2022版高考数学一轮复习-考案第三章-三角函数、解三角形综合过关规范限时检测新人教版.doc

2022版高考数学一轮复习 考案第三章 三角函数、解三角形综合过关规范限时检测新人教版

2022版高考数学一轮复习 考案第三章 三角函数、解三角形综合过关规范限时检测新人教版

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第三章　综合过关规范限时检测
(时间：120分钟　满分150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．(2020·四川资阳二诊)在平面直角坐标系中，若角α的始边为x轴正半轴，其终边经过点P，则cos α＝(　D　)
A.　　 B．　　
C．－　　 D．－
[解析]　本题考查任意角的三角函数的定义．
sin ＝－sin ＝－，cos ＝－cos ＝－，而角α的终边经过点P，即角α的终边经过点P，于是|PO|＝＝1，因此cos α＝＝－.
2．(2020·云南昆明一模)已知α∈，sin α＝，则cos(π－α)＝(　A　)
A.　　 B．　　
C．－　　 D．－
[解析]　本题考查诱导公式和同角三角函数基本关系式的应用．由α∈且sin α＝得cos α＝－＝－，所以cos(π－α)＝－cos α＝.
3．(2020·东北三省三校一模)若θ是三角形的一个内角，且tan θ＝－，则sin＋cos＝(　C　)
A.　　 B．－　　
C．　　 D．－
[解析]　本题考查同角三角函数基本关系和诱导公式．
由题意，tan θ＝＝－，θ∈(0，π)，故sin θ>0，cos θ<0.
又sin2θ＋cos2θ＝1，所以sin θ＝，cos θ＝－.
因此，sin＋cos＝－cos θ＋sin θ＝.
4．(2021·安徽阜阳一中月考)中国折叠扇有着深厚的文化底蕴．如图②，在半圆O中作出两个扇形OAB和OCD，用扇环形ABDC(图中阴影部分)制作折叠扇的扇面．记扇环形ABDC的面积为S1，扇形OAB的面积为S2，当S1与S2的比值为时，扇面的形状较为美观，则此时扇形OCD的半径与半圆O的半径之比为(　B　)

A.　　 B．
C．3－　　 D．－2
[解析]　本题考查弧度制下扇形面积计算问题．设∠AOB＝θ，半圆O的半径为r，扇形OCD的半径为r1，依题意，有＝，即＝，所以＝＝＝2，得＝.
[方法总结]　弧度制下扇形面积计算求解思路
(1)明确弧度制下扇形面积公式，在使用公式时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)分析题目已知哪些量、要求哪些量，然后灵活地运用弧长公式、扇形面积公式直接求解，或合理地利用圆心角所在三角形列方程(组)求解，
5．为了得到函数y＝sin 3x的图象，可以将y＝cos 3x的图象向(　A　)
A．右平移个单位长度　　 B．左平移个单位长度
C．右平移个单位长度　　 D．左平移个单位长度
[解析]　y＝cos 3x＝sin＝sin 3，将该函数的图象向右平移个单位长度得到y＝sin 3＝sin 3x.故选A.
6．(理)(2020·石家庄市重点高中摸底)已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)的图象如图所示，如果f(x1)＝f(x2)且x1≠x2，则f(x1＋x2)＝(　B　)

A．0　　 B．1　　
C．　　 D．
(文)(2021·黑龙江双鸭山一中月考)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω、φ的值分别为(　A　)

