数图象分析:由于当自变量x在各个不同的范围内时,应付邮资的数量是不同的所以,可以用分段函数给出其对应的函数解析式在解题时,需要注意的是,当x在各个小范围内(如20x40)变化时,它所对应的函数值(邮资)并不变化(都是160分)解:设每封信的邮资为y(单位:分),则y是x的函数这个函数的解析式为 由上述的函数解析式,可以得到其图象如图所示【巩固练习】1选择题:(1)把函数y(x1)24的图象的顶点坐标是 ( ) (A)(1,4) (
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