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2021年高考数学三轮冲刺训练-计数原理及二项式定理.doc
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1、2021年高考数学三轮冲刺训练 计数原理及二项式定理2021年高考数学三轮冲刺训练 计数原理及二项式定理年级:姓名:计数原理及二项式定理1、排列组合问题往往以实际问题为背景,考查排列数、组合数、分类分步计数原理,往往是排列组合小综合题2、二项展开式定理的问题是高考命题热点之一.关于二项式定理的命题方向比较明确,主要从以下几个方面命题:(1)考查二项展开式的通项公式;(可以考查某一项,也可考查某一项的系数)(2)考查各项系数和和各项的二项式系数和;(3)二项式定理的应用.一、 排列、组合1. 分类加法计数原理完成一件事,有n类方式,在第1类方式中有m1种不同的方法,在第2类方式中有m2种不同的方
2、法,在第n类方式中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N_m1m2mn_种不同的方法2. 分步乘法计数原理完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N_m1m2mn_种不同的方法3. 排列与排列数(1)排列:一般地,从n个不同元素中取出m(mn)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的_一个排列_(2)排列数的定义:从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的_排列数_,用符号_A_表示(3)排列数公式:An(n1)(n2)(nm1
3、)(n,mN*,并且mn)An(n1)(n2)321n!,规定0!14. 组合与组合数(1)组合:一般地,从n个不同元素中取出m(mn)个元素合并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的_一个组合_(2)组合数的定义:从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的_组合数_,用符号_C_表示(3)组合数公式:C(n,mN*,并且mn)(4)组合数的性质:性质1:CC性质2:CCC性质3:mCnC二、 二项式定理1 二项式定理的展开式公式:(ab)nCanCan1bCankbkCbn(nN*)这个公式表示的定理叫做二项式定理在上式中右边的多项式叫做
4、(ab)n的二项展开式,其中的系数C(k0,1,n)叫做二项式系数,式中的Cankbk叫做二项展开式的通项,用Tk1表示,即Tk1Cankbk2. 二项展开式形式上的特点(1)项数为n1(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到零;字母b按升幂_排列,从第一项起,次数由零逐项增1直到n.(4)二项式系数从C,C,一直到C,C一、杨辉三角”与二项式系数的性质(1)“杨辉三角”有如下规律:左右两边斜行都是1,其余各数都等于它“肩上”两个数字之和(2)对称性:在二项展开式中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即CC
5、(3)增减性与最大值:二项式系数C,当k时,二项式系数逐渐增大;当k时,二项式系数逐渐减小当n是偶数时,中间一项的二项式系数最大;当n是奇数时,中间两项的二项式系数最大(4)各二项式系数的和:(ab)n的展开式的各项二项式系数之和为2n,即CCC2n.(5)奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和,即CCCC2n1二、排列、组合的方法技巧1、特殊位置、特殊元素优先安排2、插空法3、捆绑法1 的展开式中x3y3的系数为A5B10C15D20【答案】C【解析】展开式的通项公式为(且)所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为:和在中,令,可得:,该项中的系数为,在中,令,可得:,该项中的系数为
6、所以的系数为故选:C.2 6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有A120种B90种C60种D30种【答案】C【解析】首先从名同学中选名去甲场馆,方法数有;然后从其余名同学中选名去乙场馆,方法数有;最后剩下的名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有种.故选:C3在的展开式中,的系数为AB5CD10【答案】C【解析】展开式的通项公式为:,令可得:,则的系数为:.故选:C.4(1+2x2 )(1+x)4的展开式中x3的系数为A12B16C20 D24【答案】A【解析】由题意得x3的系数为,故选A【名师点睛】本题主要
7、考查二项式定理,利用展开式通项公式求展开式指定项的系数5 4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,则不同的安排方法共有_种【答案】【解析】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,先取2名同学看作一组,选法有:.现在可看成是3组同学分配到3个小区,分法有:,根据分步乘法原理,可得不同的安排方法种,故答案为:.6 的展开式中常数项是_(用数字作答)【答案】【解析】其二项式展开通项:当,解得的展开式中常数项是:.故答案为:.7在的展开式中,的系数是_【答案】10【解析】因为的展开式的通项公式为,令,解得所
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