A．2，－　　 B．2，－　　
C．4，－　　 D．4，
[解析]　(理)由题意可知＝－＝，
∴T＝π＝，∴ω＝2，又2×＋φ＝0，∴φ＝，
∴f(x)＝2sin .
由2x＋＝知x＝，
又f(x1)＝f(x2)且x1≠x2，
∴x1＋x2＝，∴f(x1＋x2)＝1，故选B.
(文)由图可知T＝－＝，
∴T＝π，
∴ω＝＝2，又2×＋φ＝，∴φ＝－，故选A.
7．(2021·南开模拟)△ABC中三个内角为A，B，C，若关于x的方程x2－xcos Acos B－cos2＝0有一根为1，则△ABC一定是(　B　)
A．直角三角形　　 B．等腰三角形
C．锐角三角形　　 D．钝角三角形
[解析]　依题意，可得1－cos Acos B－cos2＝0，因为cos2＝＝＝，
所以1－cos Acos B－＝0，
整理得：cos(A－B)＝1，又A，B为△ABC的内角，所以A＝B，所以△ABC一定为等腰三角形．故选B.
8．(2020·安徽省合肥市一中、合肥六中联考)已知函数f(x)＝sin 2x－2cos2x＋1，将f(x)的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，若g(x1)·g(x2)＝9，则|x1－x2|的值可能为(　C　)
A.　　 B．　　
C．　　 D．
[解析]　函数f(x)＝sin 2x－2cos2x＋1
＝sin 2x－cos 2x＝2sin，
变换后得函数y＝g(x)＝2sin＋1的图象，易知函数y＝g(x)的值域为[－1,3]．
若g(x1)·g(x2)＝9，则g(x1)＝3且g(x2)＝3，均为函数y＝g(x)的最大值，
∴|x1－x2|的值为函数y＝g(x)的最小正周期T的整数倍，且T＝＝.
9．下列命题正确的是(　D　)
A．若cos θ<0则θ是第二或第三角限角
B．若α>β则cos α<cos β
C．若sin α＝sin β则α与β终边相同
D．若α是第三象限象角，则sin αcos α>0且<0
[解析]　当θ＝2kπ＋π时，cosθ＝－1<0，此时θ不是象限角，A错；
当α＝0，β＝－2π时，cos α＝cos β，故B错；
当α＝，β＝时，sin α＝sin β，但α与β终边不相同，故C错；
当α是第三象限角时， sin α<0，cos α<0，tan α>0，故D正确．因此选D.
10．已知函数f(x)＝cos xsin，则下列结论中错误的是(　C　)
A．f(x)是周期函数但不具备奇偶性
B．f(x)的图象关于x＝对称
C．f(x)最大值为1
D．f(x)在区间上递增
[解析]　f(x)＝cos xsin＝sin＋，f(x)为非奇非偶函数，故A正确，当x＝时，2x＋＝，图象关于x＝对称，B正确．f(x)最大值为，故C错，f(x)在上单调递增，故D正确，因此选C.
11．(理)(2021·吉林通化月考改编)已知ω>0，a>0，f(x)＝asin ωx＋acos ωx，g(x)＝2cos，h(x)＝.这3个函数在同一直角坐标系中的部分图象如图所示，则函数g(x)＋h(x)的图象的一条对称轴方程可以为(　A　)

