分块矩阵的性质及其应用论文大学论文.doc

分类号 单位代码 11395
密 级 学 号 0704210116

学生毕业设计（论文）

题 目
分块矩阵的性质及其应用
作 者
王 涛
院 (系)
数学与应用数学
专 业
数学与应用数学
指导教师
高宏伟
答辩日期
2011年5月31日

摘 要
分块矩阵是线性代数中非常重要的一部分内容，分块矩阵的性质是解题最基本的依据，本文通过对各类典型例题的分析和处理，来论述分块矩阵的几个性质及其在高等数学中的应用。

关键词：分块矩阵，性质，应用。

榆林学院本科毕业设计（论文）

ABSTRACT
The partitioned matrix is linear algebra is an important part of content, the nature of partitioned matrix is the most basic basis, solving all kinds of typical examples in this paper through the analysis and processing, discusses some properties of partitioned matrix and the application in higher mathematics.

Key words：The partitioned matrix, nature, applications.

Ⅱ
榆林学院本科毕业设计（论文）

目 录
摘 要 I
ABSTRACT II
引 言 1
1 分块矩阵的性质及其应用 2
1.1 分块矩阵的基本知识及性质 2
1.1.1 分块矩阵的定义及其分块方法 2
1.1.2 分块矩阵的几个运算性质 4
1.2 分块矩阵的应用 8
1.2.1 矩阵求逆 8
1.2.2 用分块矩阵解决行列式问题 9
1.2.3 用分块矩阵证明矩阵秩问题 11
1.2.4 在线性相关性及矩阵的分解中的应用 11
结束语 15
参考文献 16
致 谢 17

III
榆林学院本科毕业设计（论文）

引言
矩阵是高等代数中的一个重要内容，也是研究数学的很多分支问题的工具之一，当我们处理阶数较高或具有特殊结构的矩阵时，用处理一般低阶矩阵的方法，往往比较困难，为了研究问题的方便，也为了显示出矩阵中某些部分的特性，我们常把一个大型矩阵分成若干个子块，把每个子块看作一个元素，从而构成一个分块矩阵，这是处理矩阵问题的重要技巧，利用矩阵的分块，可以把高阶矩阵划分成阶数较低的矩阵。本文就分块矩阵的加法与数量乘法、乘法、转置、初等变换等运算性质，及分块矩阵在矩阵求逆、行列式展开等方面的应用作了较为深入的探讨。

1 分块矩阵的性质及其应用

1.1分块矩阵的基本知识及性质
下面我们逐一介绍分块矩阵的定义、分块方法及其它的运算性质。
1.1.1分块矩阵的定义及其分块方法
(1)分块矩阵的定义
定义 把一个矩阵A，在行的方向分成s块，在列的方向分成t块，称为A的分块矩阵，记作A=，其中（k=1,2,K,s;l=1,2,K,t）称为A的子块，它们是各种类型的小矩阵。
例 把一个5阶矩阵 ①
用水平和垂直的虚线分成4块，如果记：
= = =0 =
就可以把A看作由上面4个小矩阵所组成，写作：
并称它是A的一个分块矩阵，其中的每一个小矩阵称为A的一个子块。
(2)矩阵的分块方法
常用的矩阵分块方法，除了上例中的4块矩阵，还有以下几种：
1)按行分块
=
其中=［ … ］ i=1,2,…m
2)按列分块
= 其中=j=1,2,k,s
3)当n阶矩阵C中都集中在主对角线附近，有时也可以分块成下面的对角块矩阵（又称准对角矩阵）：
C= 其中是阶方阵（i=1,2，k，m =n）
如：
=
其中=， , ;
矩阵分块的第一个好处就是使得矩阵的结构显得更清楚，如上面的矩阵①中，A的左上角是一个3阶单位阵，左下角是零矩阵。
第二个好处（也是最重要的好处）是矩阵的运算可以通过小矩阵的运算进行，从而把高阶矩阵的运算转换为低阶矩阵的运算，这在下面的研究会得到充分的体现。
矩阵分块的目的在于简化矩阵的运算，对矩阵进行分块时，要根据实际需要来进行。
1.1.2分块矩阵的几个运算性质
下面我们逐一对分块矩阵的加法与数量乘法、乘法、转置以及初等变换这些性质进行介绍:
(1) 分块矩阵的加法与数量乘法
设都是矩阵，并且对用同样的方法进行分块：

