学士学位论文--数学解题策略的进一步研究.doc

北方民族大学学士学位论文论文题目: 数学解题策略的进一步研究 院(部)名 称: 信息与计算科学学院 学 生 姓 名: 杨 令 宗 专 业: 数学与应用数学 学 号: 20093261 指导教师姓名: 叶 志 萍 论文提交时间: 论文答辩时间: 学位授予时间: 北方民族大学教务处II摘 要数学解题策略就是为了实现解题的目的而确定的采取行动的方针、方式和方法.与其它事物一样,数学解题的策略有其内在的规律性,这个规律性表现在解题策略遵循着其策略原则,即熟悉化原则、简单化原则、具体化原则及和谐化原则.掌握好这些原则,将会有利于解题策略的制定.探索、悟透问题的背景实质，琢磨寻求问题与问题之间的联系和发展，对指导解题有相当重要的意义，命题和解题中的观察、联想、类比、划归、变换、赋值、放缩、构造、一般化、特殊化、数形结合等策略，都体现了问题与问题之间的联系，命题着眼于扩大条件与结论之间的距离，力图掩盖条件与问题之间联系的痕迹，命题要从已有的知识结构、解题方法，演绎出新题，而解题则要把问题划归为已有知识、方法有联系的问题，既命题时从简单到复杂的演绎，而解题则是从复杂到简单的过度.结合实例的解题策略解读更易明白、清晰，符合熟悉化、简单化、具体化、和谐化原则的解题策略要求.关键词 数学解题策略，规律，原则,研究AbstractPrinciples, ways and means of mathematical problem solving strategy is determined to take action in order to achieve problem-solving purposes.Like everything else, has its inherent regularity in mathematical problem solving strategies, the performance of this regularity in the problem-solving strategies to follow its policy principle, that is familiar with the principle, the principle of simplification, the specific principles and the principle of harmonization.To master these principles, there will be conducive to the formulation of the problem-solving strategies.Discover, a thorough understanding of the background of the problem in real terms, pondering seek the link between the problems and issues and development, problem solving guidance of considerable importance,Proposition focus on expanding the distance between the conditions and conclusions, trying to cover up the traces of the link between the conditions and problems.Proposition from existing knowledge structure, problem-solving approach to the interpretation of a new title, and problem-solving should be classified as existing knowledge, methods, problems linked to both propositions from simple to complex interpretation, and the solutionquestions from the complex to the simple transition.With examples of problem-solving strategies