数列知识点总结及题型归纳.pdf
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1 数列数列一、数列的概念一、数列的概念(1)数列定义:按一定次序排列的一列数叫做数列;数列中的每个数都叫这个数列的项。记作,在数列第一个位置的项叫第 1 项(或首项),在第二个na位置的叫第 2 项,序号为 的项叫第项(也叫通项)记作;nnna数列的一般形式:,简记作。1a2a3ana na(2)通项公式的定义:如果数列的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式na就叫这个数列的通项公式。例如:1,2,3,4,5,:514131211,说明:表示数列,表示数列中的第项,=表示数列的通项公式;nananna f n 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如,=;na(1)n1,21()1,2nkkZnk 不是每个数列都有通项公式。例如,1,1.4,1.41,1.414,(3)数列的函数特征与图象表示:从函数观点看,数列实质上是定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从 1N()f nn开始依次取值时对应的一系列函数值,通常用来代替,其图象是(1),(2),(3),fff()f nna f n一群孤立点一群孤立点。(4)数列分类:按数列项数是有限还是无限分:有穷数列和无穷数列;按数列项与项之间的大小关系分:递增数列、递减数列、常数列和摆动数列。例:下列的数列,哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列?(1)1,2,3,4,5,6,(2)10,9,8,7,6,5,(3)1,0,1,0,1,0,(4)a,a,a,a,a,(5)数列的前项和与通项的关系:nannSna11(1)(2)nnnSnaSSn二、等差数列二、等差数列(一一)、等差数列定义:一般地,如果一个数列从第项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这2个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母表示。用递推公式表示为d或或1(2)nnaad n1(1)nnaad n例:等差数列,12 nan1nnaa(二二)、等差数列的通项公式:等差数列的通项公式:;1(1)naand说明:等差数列(通常可称为数列)的单调性:为递增数列,为递增数列,为常数列,为常数列,为递减数列为递减数列。A Pd00d 0d 例例:1.已知等差数列中,等于()na12497116aaaa,则,A15 B30 C31 D642.是首项,公差的等差数列,如果,则序号等于na11a 3d 2005na n(A)667 (B)668 (C)669 (D)670 3.等差数列,则为 为 (填“递增数列”或12,12nbnannnanb2 “递减数列”)(三三)、等差中项的概念:定义:如果定义:如果,成等差数列,那么成等差数列,那么叫做叫做与与的等差中项。其中的等差中项。其中 aAbAab2abA ,成等差数列 即:()aAb2abA212nnnaaamnmnnaaa2例:1(全国 I)设是公差为正数的等差数列,若,则(na12315aaa12380a a a 111213aaa)A B C D1201059075(四四)、等差数列的性质:(1 1)在等差数列)在等差数列中,从第中,从第 2 2 项起,每一项是它相邻二项的等差中项;项起,每一项是它相邻二项的等差中项;na(2 2)在等差数列)在等差数列中,相隔等距离的项组成的数列是等差数列;中,相隔等距离的项组成的数列是等差数列;na(3 3)在等差数列)在等差数列中,对任意中,对任意,;namnN()nmaanm dnmaadnm()mn(4 4)在等差数列)在等差数列中,若中,若,且且,则,则;namnpqNmnpqmnpqaaaa(五五)、等差数列的前和的求和公式:。(n11()(1)22nnn aan nSnadnda)(2n2112是等差数列是等差数列 ),(2为常数BABnAnSn na递推公式:递推公式:2)(2)()1(1naanaaSmnmnn 例:1.如果等差数列 na中,34512aaa,那么127.aaa(A)14 (B)21 (C)28 (D)352.(湖南卷文)设nS是等差数列 na的前 n 项和,已知23a,611a,则7S等于()A13 B35 C49 D 63 3.(全国卷)设等差数列 na的前n项和为nS,若972S,则249aaa=4.