其中，都是矩阵，即，是同型矩阵，那么
=
设是矩阵，把进行分块：
，a为任意数，则a
(2) 分块矩阵的乘法
下面的定理表明，分块矩阵的乘法类似于矩阵的乘法。
定理 设是矩阵，是矩阵，若对作如下分块：
… …
= = ①
则=，其中G=（i=1,2,…r;j=1,2,…t）②
证明 记 …
G=
下面证明将G看作以数为元素的矩阵，有G=
首先，为矩阵，基于①的分块方式及②式，为矩阵，且有 ++…+=m ++…+=
故将G看作以数为元素的矩阵，也是一个矩阵。
其次，G的（i,j）元必位于分块矩阵G的某一子块之中，不妨设是的（，）元素，即有：
i=++…++
j=++…++ ③
由②式有：=++……+
可知的（，）元素应是，，…的第行分别与，，…的第列相应元素乘积的和。由③式可知，的第行元素位于A中第i行，的第列元素位于B中第j列（k=1,2，K,s）再注意到对A,B所作的分块，可得
=++…+=
这说明，矩阵G的（i,j）元素恰好等于矩阵AB的（i,j）元素，基于以上两点可得 G=AB
例 设矩阵
==
其中=为三阶单位阵，=为二阶单位阵，= 0= 矩阵 ==
其中 =为二阶单位阵。
在计算时，把的各小子块看作元素，然后按通常的矩阵乘法把它们相乘，于是 AB===
=
容易验证，这个结果与按矩阵乘法法则直接计算的结果是一致的。
注意：上例中的列的分法与的行的分法是一致的，也就是说我们遵循了以下规则：
a. 的列组数等于的行组数。
b. 的每个列组所含的列数等于的相应行组所含的行数。
3)分块矩阵的转置
先看一个例子：设

记
则可以分块成： 因此我们有：=
一般地，设是一个分块矩阵，那么
分块矩阵取转置的规则是：
第一步：把的每一块都看成元素（数）取转置。
第二步：对的每一块取转置。
4)分块矩阵的初等变换
分块矩阵的初等变换是处理分块矩阵有关问题的重要工具，由文③我们可以推广得到如下定义：
定义 以下三种变换称为分块矩阵的初等行变换。
a.互换两块行的位置
b.用一个行列式不为零的方阵左乘（右乘）分块矩阵的某一块行
c.把一块行的P（矩阵）倍（即这个块行里每一个小矩阵都左乘或右乘一个矩阵P）加到另一块行上。
类似地，我们可以定义分块矩阵的初等列变换。
例 设n阶矩阵分块表示为：，其中，为方阵，且和可逆，证明：可逆。
证明 先对分块矩阵作初等变换，将其化为上三角块矩阵。为此，根据有关结论，可左乘矩阵

其中,为单位阵,其阶数分别为，的阶数，于是：
=B ||=||||
由于||=1,|A|0,| |0, 所以||=||0
故可逆。
1.2分块矩阵的应用
分块矩阵是矩阵的一种推广，与普通矩阵不同，分块矩阵的元素可以是数，也可以是小矩阵，它的引入使矩阵这一重要工具的使用更广泛，下面举例说明分块矩阵的应用：
1.2.1矩阵求逆
例 若A,B都可逆，=，
则=。
证明 设= 于是
==
这里，分别表示k阶和r阶单位矩阵，则有

因此=
例 设矩阵，求的逆。
解 将分块如下：
=
其中，，，；
如果可逆，可设
,这里,,,均为二阶方阵，有P=有：
P==
则有
显然有，可逆，由上面的等式组求得：
=0;==; = =; =-=
所以的逆为：
1.2.2用分块矩阵解决行列式问题
例 设行列式|P|=，试展开|P|。
解 把矩阵P分块如下：
=;此时 当x0时，||=0，可逆。
此时选取矩阵：
则有：P=
上面等式两边取行列式，便有|||P|||=||||;但是||=1，||=1

=（x+）+()
这样有|P|=
=
当x=0时，|P|=也可以表示为上述形式，所以行列式|P|的展开式为：|P|=。
1.2.3用分块矩阵证明矩阵秩问题
定理 设都是n阶矩阵，若=0，则秩（A）+秩（B）n
证明 对矩阵作分块：=（），由于=0
即（）=0,也就是=0 （i=1,2,…,n）;说明的各列都是=0的解，从而秩（）n-秩（A），即证：秩（A）+秩（B）n
例 如果是两个任意的矩阵，证明：秩（）秩（A）+秩（B）
证明 把矩阵按列分块，记=,=
则=；又组
可由；线性表出，那么：
秩（）=秩秩{，}
秩{}+秩{}=秩（A）+秩（B）
1.2.4分块矩阵在线性相关性及矩阵的分解中的应用
分块矩阵在线性相关性及矩阵的分解中有广泛的应用，欲透彻掌握达到运用自如却非易事。其基础知识抽象，解题方法技巧性强，稍有不慎就会陷入困境。作为线性代数的一个重要内容和工具的矩阵，我们大家往往容易忽视矩阵的这一点—矩阵分块的作用。下面就谈谈它在线性相关性及矩阵的分解证明中的应用。
1.关于矩阵列（行）向量线性相关性
命题1 矩阵的列线性无关的充要条件是=0只有零解。
证明 令=（,,,),其中（i=1,2,k)是的列向量，且
（为实数i=1,2,k)即
（） =0
也即
=0
若线性无关，则有，=0只有零解，反之亦成立。
例3 矩阵列线性无关， 求证：列线性无关的充分必要条件是列线性无关。
证明 充分性：要使=0，即=0，记，则=0,
因为列无关，须=0，即=0，又列无关，须=0，从而列无关。
必要性：要使=0，两边左乘，则=0，即=0，因为列无关，所以=0，从而列无关。
推论 设≠0
（1） 的列线性相关（即r（)<k）的充要条件是存在≠0，使=0；
（2） 的行线性相关（即r（)<m）的充要条件是存在≠0，使=0.
证明 （1）充分性：设有≠0，=（），为的列向量， j=1,2，，m，且 ≠0，使=0,即（）=0，因为 ≠0，
由命题1,知的列线性相关。
必要性：设的列线性相关，由命题1，存在b≠0使b=0，作=（b,0,0),则≠0，故=0.
用类似的方法可证明（2）。
2. 矩阵的分解
定理 设，则可以唯一分解为或 其中（正交阵），是正线上三角矩阵，是正线下三角矩阵（主对角线上元素均为正）。
证明 将按列向量分块，
由于，则线性无关
将正交化得，再单位化得，并有