interpretation easier to understand, clear and consistent with requirements of familiar, simple, specific, Harmony principle of problem solving strategies.Keywords : Mathematical problem-solving strategies, Law, Principle，Research目 录第1章 前言1第2章 数学解题策略举例22.1 观察 归纳与猜想22.2 数学归纳法22.3 枚举与筛选32.4 逻辑类分法42.5 从整体上看问题52.6 划归62.7 退中求进72.8 类比与猜想82.9 反正法92.10 构造法92.11 极端原理102.12 局部调整法112.13 夹逼122.14 变量代换132.15 递推方法142.16 抽屉原理152.17 数形结合15第3章 数学解题策略的一般方法173.2 求解的问题173.3 求证的问题173.4 问题解决的一般程序17第4章 总结18致谢19参考文献20II数学解题策略的进一步研究第1章 前言数学是关于研究客观世界的数量关系和空间形式的科学.当人们与客观世界产生密切接触.从数量关系和空间形式的角度反应出认知和客观世界的矛盾时.就形成了数学的问题.所以说，以数学为基本内容，或者虽不以数学为基本内容，但必须运用数学的原理、概念、理论或方法才能解决的问题称为数学问题.同时，数学作为各科科学的基础学科，推动着各门科学的向前发展与繁荣的重要地位，数学的发展程度在一定意义上也见证着各国生产力的发展状况，数学历史的发展一再印证“问题是数学的心脏”，只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力，而问题的缺乏则预示着独立发展的衰亡或终结.正如人类的每项事业都追求明确的目标一样，数学的研究也需要自己的问题.波利亚有一句著名的名言：“掌握数学就是意味着解题”.解题就是意味着问题的解，现代意义的问题的解除了注重结果，注重答案外，更注重解决的过程，策略及思维方法.“问题解决”已成为国际数学教育研究的焦点，人们对在数学教学中如何培养学生的解决问题的技能与能力进行不懈的研究，取得了一系列成果.随着研究的不断深入，人们逐渐认识到数学问题解决策略是该领域研究中的一个十分重要的课题，并且成为数学问题解决课题研究的热点，搞清解决数学问题的策略的有关问题对科学,高效地进行数学问题解决进而培养学生解决数学问题的能力具有重要的实践作用.一些学者将数学问题过程中思维结构分为三个层次阶段：运用一般逻辑方法；运用数学方法；运用具体的解题方法与技巧.实质上就是解决问题过程中运用解决策略的层次阶段.方法具有层次性，数学问题解决策略是区别于数学解题方法与具体技巧的，具有普适性，最高层次的信息处理方法.面对一个问题，采取什么样的策略是主体接触和了解数学问题后首先进行的选择性的思维操作.策略是选择，组合，改变或者是操作与当前问题的解决有关的事实，概念原理的一系列规则，旨在缩小问题条件与结论之间的差别，填补其空隙.总之数学解题策略是解决者找到正确解决办法的有力武器. 第2章 数学解题策略举例2.1 观察 归纳与猜想“观察归纳与猜想”是一种重要的思维方法，对于确定证明方向发现新定理都有重大的意义.归纳常常从观察开始，正如著名数学家G.波利亚所言：“先收集有关的材料，考察它们，加以比较，注意到一些规律性，最后把零零碎碎的细节归纳成有明显意义的整体”.观察改变一下形式这个形式很有规则，这是偶然的还是真有这样的规律？不妨再验证一下：，.再取多一些实验一下：.于是猜想.从这个例子可以看到，观察时不可把眼光停留在某一点上固定不变，而要根据问题的特点不断调整自己观察的角度，以利于观察出一定隐蔽性的内在规律. 2.2 数学归纳法2.2.1数学归纳法的基本形式1.第一数学归纳法.设是一个关于正整数的命题，如果(1)成立； (2)假设成立，则也成立，那么，对于任意正整数n都成立.2.第二假设法.设是一个关于正整数n的命题，如果(1)成立；(2)假设对于所有适合的正整数成立，则)成立.那么，对于任意正整数都成立.例 设n是个正整数，求多项式的根. 解 当n=1时， 多项式的根为.当时的根为和. 自然可以猜想多项式的根是， 应用数学归纳法证明：对于任意正整数，上面的猜想都成立.假设猜想对于 成立，那么，可以分解为，其中是的系数.