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极点与极线背景下的高考试题.doc
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1、极点与极线背景下的高考试题王文彬(江西省抚州市第一中学344000)极点与极线是高等几何中的重要概念,当然不是高中数学课程标准规定的学习内容,也不属于高考考查的范围,但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征,因此在高考试题中必然会有所反映,自然也会成为高考试题的命题背景.作为一名中学数学教师,应当了解极点与极线的概念,掌握有关极点与极线的基本性质,只有这样,才能“识破”试题中蕴含的有关极点与极线的知识背景,进而把握命题规律.PEFGHMANB图11.从几何角度看极点与极线定义1如图1,设是不在圆锥曲线上的一点,过点引两条割线依次交圆锥曲线于四点,连接交于,连接交于,则直线为点对应的极线.若为圆
2、锥曲线上的点,则过点的切线即为极线.由图1同理可知,为点对应的极线,为点所对应的极线.因而将称为自极三点形.设直线交圆锥曲线于点两点,则恰为圆锥曲线的两条切线.定理1(1)当在圆锥曲线上时,则点的极线是曲线在点处的切线;(2)当在外时,过点作的两条切线,设其切点分别为,则点的极线是直线(即切点弦所在的直线);(3)当在内时,过点任作一割线交于,设在处的切线交于点,则点的极线是动点的轨迹.PQA图2Bl定理2如图2,设点关于圆锥曲线的极线为,过点任作一割线交于,交于,则;反之,若有成立,则称点调和分割线段,或称点与关于调和共轭,或称点(或点)关于圆锥曲线的调和共轭点为点(或点).点关于圆锥曲线的
3、调和共轭点是一条直线,这条直线就是点的极线.推论1如图2,设点关于圆锥曲线的调和共轭点为点,则有;反之,若有成立,则点与关于调和共轭.可以证明与是等价的.事实上,由有.特别地,我们还有推论2如图3,设点关于有心圆锥曲线(设其中心为)的调和共轭点为点,连线经过圆锥曲线的中心,则有,反之若有此式成立,则点与关于调和共轭.证明:设直线与的另一交点为,则PQR图3RO,化简即可得.反之由此式可推出,即点与关于调和共轭.推论3如图4,圆锥曲线的一条对称轴上的两点(不在上),若关于调和共轭,过任作的一条割线,交于PlA图4RBQR两点,则.证明:因关于直线对称,故在上存在的对称点.若与重合,则与也重合,此
4、时关于对称,有;若与不重合,则与也不重合,由于关于调和共轭,故为上完全四点形的对边交点,即在上,故关于直线对称,也有.定理3(配极原则)点关于圆锥曲线的极线经过点点关于的极线经过点;直线关于的极点在直线上直线关于的极点在直线上.由此可知,共线点的极线必共点;共点线的极点必共线.以上未加证明的定理,可参阅有关高等几何教材,如【1】,其中定理1的初等证法可参阅文【2】.2.从代数角度看极点与极线定义2已知圆锥曲线,则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线.事实上,在圆锥曲线方程中,以替换,以替换,以替换,以替换即可得到点的极线方程.特别地:(1)对于椭圆,与点对应的极线方程为;(2)对于双曲线,与点
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