2022届高考数学统考一轮复习-第7章-立体几何-第6节-立体几何中的向量方法教案-理-新人教版.doc
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1、2022届高考数学统考一轮复习 第7章 立体几何 第6节 立体几何中的向量方法教案 理 新人教版2022届高考数学统考一轮复习 第7章 立体几何 第6节 立体几何中的向量方法教案 理 新人教版年级:姓名:立体几何中的向量方法考试要求能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题,了解向量方法在研究立体几何问题中的应用1异面直线所成的角设a,b分别是两异面直线l1,l2的方向向量,则a与b的夹角a,bl1与l2所成的角范围0a,b0关系cosa,bcos |cosa,b|2.直线与平面所成的角设直线l的方向向量为a,平面的法向量为n,直线l与平面所成的角为,则sin |cos
2、a,n|.3二面角(1)如图,AB,CD是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小,(2)如图,n1,n2分别是二面角l的两个半平面,的法向量,则二面角的大小满足|cos |cosn1,n2|,二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)点到平面的距离如图所示,已知AB为平面的一条斜线段,n为平面的法向量,则B到平面的距离为|.一、易错易误辨析(正确的打“”,错误的打“”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角()(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角()(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角()(4)两异面直线夹角的范围是,
3、直线与平面所成角的范围是,二面角的范围是0,()答案(1)(2)(3)(4)二、教材习题衍生1已知向量m,n分别是直线l和平面的方向向量和法向量,若cos m,n,则l与所成的角为()A30 B60 C120 D150A由于cosm,n,所以m,n120,所以直线l与所成的角为30.2已知两平面的法向量分别为m(0,1,0),n(0,1,1),则两平面所成的二面角为()A BC或 D或Cm(0,1,0),n(0,1,1),mn1,|m|1,|n|,cosm,n,m,n.两平面所成的二面角为或,故选C3在正三棱柱ABCA1B1C1中,ABAA1,则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为()A
4、B C DC建立如图所示的坐标系,设AB2,则C1(,1,0),A(0,0,2),(,1,2),平面BB1C1C的一个法向量为n(1,0,0)所以AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为. 考点一求异面直线所成的角 用向量法求异面直线所成角的一般步骤典例1 (2017全国卷)已知直三棱柱ABCA1B1C1中,ABC120,AB2,BCCC11,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()ABCDC 在平面ABC内过点B作AB的垂线,以B为原点,以该垂线,BA,BB1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Bxyz,则A(0,2,0),B1(0,0,1),C,C1,(0,2,1),cos
5、,故选C母题变迁1.本例条件换为:“直三棱柱ABCA1B1C1中,ABBCAA1,ABC90,点E,F分别是棱AB,BB1的中点”,则直线EF和BC1所成的角是 60以B为坐标原点,以BC为x轴,BA为y轴,BB1为z轴,建立空间直角坐标系如图所示设ABBCAA12,则C1(2,0,2),E(0,1,0),F(0,0,1),(0,1,1),(2,0,2),2,cos,则EF和BC1所成的角是60.2本例条件换为:“直三棱柱ABCA1B1C1中,底面为等边三角形, AA1AB,N,M分别是A1B1,A1C1的中点”,则AM与BN所成角的余弦值为 如图所示,取AC的中点D,以D为原点,BD,DC,
6、DM所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,不妨设AC2,则A(0,1,0),M(0,0,2), B(,0,0),N,所以(0,1,2),所以cos,.点评:两异面直线所成角的范围是,两向量的夹角的范围是0,当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时,就是该异面直线的夹角;当异面直线的方向向量的夹角为钝角时,其补角才是异面直线的夹角如图,在四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB2,BAD60.若PAAB,则PB与AC所成角的余弦值为 因为四边形ABCD是菱形,所以ACBD设ACBDO.因为BAD60,PAAB2,所以BO1,AOCO.如图,以O为坐标原点,建立
7、空间直角坐标系Oxyz,则P(0,2),A(0,0),B(1,0,0),C(0,0)所以(1,2),(0,2,0)设PB与AC所成角为,则cos .即PB与AC所成角的余弦值为. 考点二求直线与平面所成的角 利用向量法求线面角的两种方法典例2(2020郑州模拟)在如图所示的多面体中,四边形ABCD是平行四边形,四边形BDEF是矩形,ED平面ABCD,ABD,AB2AD(1)求证:平面BDEF平面 ADE;(2)若EDBD,求直线AF与平面AEC所成角的正弦值解(1)证明:在ABD中,ABD,AB2AD,由余弦定理,得BDAD,从而BD2AD2AB2,故BDAD,所以ABD为直角三角形且ADB.
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