重新检查的定义，可以看出，所以.对于n+1,=.因此的根为，,和）. 数学归纳法风格独到，具有固定的模式，但同时它又有极大的灵活性和很强的技巧性.2.3 枚举与筛选当我们面临的问题存在量的可能的答案，而暂时又无法排除这些答案的大部分时，就不得不采用检验这些答案中大部分时，就不得不采用逐一检验这些答案的策略，也就是利用枚举与筛选的策略来解题.枚举与筛选解题时，重要的是做到既不重复又不遗漏，这就好比工厂里质量检验员的责任是把不合格的产品挑出来，不让它出厂，于是就对所有的产品逐一检验，不能有漏检产品. 例 求这样的三位数，它除以11所得的余数等于它的三个数字的平方和.方法是：三个数字只有900个，可以枚举法解决，枚举时可先估计有关量的范围，以缩小讨论范围，减少计算量.设这个三位数百位、十位、个位的数字分别为,.由于任何数除以11所得余数都不大于10，所以，从而所以三位数必在以下数中：100，101,102,103,110,111,112，120,121,122,130,200,201,202，211,212,220,221,300,301,310.不难验证只有100,101，两个数字符合要求.2.4 逻辑类分法在遇到复杂问题时候，难以处理时，可以把问题划分为有限多个子问题来处理，然后再有针对性地逐一排除解决，最后把各个子问题的结论都归纳起来而得到整个问题的结论，这一种分类论证的方法叫逻辑分类法.施行逻辑分类法的好处是针对每一个子问题而言，原来中的某些不确定因素变成了确定性因素，使问题的解有了新的重要前提条件.对于同一个问题的研究可以有不同的分类标准：可以按问题的解（结论的不同）或者题设的不同而分类；可以按解的特征来分类；可以按照有关概念的特征来分类；可以按照图形的相对位置分类；可以按照有关参数所满足的条件来分类；可以按一些公式、法则、定理应用的范围来分类总之，要具体情况具体分析.确定了分类标准进行分类时还要遵循一定的规则： （1）分类是相称的.子问题不重复，不遗漏. （2）标准是确定的.每一次分类要用一个确定的分类标准，分类标准在没有 贯 彻彻底之前，不允许改变分类标准，连续分类严格按照层次逐级进行. 二分法是分类中最常用的一种方法，它是把被分类的对象或涉及的范围，按具有或不具有某个属性，分为互相矛盾的两类. 例1 在一直线上给定50条线段，求证下列结论至少有一个成立：（1） 存在8条线段有公共点；（2） 存在8条线段，其中的任意两条无公共点. 证 不妨设所给直线为数轴，是所有线段中右端点最小的一条线段.若含有的线段多余7条，则结论（1）成立.否则，至少有43条线段整个落在线段右方，在这些线段中，设是右端点最小的一条线段，则与无公共点，且或有8条线段包含，因而（1）成立；或者有36条线段整个落在右方，继续这一推理，则或者也有结论（1）成立，或者得到7个两两无公共点的线段,对每个,至少有50-7k条线段整个落在的右方.故在的右方至少有50-7*7=1条线段，于是结论(2)成立. 例2 试确定使整除的全部正整数（a,b）. 解 由于条件 显然，而=，故 ，下面分种情况：（1） .这时，矛盾.（2） .此时a,b应具有的形式，显然满足题设要求.（3） 这时由于，可知，进而b=1或2，当 b=1 时，由题设， 为自然数，可知a=11或a=49.有（a,b）=(11,1)或（49,1）；当b=2时，由 ，且注意到，可知，解得，矛盾， 综上所述，所有的正整数对（a,b）为（11,1），（49,1）或.2.5 从整体上看问题解数学题，常常化“整”为“零”，使问题变得简单，以利于问题的解决，不过有时候则反其到而行之，需要由“局部”到“整体”，站在整体的立场上，从问题的整体考虑，综合全局研究问题，通过研究整体结构、整体形式来把握 问题的本质，从中找到解决问题的途径.解决数学问题，有时不能过分拘泥于细节，要适时调整视角，注意从整体上看问题，既着眼与问题的全过程，抓住其整体特点，往往能达到化繁为简、变难为易的目的.例 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，购乙7件，购丙1件，共需要315元.若购甲4件，购乙10件，购丙1件，共需420件.问购甲、乙、丙各需多少钱？分析 通常的想法是先求出甲、乙、丙三种货物的单价是多少.但由于题目所给的已知条件少于未知数的个数，要求单价势必就得解不定方程，能否不求单价，而直接求甲、乙、丙各一件的价格当成一个整体来求呢？这就要从整体上把握条件与结论之间的联系. 