若一个等差数列前 3 项的和为 34,最后 3 项的和为 146,且所有项的和为 390,则这个数列有()A.13 项B.12 项C.11 项D.10 项5.已知等差数列的前项和为,若 nannS118521221aaaaS,则6.(全国卷)设等差数列 na的前n项和为nS,若535aa则95SS 7.已知数列是等差数列,其前 10 项的和,则其公差等于()na1010a7010Sd C.D.3132BA31328.(陕西卷文)设等差数列 na的前 n 项和为ns,若6312as,则na 3 9(全国)设an为等差数列,Sn为数列an的前n项和,已知S77,S1575,Tn为数列nSn的前n项和,求Tn。(六六).).对于一个等差数列:对于一个等差数列:(1 1)若项数为偶数,设共有)若项数为偶数,设共有项,则项,则偶偶奇奇;2nSSnd1nnSaSa奇偶(2 2)若项数为奇数,设共有)若项数为奇数,设共有项,则项,则奇奇偶偶;。21nSSnaa中1SnSn奇偶1.一个等差数列共 2011 项,求它的奇数项和与偶数项和之比_2.一个等差数列前 20 项和为 75,其中奇数项和与偶数项和之比 1:2,求公差 d3.一个等差数列共有 10 项,其偶数项之和是 15,奇数项之和是,则它的首项与公差分别是_225(七七).对与一个等差数列,对与一个等差数列,仍成等差数列。仍成等差数列。nnnnnSSSSS232,例:1.等差数列an的前m项和为 30,前 2m项和为 100,则它的前 3m项和为()A.130 B.170 C.210 D.2602.一个等差数列前项的和为 48,前 2项的和为 60,则前 3项的和为 。nnn3已知等差数列的前 10 项和为 100,前 100 项和为 10,则前 110 项和为 na4.设为等差数列的前项和,=nS nan971043014SSSS,则,5(全国 II)设Sn是等差数列an的前n项和,若,则36SS13612SSA B C D310131819(八八)判断或证明一个数列是等差数列的方法:判断或证明一个数列是等差数列的方法:定义法:定义法:是等差数列是等差数列)常数)(Nndaann(1 na中项法:中项法:是等差数列是等差数列)221Nnaaannn(na通项公式法:通项公式法:是等差数列是等差数列),(为常数bkbknan na前前项和公式法:项和公式法:n是等差数列是等差数列),(2为常数BABnAnSn na例:例:1.已知数列满足,则数列为()na21nnaanaA.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 2.已知数列的通项为,则数列为()na52 nannaA.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断3.已知一个数列的前 n 项和,则数列为()na422 nsnnaA.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断4.已知一个数列的前 n 项和,则数列为()na22nsnna4 A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断5.已知一个数列满足,则数列为()na0212nnnaaanaA.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断6.数列满足=8,()na1a022124nnnaaaa,且 Nn 求数列的通项公式;na7(天津理,2)设Sn是数列an的前n项和,且Sn=n2,则an是()A.等比数列,但不是等差数列 B.等差数列,但不是等比数列C.等差数列,而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列(九九).数列最值(1 1),时,时,有最大值;有最大值;,时,时,有最小值;有最小值;10a 0d nS10a 0d nS(2 2)最值的求法:最值的求法:若已知若已知,nS的最值可求二次函数的最值可求二次函数2nSanbn的最值;的最值;nSnS可用二次函数最值的求法(可用二次函数最值的求法();或者求出或者求出 na中的正、负分界项,即:中的正、负分界项,即:nN若已知若已知,则,则最值时最值时的值(的值()可如下确定)可如下确定或或。nanSnnN100nnaa100nnaa 例:1等差数列中,则前 项的和最大。na12910SSa,2设等差数列的前项和为,已知 nannS 001213123SSa,求出公差的范围,d 指出中哪一个值最大,并说明理由。1221SSS,3(上海)设an(nN N*)是等差数列,Sn是其前n项的和,且S5S6,S6S7S8,则下列结论错误的是()A.d0 B.a70 C.S9S5 D.S6与 S7均为 Sn的最大值4已知数列的通项(),则数列的前 30 项中最大项和最小项分别是 na9998nn Nn na5.