2022版高考数学一轮复习-第七章-立体几何-第六讲-空间向量及其运算学案新人教版.doc

2022版高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第六讲 空间向量及其运算学案新人教版

2022版高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第六讲 空间向量及其运算学案新人教版

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第六讲　空间向量及其运算(理)

知识梳理·双基自测

知识点一　空间向量的有关概念
1．空间向量的有关概念
(1)空间向量：在空间中，具有__大小__和__方向__的量叫做空间向量，其大小叫做向量的__长度__或__模__．
(2)相等向量：方向__相同__且模__相等__的向量．
(3)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线__平行__或__重合__，则这些向量叫做__共线向量__或__平行向量__．
(4)共面向量：平行于同一__平面__的向量叫做共面向量．
2．空间向量中的有关定理
(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在唯一确定的λ∈R，使a＝λb．
(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb．
(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc．其中{a，b，c}叫做空间的一个基底．
3．空间向量的数量积及运算律
(1)已知两个非零向量a，b，在空间任取一点，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作__〈a，b〉__，其范围是__0≤〈a，b〉≤π__，若〈a，b〉＝，则称a与b__互相垂直__，记作a⊥b．
向量a，b的数量积a·b＝__|a||b|cos〈a，b〉__．
(2)空间向量数量积的运算律
结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
交换律：a·b＝b·a；
分配律：a·(b＋c)＝__a·b＋a·c__．
知识点二　空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．

向量表示
坐标表示
数量积
a·b
__a1b1＋a2b2＋a3b3__
共线
a＝λb(b≠0)
__a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3__
垂直
a·b＝0
(a≠0，b≠0)
__a1b1＋a2b2＋a3b3＝0__
模
|a|
____
夹角
〈a，b〉
(a≠0，b≠0)
cos〈a，b〉
＝____

1．向量三点共线定理
在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点．
2．向量四点共面定理
在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点．

题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)空间中任意两个非零向量a，b共面．(　√　)
(2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．(　×　)
(3)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c．(　×　)
(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．(　×　)
(5)若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0．(　√　)
(6)若a·b＜0，则〈a，b〉是钝角．(　×　)
题组二　走进教材
2．(必修2P97A组T2)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　A　)

A．－a＋b＋c B．a＋b＋c
C．－a－b＋c D．a－b＋c
[解析]　＝＋＝＋(－)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c．
3．(必修2P98T3)正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为____．
[解析]　||2＝2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2，
∴||＝，∴EF的长的．
题组三　走向高考
4．(2018·课标Ⅱ)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　C　)
A． B．
C． D．
[解析]　以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，∵AB＝BC＝1，AA1＝，∴A(1,0,0)，D1(0，0，)，D(0,0,0)，B1(1,1，)，＝(－1,0，)，＝(1,1，)，设异面直线AD1与DB1所成的角为θ，则cos θ＝＝＝，∴异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为，故选C．

5．(2020·江苏，22)在三棱锥A－BCD中，已知CB＝CD＝，BD＝2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO＝2，E为AC的中点．

求直线AB与DE所成角的余弦值．
[解析]　连接OC，因为CB＝CD，O为BD的中点，
所以CO⊥BD．
又AO⊥平面BCD，所以AO⊥OB，AO⊥OC．
以{，，}为基底，建立空间直角坐标系O－xyz．
因为BD＝2，CB＝CD＝，AO＝2，
所以B(1,0,0)，D(－1,0,0)，C(0,2,0)，A(0,0,2)．
因为E为AC的中点，所以E(0,1,1)．
则＝(1,0，－2)，＝(1,1,1)，
所以|cos〈，〉|＝＝＝．
因此，直线AB与DE所成角的余弦值为．

考点突破·互动探究
考点一　空间向量的线性运算——自主练透
例1 (1)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．

①化简－－＝____．
②用，，，表示，则＝__＋＋__．
(2)在三棱锥O－ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量，，表示，．

[解析]　(1)①－－＝－(＋)＝－＝＋＝．
②因为＝＝(＋)．
所以＝＋＝(＋)＋＝＋＋．
(2)＝＋＝＋
＝＋(－)
＝＋[(＋)－]
＝－＋＋．
＝＋＝－＋＋
＝＋＋．