A．x＝　　 B．x＝
C．x＝－　　 D．x＝－π
(文)在△ABC中，角A、B、C的对边为a，b，c，且(a＋b)(a＋c)(b＋c)＝91011，则下列结论不正确的是(　B　)
A．sin Asin Bsin C＝456
B．△ABC是钝角三角形
C．△ABC最大内角是最小内角的2倍
D．若c＝6则△ABC外接圆半径为
[解析]　(理)∵f(x)＝asin ωx＋acos ωx＝2asin，g(x)＝2cos，又由函数图象可知，f(x)的最大值为2，可得a＝1，∴f(x)＝2sin，g(x)＝2cos，由图象可知，f(x)的周期为π，∴ω＝2，h(x)＝＝＝2sin，x≠kπ＋(k∈Z)．那么函数g(x)＋h(x)＝2cos＋2sin＝2sin＝2sin，x≠kπ＋(k∈Z)．令x＋＝＋kπ(k∈Z)．可得对称轴方程为x＝＋kπ(k∈Z)，当k＝0时，x＝.故选A.
(文)设，解得.利用正、余弦定理可知，A正确，B错误．由于cos C＝，cos A＝，cos 2A＝＝cos C，又C、A都是锐角，所以C＝2A，故C正确，又sin C＝，2R＝＝，∴R＝，故D正确，因此选B.
12．(理)(2020·江西红色七校第一次联考)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝a，a＝2，c＝，则C＝(　D　)
A.　　 B．　　
C．　　 D．
(文)(2020·广东百校联考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若C＝，a＝4，S△ABC＝2，则＝(　D　)
A.　　 B．2　　
C．2　　 D．2
[解析]　(理)由b＝a，得sin B＝sin A(cos C＋sin C)．因为sin B＝sin [π－(A＋C)]＝sin (A＋C)，所以sin Acos C＋cos Asin C＝sin Acos C＋sin Asin C(sin C≠0)，所以cos A＝sin A，所以tan A＝.因为0<A<π，所以A＝.由正弦定理＝，得sin C＝.因为0<C<，所以C＝.故选D.
(文)由C＝，a＝4，S△ABC＝absin C＝×4×b×＝2，得b＝，根据余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝10，则c＝，所以＝2R＝＝2.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．若函数f(x)＝(ω>0)的最小正周期为π，则f()＝　　.
[解析]　由题设及周期公式得T＝＝π，所以ω＝1，即f(x)＝，所以f＝＝.
14．(2020·安徽省池州中学第二次质量检测)已知cos＝，则sin的值是　－　.
[解析]　sin＝－sin＝
－sin＝－cos＝－.
15．(2021·河南名校联考)已知函数f(x)＝ 2sin ωx·cosωx－2cos2ωx＋a＋(ω>0，x∈R，a是常数)的图象的一条对称轴方程为x＝，与其相邻的一个对称中心为，则函数f(x)的单调递减区间为　(k∈Z)　.
[解析]　本题考查三角函数的图象及其性质．f(x)＝2sin ωx·cos ωx－2cos2ωx＋a＋＝sin 2ωx－cos 2ωx＋a＝2sin＋a.因为其图象的一条对称轴方程为x＝，与其相邻的一个对称中心为，所以＝－＝，所以T＝π，即＝π，所以ω＝1，所以f(x)＝2sin＋a.因为图象过点，所以2sin＋a＝－1，所以a＝－1，所以f(x)＝2sin－1.由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
16.(2020·全国Ⅰ，16)如图，在三棱锥P－ABC的平面展开图中，AC＝1，AB＝AD＝，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，则cos ∠FCB＝　－　.

[解析]　本题考查立体几何平面展开图及解三角形问题．
在△ABC中，AB⊥AC，AC＝1，AB＝，所以BC＝2.
在△ABD中，AB⊥AD，AD＝，AB＝，所以BD＝.
在△ACE中，AC＝1，AE＝AD＝，∠CAE＝30°，由余弦定理得CE2＝AC2＋AE2－2AC·AE·cos∠CAE＝1＋3－2×1××＝1，
所以CE＝1.
在△BCF中，BC＝2，FC＝CE＝1，BF＝BD＝，由余弦定理得cos∠FCB＝＝＝－.
四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)(2020·浙江杭州联考)已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<.
(1)求tan 2α的值；
(2)求β的值．
[解析]　(1)由cos α＝，0<α<，得sin α＝＝＝，
所以tan α＝＝×＝4，
所以tan 2α＝＝＝－.
(2)由0<β<α<，得0<α－β<，
又cos(α－β)＝，
所以sin(α－β)＝＝＝.
又β＝α－(α－β)，所以cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝，所以β＝.
18．(本小题满分12分)(2020·辽宁重点中学协作体阶段测试)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示．