已知是等差数列,其中,公差。na131a 8d (1)数列从哪一项开始小于 0?na(2)求数列前项和的最大值,并求出对应的值nann(十十).).利用利用求通项求通项11(1)(2)nnnSnaSSn5 1.数列的前项和(1)试写出数列的前 5 项;(2)数列是等差数列吗?(3)你能写出nan21nSnna数列的通项公式吗?na 2.设数列的前 n 项和为 Sn=2n2,求数列的通项公式;nana3.(安徽文)设数列na的前 n 项和2nSn,则8a的值为()(A)15 (B)16 (C)49 (D)644、北京卷)数列an的前n项和为Sn,且a1=1,n=1,2,3,求a2,a3,a4的值及数列113nnaSan的通项公式 三、等比数列三、等比数列等比数列定义一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母表示,即:q(0)q 1na(0)naq q(一一)、递推关系与通项公式、递推关系与通项公式mnmnnnnnqaaqaaaa推广:通项公式:递推关系:111q1 在等比数列中,,则 na2,41qana2 在等比数列中,则 na3712,2aq19_.a3.(07 重庆文)在等比数列an中,a28,a164,则公比 q 为()(A)2(B)3(C)4(D)84.在等比数列中,则=na22a545a8a5.在各项都为正数的等比数列中,首项,前三项和为 21,则()na13a 345aaaA 33 B 72 C 84 D 189(二二)、等比中项:若三个数、等比中项:若三个数成等比数列,则称成等比数列,则称为为的等比中项,且为的等比中项,且为是是cba,bca与acbacb2,注:成等比数列的必要而不充分条件成等比数列的必要而不充分条件.例:例:1.和的等比中项为()2323 ()1A()1B()1C()2D6 2.(重庆卷文)设 na是公差不为 0 的等差数列,12a 且136,a a a成等比数列,则 na的前n项和nS=()A2744nn B2533nn C2324nnD2nn(三三)、等比数列的基本性质,、等比数列的基本性质,1.1.(1)qpnmaaaaqpnm,则若),(Nqpnm其中(2))(2Nnaaaaaqmnmnnmnmn,(3)为等比数列,则下标成等差数列的对应项成等比数列.na(4)既是等差数列又是等比数列是各项不为零的常数列.na na例:1在等比数列中,和是方程的两个根,则()na1a10a22510 xx 47aa 5()2A 2()2B1()2C 1()2D2.在等比数列,已知,则=na51a100109aa18a3.等比数列的各项为正数,且()na5647313231018,loglogloga aa aaaa则 A12 B10 C8 D2+3log 5 4.(广东卷)已知等比数列na满足0,1,2,nan,且25252(3)nnaan,则当1n 时,2123221logloglognaaa ()A.(21)nn B.2(1)n C.2n D.2(1)n(四四)、等比数列的前、等比数列的前 n n 项和,项和,)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn例:1.已知等比数列的首相,公比,则其前 n 项和 na51a2qnS2(北京卷)设,则等于()4710310()22222()nf nnN()f nAB C D2(81)7n12(81)7n32(81)7n42(81)7n3(全国文,21)设等比数列an的前n项和为Sn,若S3S62S9,求数列的公比q;(五五).).等比数列的前等比数列的前 n n 项和的性质项和的性质7 若数列是等比数列,是其前 n 项的和,那么,成等比数列.nanS*Nk kSkkSS2kkSS23例:1.(辽宁卷)设等比数列 na的前 n 项和为nS,若 63SS=3,则 69SS=A.2 B.73 C.83 D.32.一个等比数列前项的和为 48,前 2项的和为 60,则前 3项的和为()nnnA83 B108 C75 D633.已知数列是等比数列,且 nammmSSS323010,则,(六六)、等比数列的判定法(1)定义法:为等比数列;(常数)qaann 1 na(2)中项法:为等比数列;)0(221nnnnaaaa na(3)通项公式法:为等比数列;为常数)qkqkann,(na(4)前项和法:为等比数列。n为常数)(qkqkSnn,)1(na为等比数列。为常数)(qkkqkSnn,na例:1.已知数列的通项为,则数列为()nanna2naA.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断2.