其中││=>0
于是=
==
下面我们来证明唯一性：设有两个分解式为
则 由于是酉矩阵，是正线上三角矩阵，则
= 从而, 即得证。
例 求矩阵的分解。
解 记的三个列向量依次为，用施密特正交化方法得

单位化得

求出=
=
便有
矩阵的列（行）向量相关和无关性的问题很显然都会涉及到利用矩阵分块，因为矩阵的列（行）都可看作是矩阵的子块，对于处理矩阵的分解问题也是一样，在线性代数中还有很多问题都可类似的通过矩阵的分块来解决。

结束语
本文通过大量的例题对分块矩阵在计算和证明这两方面的应用进行了分析和总结，在证明方面，涉及了矩阵秩的问题以及矩阵列（行）向量线性相关性等问题，在证明线性相关问题上，利用分块矩阵可以很清晰的描述线性方程组的解与其相关内容，对一些具体的解与矩阵行（列）向量组线性相关性之间的关系给出了结论；在计算方面利用分块矩阵这一工具我们主要解决了求逆矩阵与求高阶行列式的问题，在求逆矩阵方面，本文着重论述了将一个高级矩阵进行矩阵分块分成二级矩阵后，通过论述四子块的特点来求原矩阵的逆矩阵的快捷方法。通过本文的论述，充分体现了分块矩阵在代数计算和证明方面所具有的一定的优越性，也给出了分块矩阵和矩阵的分块在代数学中所具有的重要地位，当然在对分块矩阵的应用的论述上本文并不是所有类型的证明与计算都进行了讨论，所以在应用的完整上有待于改进，并可以继续探讨。

参考文献
[1] 王萼芳、石生明.高等代数（第三版）[M].北京:高等教育出社,修订2003.
[2] 张禾瑞、郝炳新.高等代数（第五版）[M].北京:高等教育出社,1997.
[3] 同济大学应用数学系编.线性代数(第四版)[M]北京:高等教育出版社,2003.
[4] 谢邦杰编《线性代数》人民教育出版社出版（1978年北京）
[5] 王萼芳、石生明主编《高等代数习题全解》中国建材工业出版社，2004.
[6] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组，高等代数[M].北京：高等教育出版社。2001.
[7] 胡景明.分块矩阵在求高阶行列式中的应用[J ].河北工程技术高等专科学报，2004，31页-39页.
[8] 居余马，线性代数[M].清华大学出版社。
[9] 穆大禄、裴惠生.高等代数教程[M].山东大学出版社，1990.
[10] 叶伯诚.高等代数[M].青岛海洋大学出版社，1989.
[11]《广东广播电视大学学报》2006年02期，17页—26页.

致 谢
首先，感谢各位评审老师对本论文的评审！同时，在毕业论文完成之际，特别向我的论文指导老师高宏伟老师，致以崇高的敬意和衷心的感谢！高老师精益求精的工作作风，诲人不倦的高尚师德，宽以待人的人格深深的影响了我. 论文的顺利完成，也离不开本组其他老师的细心指导，所以，向这些老师表示衷心的感谢. 还有数学系的各位领导、老师对我几年来的谆谆教导和培养致以最真挚的谢意，是你们使我的大学生活在获取专业知识技能的同时也学会了其它方面最为珍贵的东西，你们辛苦了！
其次，要感谢我同组的同学，他们给了我莫大的关心和帮助. 再次，我对在此过程中提出宝贵建议和意见的老师和同学们，表示诚挚的谢意，是你们的督促和帮助才使我顺利的完成了毕业论文.

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