解 设甲、乙、丙的单价分别为x,y,z元，则由题意得 题目实际上只要求x+y+z的值，而不必一一求出x,y,z的值，因此将x+y+z看作一个整体，从方程组中分离出x+y+z，得到 从而，x+y+z=105，既购得甲、乙、丙各需要105元.2.6 划归把所需要解决的问题转换为已经解决的问题，或容易解决的问题.同元问题相比，划归后的新问题必须是已经解决或较为成熟、简单的问题，它是数学最重要、最基本的思想之一.既把所要解决的问题，经过某种变化，使之归结为另一个问题，再通过问题的求解，把解得的结果作用于原有的问题，从而使原有的问题得解.将一个非基本的问题通过分解、变形、代换、或平移、旋转、伸缩多种方式，将它划归为一个熟悉的基本的问题，从而求出解答.若解一元二次方程我们就通过因式分解等方法，将它划归为一元一次方程来求解.而解特殊的一元高次方程时，又是划归为一元一次和一元二次方程求解.又如，对n边行的内角和，面积的求解，是通过分解，拼合为若干个三角形来加以求解的.再如，对一般圆锥曲线的研究，是通过坐标轴平移或旋转的，划归为基本的圆锥曲线来实现.总之，划归的原则是以已知的、简单的、具体的、特殊的、基本的知识为基础，将未知的化为已知的，复杂的化为简单的，抽象的化为具体的，一般的化为特殊的，非基本的化为基本的，从而得出正确的解答. 例 设m,n为正整数，求证：（1） m1时，. 证 （1）当mN+1995,即于是由N到素数p之间的数均为合数，且个数不小于1995个，所以p-1,p-2,，p-1995恰为1995个合数，而p为素数，因此，取P-1995, p-1994, ，p-2, p-1, p为1996个连续的正整数，其中恰有一个素数.这里可以看出，构造是一种创造性活动，要求我们积极展开想象，灵活运用所学知识.2.10.2 间接构造法 构造的对象的不仅仅是直接导致结论肯定和否定的实例，还包含有辅助工具.通过这些辅助的工具来铺路架桥，使问题能够顺利解决.构造的辅助工具可以是数、式、方程、函数、图表、计算程式等一系列手段.其关键是灵活运用. 例子 有质量数为克，克，克的砝码，证明：可以将它们分成质量相等的两组，每组各有500个砝码.分析 不可能一次性分组，注意到完全平方数的个位数的特征，尝试进行若干次对等分配.进一步构造等式不难验证上式是恒等式，再令 , k=0,1,2,，124.把等式两边的每一项视做一个砝码的质量，两边分别有123个砝码组，于是将全部砝码分成质量相等的两组，每组各有500个砝码.2.11 极端原理 所谓极端原理指的是直接抓住全体对象中的极端情形或它们所具有的某种极端性质加以研究，解决问题的思想方法. 从问题的极端情况考虑，对于数值问题来说，就是指取它的最大或最小值；对于一个动点来说，指的是线段的端点，三角形的顶点等.极端的假设实际上也为题目增加了一个条件，求解也会容易得多. 例 设X是一个有限集合，法则f使得X的每个偶子集E（由偶数个数元素组成的子集）都对应一个实数f(E),满足如下条件： （1）存在一个偶子集D，使得f(D)1990; (2)对于X的任意两个不相交的偶子集A，B，都有.求证：存在的子集和，使得(i),；(ii)对的任何非空子集，有1990；(iii)对的任何偶子集T，有1990.设T是Q的任一偶子集，若f(T)1990,则由（2）有，矛盾，故必有.2.12 局部调整法何为局部调整法？它通过变数中部分变数的调整，在其余变量暂时不变得情况下，将问题归结到简单的数量，位置关系上，求得问题的局部解决，经过有限次的成功，最后达到彻底解决. 局部调整法在解题中的作用大体可分为三种情形：（1）重复运用同一调整，既可使问题得以解决；（2）在不同阶段，根据对象不同，采取不同的调整策略，最终导致问题的解决；（3）依据局部调整解决问题中的某些环节.例 设整数n3,非负实数满足.求的最小值.解 当，其余的a均为零的时候，原始的值为1.5，下面将证明1.5就是原始的值.不等式对任意的成立，这个不等式等价于.将此代入原式，只需证明或者是既可.当n=4时，. 当n不小于5时，不妨设，我们可以将调整成0，调整成，这样不比原来小，再把这一项去掉，变成了n-1项，显然这样的乘积和又不比原来小，用无穷降法知对任意的一组 不少于4个且满足的成立，证毕.2.13 夹逼所谓夹逼就是适当处理被考查的数学对象被限制在一个较小的范围内，逐渐逼近目标的方法.例 求所有正整数，使得是一个正整数的立方.解 记，则 ，即.又.故当时，；当时，.当时，容易验证.