已知数列满足,则数列为()na)0(221nnnnaaaanaA.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断3.已知一个数列的前 n 项和,则数列为()na1n22nsnaA.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断四、求数列通项公式方法四、求数列通项公式方法(1 1)公式法(定义法)根据等差数列、等比数列的定义求通项公式法(定义法)根据等差数列、等比数列的定义求通项例:1 已知等差数列满足:,求;na26,7753aaana2.等比数列的各项均为正数,且,求数列的通项公式na13221 aa62239aaana3.已知数列满足(),求数列的通项公式;na2122142nnnaaaaa且,Nn na4.已知数列满足且(),求数列的通项公式;na,21a1152(5)nnnnaa Nn na8 5.数列已知数列满足则数列的通项公式=na111,41(1).2nnaaan na(2 2)累加法累加法1、累加法、累加法 适用于:适用于:1()nnaaf n若,则 1()nnaaf n(2)n 21321(1)(2)()nnaafaafaaf n 两边分别相加得 111()nnkaaf n例:1.已知数列满足,求数列的通项公式。na141,21211naaannna2.已知数列满足,求数列的通项公式。na11211nnaana,na3.已知数列满足,求数列的通项公式。na112 313nnnaaa,na(3)累乘法)累乘法适用于:适用于:1()nnaf n a若,则1()nnaf na31212(1)(2)()nnaaafff naaa,两边分别相乘得,1111()nnkaaf ka例:1.已知数列满足,求数列的通项公式。na112(1)53nnnanaa,na2.已知数列满足,求。na321annanna11na9 3.已知,求。31annanna23131)1(nna(4 4)待定系数法待定系数法 适用于适用于1()nnaqaf n例:例:1.已知数列中,求数列的通项公式。na111,21(2)nnaaan na2.(重庆,文,14)在数列中,若,则该数列的通项_ na111,23(1)nnaaanna3.已知数列满足求数列的通项公式;na*111,21().nnaaanN na(5)递推公式中既有)递推公式中既有nS 分析:把已知关系通过转化为数列或的递推关系,然后采用相应的方法求解。11,1,2nnnS naSSn nanS1.(北京卷)数列an的前n项和为Sn,且a1=1,n=1,2,3,求a2,a3,a4的值及数113nnaS列an的通项公式 2.(山东卷)已知数列的首项前项和为,且,证明数列 na15,a nnS*15()nnSSnnN是等比数列1na(6)取倒数法。10 五、数列求和五、数列求和1 1直接用等差、等比数列的求和公式求和。直接用等差、等比数列的求和公式求和。dnnnaaanSnn2)1(2)(11 )1(1)1()1(11qqqaqnaSnn 公比含字母时一定要讨论公比含字母时一定要讨论2 2错位相减法求和:如:错位相减法求和:如:.,2211的和求等比等差nnnnbabababa例:1求和21123nnSxxnx 2.求和:nnanaaaS323213 3裂项相消法求和:把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。裂项相消法求和:把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项:111)1(1nnnn )121121(21)12)(12(1nnnn)211(21)2(1nnnn )2)(1(1)1(121)2)(1(1nnnnnnn !)!1(!nnnn )!1(1!1)!1(nnnn 数列是等差数列,数列的前项和 na11nnaan例:1.数列na的前n项和为nS,若1(1)nan n,则5S等于()A1 B56 C16 D1302.已知数列的通项公式为,求前项的和;na1(1)nan nn4.已知数列的通项公式为,设,求nana12n13242111nnnTa aaaaanT11 5求。)(,32114321132112111*Nnn3.已知等差数列满足,.na02a1086 aa(1)求数列的通项公式及 nanS(2)求数列的前 n 项和21nna7.已知等差数列满足:,的前 n 项和na26,7753aaananS(1)求及nanS(2)令(),求数列前 n 项和112nnab NnnbnT- 配套讲稿:
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