安徽省定远县育才学校2021届高三数学下学期第一次模拟考试试题-文.doc

安徽省定远县育才学校2021届高三数学下学期第一次模拟考试试题 文

安徽省定远县育才学校2021届高三数学下学期第一次模拟考试试题 文

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14

安徽省定远县育才学校2021届高三数学下学期第一次模拟考试试题 文
第I卷 选择题（共60分）
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)
1. 设集合，，则
A. B. C. D.
2. “”是“直线：与直线：垂直”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知，均为单位向量，若，则向量与的夹角为   
A. B. C. D.
4. 设、分别是双曲线C：的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使为原点，且，则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
5. 已知数列满足，且，，则
A. B. C. 56 D. 46
6. 我国古代科学家祖冲之之子祖暅在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，则它们的体积相等．已知某不规则几何体与如图所示的三视图所表示的几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为
A. B. C. D.
7. 某科技股份有限公司为激励创新，计划逐年增加研发资金投入．若该公司2020年全年投入的研发资金为100万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入的研发资金开始超过140万元的年份是参考数据：，   
A. 2025年 B. 2026年 C. 2027年 D. 2028年
8. 已知函数给出下列结论：
的最小正周期为；
是的最大值；
把函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．
其中所有正确结论的序号是
A. B. C. D.
9. 已知复数z满足为虚数单位，则
A. B. 5 C. D.
10. 已知函数，若在时总成立，则实数k的取值范围是
A. B. C. D.
11. 已知，，，则a，b，c的大小关系为   
A. B. C. D.
12. 设为三个不同的平面，为两条不同的直线，则下列命题中错误的是     
A. 当时，若，则
B. 当时，若，则
C. 当时，若则是异面直线
D. 当时，若则
第II卷 非选择题（共90分）
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13. 已知，且在上单调递增，则实数a的取值范围是          ．
14. 执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是_____．

15. 过抛物线的焦点的直线l交抛物线于，两点，如果，则           ．
16. 既要金山银山，又要绿水青山，说明了既要发展经济，又要保护环境，两者兼得，社会才能又快又好的发展现某风景区在践行这一理念下，计划在如图所示的以AB为直径的半圆形山林中设计一条休闲小道与A，B不重合，A，B相距400米，在紧邻休闲小道AC的两侧及圆弧上进行绿化，共3条绿化带。设，则绿化带的总长度的最大值约为______米参考数据：，
三、解答题(本大题共6小题,共70分。其中22、23为选考题。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
17. （本题满分12分）
近期，某公交公司分别推出支付宝和徽信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次单位：十人次，统计数据如表l所示：
表1
x
1
2
3
4
5
6
7
y
6
11
21
34
66
101
196
根据以上数据，绘制了如右图所示的散点图．
根据散点图判断，在推广期内，与d均为大于零的常数哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？给出判断即可，不必说明理由；
根据的判断结果及表1中的数据，求y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；
参考数据：

66

其中
参考公式：
对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．

18. （本题满分12分）
在中，角A，B，C的对边分别是且满足，
   求角B的大小；
   若的面积为，且，求的值；

19. （本题满分12分）
如图，在长方体中，，P是中点．

Ⅰ求证：直线平面PAC；
Ⅱ在棱上求一点Q，使得平面平面，并证明你的结论．

20. （本题满分12分）
已知椭圆E：的离心率为，点A，B分别为椭圆E的左、右顶点，点C在E上，且面积的最大值为．
求椭圆E的方程；
设F为E的左焦点，点D在直线上，过F作DF的垂线交椭圆E于M，N两点．证明：直线OD平分线段MN．

21. （本题满分12分）
已知函数．
讨论函数极值点的个数；
当时，不等式在上恒成立，求实数k的取值范围．

22. （本题满分10分）选修4 - 4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线：与曲线：为参数以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
Ⅰ写出曲线，的极坐标方程；
Ⅱ在极坐标系中，已知l：与，的公共点分别为A，B，，当时，求的值．

23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数．
(1) 解不等式；
(2) 若不等式对恒成立，求实数m的取值范围．

文科数学答案
1. B 2. A 3. B 4. D 5. D 6. A 7. B
8. B 9. C 10. A 11. D 12. C
13.   
14. 4  
15. 8  
16. 880  
17. 解：根据散点图判断，适宜作为扫码支付的人数y关于活动推出天数x的回归方程类型；分
由，两边同时取常用对数得：；
设，；分
计算，，
，分
把样本中心点代入，得：，
，
，分
关于x的回归方程式：；分
把代入上式，；
活动推出第8天使用扫码支付的人次为3470；分  
18. 解：，
由正弦定理，得，
即，
在中，，，
，
又，
；
的面积为，
，
，
，，
，即，
，
．  
19. Ⅰ证明：连接BD交AC于O点，连接OP，
因为O为矩形对角线的交点，
则O为BD的中点，
又P为的中点，
则，
又因为平面PAC，平面PAC，
所以直线平面PAC．
Ⅱ解：取的中点Q，则平面平面，
证明：因为P为的中点，Q为的中点，
四边形与长方体的上下底面相交AC，，则，
因为平面PAC，平面PAC，
所以平面PAC，
同理可得平面PAC，
又，平面，平面，
所以平面平面

20.  解 ：由题意得
解得
故椭圆E的方程为．
证明：设，，，
线段MN的中点，
则，，
由可得，
则直线DF的斜率为，
当时，直线MN的斜率不存在，根据椭圆的对称性可知OD平分线段MN．
当时，直线MN的斜率是．
点M，N在椭圆E上，

整理得：，
又，，
，
直线OP的斜率为，
直线OD的斜率为，
直线OD平分线段MN．

21. 解：，
当时，，所以在R上单调递增，无极值．
当时，令，得，
当时，；当时，
即函数在上单调递减，在 上单调递增，
此时只有一个极值点．
综上所述，当时，在R上无极值点；
当时，函数在R上只有一个极值点．
当时，由题即在上恒成立
令且，
则，
，
则且，
当时，即时，
由于，，而，
所以，故在上单调递增，所以，
即，故在上单调递增，所以，
即在上恒成立，故符合题意．
当时，即时，
由于在上单调递增，
令因为，
故在上存在唯一的零点，使，
因此，当时，，单调递减，所以，
即，在上单调递减，故，与题不符．
综上所述，k的取值范围是．  
22. 解：Ⅰ曲线的极坐标方程为，即．
曲线 的普通方程为，即，
所以曲线的极坐标方程为；
Ⅱ由知，，

，
，，
，
由，知，
故，．  
23. 解
或或
或；
，
又，
当且仅当时，等号成立，
，
或．