唯有，故所求正整数为，.2.14 变量代换在解决数学问题时，常将某一个变量u看做另一个变量t的函数，或者把问题中复杂的解析式作为新的变量y处理，通过函数关系式或进行变量代换，得到了结构简单便于求解的新问题 . 利用变量代换法解题，关键在于根据问题结构的特征，选取能化难为易的函数或，就换元的形式而论是多种多样的，常用的有比值代换，根式代换，复变量代换，初等函数的变换，常值代换，三角代换等. 变量代换法作为重要的数学方法，在多项式的因式分解，代数式的化简计算，恒等式，条件等式或不等式的证明，方程，方程组，不等式，不等式组或混合组的求解，函数表达式，定义域，值域或极值的探求过程中都有着广泛的运用.例 解方程.分析 对原方程两边平方去根号是一种方法，但要十分小心避免出现高次方程而陷入困境.这里给出一个直观的方法，先对原方程变形，使得 此时的形式结构，会使我们联想到距离公式，进一步会想到椭圆方程的推导过程中的步骤，于是就产生了下面的解法.解 令，从而有.这是以为焦点，长轴之长为10，短轴之长为8的椭圆方程，既当时，就有. 人们习惯与变量代换法，往往认为常数是一个确定的数值不应该对它作任何的处理，其实不然，有时候常数用字母或者函数式表述，把常量暂时看做变量，通过研究变动的，一般的状态来了解确定的特殊情形，这种看来使问题复杂化了的方法，却推出巧妙的解法.2.15 递推方法 递推方法的步骤一般如下： （1）求初始值； （2）建立递归关系； （3）利用递归关系求解. 在建立递归关系遇到困难时，可列举单情形寻求启示，这可以与求初始值同步进行. 进行计数是递推的一项重要应用. 例 用1,2,3三个数字构造n位数，但不允许有两个紧挨着的1出现在n位数中（例如，当n=5时31213是允许的，而11233,31112等都是不允许的）.问能构造多少个这样的n位数？ 分析 设能构造个符合要求的n位数，容易知道，.当时，分如下两类情形：（1） 如果n位数第一个数字是2或3，那么这样的n位数有个.（2） 如果n位数第一个数字是1，那么第二个数字只能是2或3，这样的n位数有个. 因此，有递推关系，这样补充规定满足上式.由式的特征方程可解得两根为，故根据初始条件可得，所以2.16 抽屉原理 (1)第一抽屉原理.设有m个元素分属于n个集合（其两两的交集可以非空），且mkn（m,n,k均为正整数），则必有一个集合中至少有k+1个元素. (2)第二抽屉原理.设有m个元素分属于n个两两不相交的集合，且mkn（m,n,k均为正整数），则必有一个集合中至少有k-1个元素. (3)无限的抽屉原理.设有无穷多个元素分属于n个集合，则必有一个集合中有无穷多个元素. 例 设A为等差数列1,4,7,10,14，100中任意选取20个相异整数所成之集合.证明：在A中必有两个相异整数，其和为104. 证明 给定的数共有34个，其相邻两数的差均为3，把这些数分成如下18个不相交的集合：1,52,4,100,7,97,49,55,且把他们看成是18个抽屉，于是任取的20个整数中，必有两个数属于后面的16个抽屉中的一个.这两个数的和是104.此例子是根据某两个数的和是104来构造抽屉，一般地，与整数有关的存在性问题也可以根据不同的需要利用整数间的倍数关系，同余关系等来适当分组而构成抽屉.2.17 数形结合 数学是研究数量关系与空间形式和其它们之间关系的一门学科.“数”具有概况性、抽象性的形式，而“形”则具有具体化、形象化的特征，数形结合是数学解题策略的基本策略之一.许多代数问题，直接根据代数问题求解显得较为繁难，但如果能将欲解（证）的问题转化为与之相关的图形问题，使数量关系形象化，再根据图形的性质和特点进行解题，常能节省大量繁杂的计算，使问题简洁直观，别具一格.例 方程的实数解的个数是多少？解 因为对任意的x都有，所以只需考虑那些使的x,解得.先考虑，这时时，就有，即的图像与的图像在内相交于4点，如图所示当时，.而时，.在这77个区间内，两函数图像相交于个点（1x32）.当x=1时，两图像也交于一点，所以共有4+154+1=159个解.对于方程式或者不等式的讨论，特别是含参数的问题，若是用常规的方法求解，固然能培养学生的严密的逻辑推理能力，但是用数形结合的办法能培养学生的创造性性思维方式.