2015年高考理科数学全国一卷真题.doc

2015年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学（全国Ⅰ卷）

注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.
4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷
一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设复数z满足=，则|z|=（ ）
（A）1 （B） （C） （D）2
2． =（ ）
（A） （B） （C） （D）
3．设命题：，则为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）
（A）0.648 （B）0.432 （C）0.36 （D）0.312
5．已知M（）是双曲线C：上的一点，是C上的两个焦点，若，则的取值范围是（ ）
（A）（-，） （B）（-，）
（C）（，） （D）（，）
6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ）
（A）14斛 （B）22斛 （C）36斛 （D）66斛
7．设为所在平面内一点，则（ ）
（A） （B）
（C） （D）
8．函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（ ）
（A） （B）
（C） （D）

9．执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（ ）

（A）5 （B）6 （C）7 （D）8
10．的展开式中，的系数为（ ）
（A）10 （B）20 （C）30 （D）60
11．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20，则r=（ ）

（A）1 （B）2 （C）4 （D）8
12．设函数=,其中a1，若存在唯一的整数，使得0，则的取值范围是（ ）
（A）[-，1） （B）[-，） （C）[，） （D）[，1）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若函数f（x）=为偶函数，则a=
14．一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 .
15．若满足约束条件，则的最大值为 .
16．在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是 .

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17．（本小题满分12分）为数列{}的前项和.已知＞0，=.
（Ⅰ）求{}的通项公式；
（Ⅱ）设 ,求数列{}的前项和.

18．如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.

（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面AFC；
（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.

19．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量（=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

46.6
56.3
6.8
289.8
1.6
1469
108.8

表中 ， =
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（ⅰ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ⅱ）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？
附：对于一组数据,，……，,其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

20．（本小题满分12分）在直角坐标系中，曲线C：y=与直线（＞0）交与M,N两点，
（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；
（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.

21．（本小题满分12分）已知函数f（x）=.
（Ⅰ）当a为何值时，x轴为曲线 的切线；
（Ⅱ）用 表示m,n中的最小值，设函数 ，讨论h（x）零点的个数.

22．（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，AB是的直径，AC是的切线，BC交于E.

（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是的切线；
（Ⅱ）若，求∠ACB的大小.

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线:=2，圆：,以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求，的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线的极坐标方程为，设与的交点为, ,求的面积.

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数=|x+1|-2|x-a|，a>0.
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）>1的解集；
（Ⅱ）若f（x）的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.

2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国I卷)《理科数学》试卷参考答案

第Ⅰ卷
一、选择题：
1．答案:A
解:由得，==，故|z|=1，故选A.
2．答案:D
解:原式= ==，故选D.
3．答案:C
解::，故选C.
4．答案:A
解:根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为=0.648，故选A.
5．答案:A
解:由题知，，所以= =，解得，故选A.
6．答案:B
解:设圆锥底面半径为r，则=，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为÷1.62≈22，故选B.
7．答案:A
解:由题知=，故选A.
8．答案:D
解:由五点作图知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故单调减区间为（，），，故选D.
9．答案:C
解:执行第1次，t=0.01,S=1,n=0,m==0.5,S=S-m=0.5,=0.25,n=1,S=0.5＞t=0.01,是，循环，执行第2次，S=S-m=0.25,=0.125,n=2,S=0.25＞t=0.01,是，循环，执行第3次，S=S-m=0.125,=0.0625,n=3,S=0.125＞t=0.01,是，循环，执行第4次，S=S-m=0.0625,=0.03125,n=4,S=0.0625＞t=0.01,是，循环，执行第5次，S=S-m=0.03125,=0.015625,n=5,S=0.03125＞t=0.01,是，循环，执行第6次，S=S-m=0.015625,=0.0078125,n=6,S=0.015625＞t=0.01,是，循环，执行第7次，S=S-m=0.0078125,=0.00390625,n=7,S=0.0078125＞t=0.01,否，输出n=7，故选C.
10．答案:C
解:在的5个因式中，2个取因式中剩余的3个因式中1个取，其余因式取y,故的系数为=30，故选 C.
11．答案:B
解:由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为==16 + 20，解得r=2，故选B.
12．答案:D
解:设=，，由题知存在唯一的整数，使得在直线的下方.
因为，所以当时，＜0，当时，＞0，所以当时，=，
当时，=-1，，直线恒过（1,0）斜率且，故，且，解得≤＜1，故选D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．答案:1
解:由题知是奇函数，所以 =，解得=1.
14．答案:
解:设圆心为（，0），则半径为，则，解得，故圆的方程为.
15．答案:3
解:作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A（1,3）与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.