(1)求函数f(x)的解析式；
(2)当x∈时，求f(x)的取值范围．
[解析]　(1)由图象知A＝3，＝－＝π，即T＝4π，又＝4π，所以ω＝，
因此f(x)＝3sin，又因为f＝－3，
所以＋φ＝－＋2kπ(k∈Z)，
即φ＝－＋2kπ(k∈Z)，
又|φ|<π，所以φ＝－，即f(x)＝3sin.
(2)当x∈时，x－∈，
所以－1≤sin≤－，
从而有－3≤f(x)≤－.
19．(本小题满分12分)(2020·湖南重点高中联考)已知函数f(x)＝coscos.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若f(x)在区间上的值域为，求a的取值范围．
[解析]　(1)f(x)＝ πx＋＝cos2πx－sin2πx＝×－×＝cos 2πx－，令π＋2kπ≤2πx≤2π＋2kπ，k∈Z，解得＋k≤x≤1＋k，k∈Z，
∴f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)∵f(x)的值域为，
∴－1≤cos 2πx≤－.∵x∈，
∴≤2πx≤2πa，结合余弦函数图象可知π≤2πa≤，解得≤a≤，∴a的取值范围是.
20．(本小题满分12分)(2021·蓉城名校高三第一次联考)已知函数f(x)＝2cos2x＋(sin x＋cos x)2－2.
(1)求f(x)的最大值及取得最大值时x的集合；
(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f(A)＝1，若AC边上的高等于b，求cos C的值．
[解析]　(1)由题意知f(x)＝2cos2x＋1＋2sin xcos x－2＝2sin xcos x＋2cos2x－1＝sin 2x＋cos 2x＝sin.
∴f(x)max＝，此时2x＋＝2kπ＋，k∈Z，
∴x＝kπ＋，k∈Z.
∴f(x)取得最大值时x的集合为.
(2)∵f(A)＝sin＝1，
∴sin＝，
又A∈(0，π)，
∴2A＋∈，
∴2A＋＝，解得A＝.
设AC边上的高为BD，则BD＝b.
∵A＝，∴BD＝AD＝b，CD＝b，
∴AB＝b，BC＝b，∴cos C＝＝.
21．(本小题满分12分)已知在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，外接圆半径为2，若m＝，n＝，m·n＝sin 2C.
(1)求角C的大小；
(2)若sin A，sinC，sinB成等差数列，且·(－)＝18，求c的长．
[解析]　(1)因为m＝，n＝(cos B，cos A)，
所以m·n＝·＋·.
又△ABC外接圆半径为2，
所以a＝4sin A，b＝4sin B，
所以m·n＝·＋·＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)＝sin C，
则sin C＝sin 2C＝2sin Ccos C，∴cos C＝，
又C∈(0，π)，所以C＝60°.
(2)若sin A，sin C，sin B成等差数列，
则2sin C＝sin A＋sin B，即2c＝a＋b，
又·(－)＝18，∴·＝abcos 60°＝ab＝18，得ab＝36，
由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－2ab－ab＝(a＋b)2－3ab，
∴3c2＝3ab，c2＝36，得c＝6.
22．(本小题满分12分)(2021·甘肃天水一中阶段考改编)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋2sin2－1(ω>0,0<φ<π)为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为.
(1)当x∈时，求f(x)的单调递减区间；
(2)将函数y＝f(x)的图象沿x轴方向向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象．当x∈时，若方程g(x)－m＝0有两个不等实根，求实数m的取值范围．
[解析]　(1)由题意可知：f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)＝2sin，
因为相邻两对称轴间的距离为，所以T＝π，ω＝2，
因为函数为奇函数，所以φ－＝kπ，φ＝kπ＋，k∈Z，
因为0<φ<π，所以φ＝，函数f(x)＝2sin 2x，
∵x∈，∴2x∈，
要使f(x)单调减，需满足－π<2x≤－，
即－<x≤－，所以函数的减区间为.
(2)由题意可得：g(x)＝2sin，
∵－≤x≤，∴－≤4x－≤，
∴－1≤sin≤，∴g(x)∈[－2，]．
列表：
4x－
－
－
0

x
－
－

g(x)
－
－2
0

描点连线得g(x)图象如下

当4x－∈，即x∈时，g(x)∈[－2，]
由题意知y＝m与y＝g(x)的图象在x∈有两个交点．
则符合题意的m的取值范围为(－2，－]．