第3章数学解题策略的一般方法 欧几里得原本包括有公理，定义和“命题”，所谓的命题就是“求解的问题”和“求证的问题”，求解的问题就是去构造，生成，得到，确定，某个对象，即问题的未知量，求证的问题就是去判定某个问题是对的或者是错的，去证明它，或者否定它.3.2 求解的问题 求解问题的目的就是去找某一对象，既问题的未知量，这个未知量满足那些把未知量与已知量联系起来的条件.3.3 求证的问题 求证的问题要做的就是弄清楚一个明确叙述的数学断言A，即证明A，或是否定A.3.4 问题解决的一般程序在按照欧几里得原本方式去作图时，我们不能自由区选择工具和仪器，我们是在仅有圆规与直尺的情况下去作图的.于是问题的解实际上就包括了从已知数据出发，最后达到所要求的图形的一系列非常协调的几何操作：我们每一步都是做直线和作圆以及决定他们的交点.以解二次方程的问题为例，这个解法包含在非常复杂的代数运算系统中，它从已知数据出发代数方程的系数出发，最后达到所求的根：我们运算的是加，减，乘，除给定的或前已求得的量，或者是这些量的开根.再考虑一个求证的问题，这个问题的解即我们努力的结果是一个证明，也就是一系列非常协调的逻辑运算，这些运算步骤从假设出发，终止于定理所要求的结论，每一步都是从适当选择的假设部分出发，推出新的东西. 第4章 总结通过对观察、归纳与猜想，数学归纳法，枚举与筛选，逻辑分类法，从整体看问题，化归，退中求进，类比于猜想，反证，构造法，局部调整法，夹逼，数形结合等策略的分析与具体实例的阐述，从中找到一些解题的具体技巧与思维方法，让思维不再坚硬，遇到不同的数学问题能从不同的角度入手，直到找到解题的思路方法.上述策略只能提供一些理论性质的参考，要想解题能力得以实质性的提供不是看看策略那么轻易的事情，还需在实战中去体验，感受.通过对数学解题策略的进一步研究的总结与提炼，在这个过程中学习到新的或者是回顾了一些旧的的方法，让我感受到学习数学的乐趣，提高了对数学的认识，锻炼了自己的思维，让自己不再面对一些问题束手无策，会主动采取不同的策略对问题进行分析，以找到合适的方法来解决问题，使学习数学，或者数学教学更生动，精彩. 致谢 由衷地感谢一直支持关心、照顾我的老师、家人和同学们.首先，要感谢我的论文指导老师叶志萍老师,本论文的撰写工作自始至终都是在老师的指导下完成的.还没有写论文之前，老师就提前给了我毕业设计任务书和论文书写的格式，这让我少走许多弯路，初步认识论文.由于我要考公务员，我时间紧迫，叶老师给我很多鼓励与通融，我在家不知情的情况下，老师给了我及时的提醒和建议. 在论文开题和预答辩时，给我提出了十分中肯的意见，也使我在论文写作中受益颇深.叶老师对我严格的要求，让我在较短时间内认真的完成了论文设计.我愿借此机会向叶老师致以最衷心的感谢，祝叶老师家庭和睦幸福、事事顺心.其次，要感谢我的家人给予我关怀、问候和照顾，无论什么时候他们总是在我身边，让我感到家的温暖.最后，感谢在四年里朋友、同学们的关心帮助，让我能快乐学习和顺利的完成学业.参考文献1 Richard Skemp,The Psychology of Iearning Mathematics,Penguin,1971.2 Robert, M.Gagne.The Condition of Iearning,Printed in the United States of America,1997.3Alan,H.SchoenfeldConitiveScienceandMathematicsEducation,Hillsdale,NJ:Iawrence Erlbailm Associate,1987.4 数学解题策略，作者：朱华伟，钱展望.出版社:科学出版社，2009年.5 数学解题策略浅谈，作者：张静，重庆科技学院学报（社会科学版），2009年02期.6 数学解题策略研究，作者：牛锦萍,任晖，数学教学研究2003年第07期.7 数学应用题的解题策略及教学研究，作者：吴婷，华中师范大学，2011年.8 数学解题策略问题解答，作者：朱华伟，钱展望，出版社： 科学出版社，2011年5月.9数学的发现，作者：乔治.波利亚，出版社：科学出版社，2007年7月.10刘云章,等.数学解题思维策略一波利亚著作选讲M.长沙:湖南教育出版社,1991.11郑毓信.认知科学、建构主义与数学教育M上海:土海教育出版社,1998.51-32.12李明振.数学问题解决策略及其训练研究J.贵州师范大学学报(自然科学版),1998,16(2):72-76.13郑毓信.数学方法论M.南宁:广西教育出版社,1998.14罗增儒.数学解题学引论M.西安:陕西师范大学出版社,1998.15顾 援.课堂教学中的学习策略J.教育理论与实践,2000,20(11):41-49.20