16．答案:（，）
解:如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合与E点时，AB最长，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得，即，解得=，平移AD ，当D与C重合时，AB最短，此时与AB交于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，，即，解得BF=，所以AB的取值范围为（，）.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17．答案:（Ⅰ）（Ⅱ）
解:试题分析：（Ⅰ）先用数列第项与前项和的关系求出数列{}的递推公式，可以判断数列{}是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列{}的通项公式；（Ⅱ）根据（Ⅰ）数列{}的通项公式，再用拆项消去法求其前项和.
试题解析：（Ⅰ）当时，，因为，所以=3，
当时，==，即，因为，所以=2，
所以数列{}是首项为3，公差为2的等差数列，
所以=；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=，
所以数列{}前n项和为= =.
18．答案:（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
解:
试题分析：（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG，FG，EF，在菱形ABCD中，不妨设GB=1易证EG⊥AC，通过计算可证EG⊥FG，根据线面垂直判定定理可知EG⊥平面AFC，由面面垂直判定定理知平面AFC⊥平面AEC；（Ⅱ）以G为坐标原点，分别以的方向为轴，y轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，利用向量法可求出异面直线AE与CF所成角的余弦值.
解析：（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG，FG，EF，在菱形ABCD中，不妨设GB=1，由∠ABC=120°，可得AG=GC=.
由BE⊥平面ABCD，AB=BC可知，AE=EC，
又∵AE⊥EC，∴EG=，EG⊥AC，
在Rt△EBG中，可得BE=，故DF=.
在Rt△FDG中，可得FG=.
在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，DF=可得EF=，
∴，∴EG⊥FG，
∵AC∩FG=G，∴EG⊥平面AFC，
∵EG面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC.

（Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以的方向为轴，y轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，由（Ⅰ）可得A（0，－，0），E（1,0, ），F（－1,0，），C（0，，0），∴=（1，，），=（-1，-，）.…10分
故.
所以直线AE与CF所成的角的余弦值为.
19．答案:（Ⅰ）适合作为年销售关于年宣传费用的回归方程类型；（Ⅱ）（Ⅲ）46.24
解:
试题分析：（Ⅰ）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（Ⅱ）令，先求出建立关于的线性回归方程，即可关于的回归方程；（Ⅲ）（ⅰ）利用关于的回归方程先求出年销售量的预报值，再根据年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x即可年利润z的预报值；（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值，列出关于的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费用.
试题解析：
（Ⅰ）由散点图可以判断，适合作为年销售关于年宣传费用的回归方程类型.
（Ⅱ）令，先建立关于的线性回归方程，由于=，
∴=563-68×6.8=100.6.
∴关于的线性回归方程为，
∴关于的回归方程为.
（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当=49时，年销售量的预报值
=576.6，
.
（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值
，
∴当=，即时，取得最大值.
故宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大.……12分
20．答案:（Ⅰ）或（Ⅱ）存在
解:
试题分析：（Ⅰ）先求出M,N的坐标，再利用导数求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用设而不求思想即将代入曲线C的方程整理成关于的一元二次方程，设出M,N的坐标和P点坐标，利用设而不求思想，将直线PM，PN的斜率之和用表示出来，利用直线PM，PN的斜率为0,即可求出关系，从而找出适合条件的P点坐标.
解析：（Ⅰ）由题设可得，，或，.
∵，故在=处的到数值为，C在处的切线方程为
，即.
故在=-处的到数值为-，C在处的切线方程为
，即.
故所求切线方程为或.
（Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：
设P（0，b）为复合题意得点，，，直线PM，PN的斜率分别为.
将代入C得方程整理得.
∴.
∴==.
当时，有=0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，
故∠OPM=∠OPN，所以符合题意.
考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力
21．答案:（Ⅰ）；（Ⅱ）当或时，由一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点.
解:
试题分析：（Ⅰ）先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的值；（Ⅱ）根据对数函数的图像与性质将分为研究的零点个数，若零点不容易求解，则对再分类讨论.
试题解析：（Ⅰ）设曲线与轴相切于点，则，，即，解得.
因此，当时，轴是曲线的切线.
（Ⅱ）当时，，从而，
∴在（1，+∞）无零点.
当=1时，若，则，,故=1是的零点；若，则，,故=1不是的零点.
当时，，所以只需考虑在（0,1）的零点个数.
（ⅰ）若或，则在（0,1）无零点，故在（0,1）单调，而，，所以当时，在（0，1）有一个零点；当0时，在（0，1）无零点.
（ⅱ）若，则在（0，）单调递减，在（，1）单调递增，故当=时，取的最小值，最小值为=.
①若＞0，即＜＜0，在（0,1）无零点.
②若=0，即，则在（0,1）有唯一零点；
③若＜0，即，由于，，所以当时，在（0,1）有两个零点；当时，在（0,1）有一个零点.…10分
综上，当或时，由一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点.

22．
答案:（Ⅰ）见解析（Ⅱ）60°
解:
试题分析：（Ⅰ）由圆的切线性质及圆周角定理知，AE⊥BC，AC⊥AB，由直角三角形中线性质知DE=DC，OE=OB，利用等量代换可证∠DEC+∠OEB=90°，即∠OED=90°，所以DE是圆O的切线；（Ⅱ）设CE=1,由得，AB=，设AE=，由勾股定理得，由直角三角形射影定理可得，列出关于的方程，解出，即可求出∠ACB的大小.
试题解析：（Ⅰ）连结AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB，
在Rt△AEC中，由已知得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，
连结OE，∠OBE=∠OEB，
∵∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°，
∴∠OED=90°，∴DE是圆O的切线.
（Ⅱ）设CE=1，AE=,由已知得AB=，，
由射影定理可得，，
∴，解得=，∴∠ACB=60°.

23．
答案:（Ⅰ）,（Ⅱ）
解:
试题分析：（Ⅰ）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得，的极坐标方程；（Ⅱ）将将代入即可求出|MN|，利用三角形面积公式即可求出的面积.
试题解析：（Ⅰ）因为，
∴的极坐标方程为，的极坐标方程为.……5分
（Ⅱ）将代入，得，解得=，=，|MN|=－=，
因为的半径为1，则的面积=.
24．
答案:（Ⅰ）（Ⅱ）（2，+∞）
解:
试题分析：（Ⅰ）利用零点分析法将不等式f（x）>1化为一元一次不等式组来解；（Ⅱ）将化为分段函数，求出与轴围成三角形的顶点坐标，即可求出三角形的面积，根据题意列出关于的不等式，即可解出的取值范围.
试题解析：（Ⅰ）当a=1时，不等式f（x）>1化为|x+1|-2|x-1|＞1，
等价于或或，解得，
所以不等式f（x）>1的解集为.
（Ⅱ）由题设可得，，
所以函数的图像与轴围成的三角形的三个顶点分别为，，，所以△ABC的面积为.
由题设得＞6，解得.
所以的取值范围为（2，+∞）.

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