名师点拨
](1)用基向量表示指定向量的方法
用已知基向量表示指定向量时，应结合已知和所求观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知基向量表示出来．
(2)向量加法的多边形法则
首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则．
提醒：空间向量的坐标运算类似于平面向量中的坐标运算．
〔变式训练1〕
(1)如图所示，在空间几何体ABCD－A1B1C1D1中，各面为平行四边形，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：

①＝__a＋c＋b__；
②＋＝__a＋b＋c__．
(2)(2021·晋江模拟)设O－ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为____．
[解析]　(1)①因为P是C1D1的中点，
所以＝＋＋
＝a＋＋
＝a＋c＋＝a＋c＋b．
②因为M是AA1的中点，
所以＝＋＝＋
＝－a＋
＝a＋b＋c．
又＝＋＝＋
＝＋＝c＋a，
所以＋＝＋
＝a＋b＋c．
(2)如图所示，取BC的中点E，连接AE．

则＝＝(＋)＝＋＝＋(＋)＝＋(－＋－)＝(＋＋)，∴x＝y＝z＝．
考点二　空间向量共线、共面定理的应用——师生共研
例2 如图所示，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足＝k，＝k(0≤k≤1)．

(1)向量是否与向量，共面？
(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？
[解析]　(1)∵＝k，＝k，
∴＝＋＋＝k＋＋k
＝k(＋)＋＝k(＋)＋
＝k＋＝－k＝－k(＋)
＝(1－k)－k，
∴由共面向量定理知向量与向量，共面．
(2)当k＝0时，点M、A重合，点N、B重合，
MN在平面ABB1A1内，当0＜k≤1时，
MN不在平面ABB1A1内，
又由(1)知与、共面，
所以MN∥平面ABB1A1．

名师点拨
1．证明空间三点P、A、B共线的方法
(1)＝λ(λ∈R)；
(2)对空间任一点O，＝＋t(t∈R)；
(3)对空间任一点O，＝x＋y(x＋y＝1)．
2．证明空间四点共面的方法
对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面．
(1)＝x＋y；
(2)对空间任一点O，＝＋x＋y；
(3)对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)；
(4)∥(或∥或∥)．
〔变式训练2〕
已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝(＋＋)．
(1)判断，，三个向量是否共面；
(2)判断点M是否在平面ABC内．
[解析]　(1)由题知＋＋＝3，
所以－＝(－)＋(－)，
即＝＋＝－－，
所以，，共面．
(2)由(1)知，，，共面且基线过同一点M，
所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内．
考点三,空间向量的坐标运算——师生共研
例3　(2021·安庆模拟)已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1，1,2)，C(－3,0,4)，设a＝，b＝．
(1)若|c|＝3，且c∥，求c；
(2)求a和b的夹角的余弦值；
(3)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值；
(4)若λ(a＋b)＋μ(a－b)与z轴垂直，求λ，μ应满足的关系．
[解析]　(1)∵c∥，
所以c＝m＝m(－2，－1,2)＝(－2m，－m,2m)．
所以|c|＝＝3|m|＝3．
即m＝±1．所以c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)．
(2)因为a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，
所以a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1．
又|a|＝＝，
|b|＝＝，
所以cos〈a，b〉＝＝＝－．
所以a和b夹角的余弦值为－．
(3)解法一：因为ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)，所以(k－1，k,2)(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0．
所以k＝2或k＝－．
即当ka＋b与ka－2b互相垂直时，k＝2或k＝－．
解法二：由(2)知|a|＝，|b|＝，a·b＝－1，
所以(ka＋b)·(ka－2b)＝k2a2－ka·b－2b2＝2k2＋k－10＝0，得k＝2或k＝－．
(4)因为a＋b＝(0,1,2)，a－b＝(2,1，－2)，
所以λ(a＋b)＋μ(a－b)＝(2μ，λ＋μ，2λ－2μ)．
因为[λ(a＋b)＋μ(a－b)]·(0,0,1)＝2λ－2μ＝0，
即当λ，μ满足关系λ－μ＝0时，可使λ(a＋b)＋μ(a－b)与z轴垂直．

名师点拨
空间向量的坐标运算与平面向量坐标运算类似，可对比应用．
利用空间向量的坐标运算解题是高考立体几何大题的必考内容，而寻求三条两两互相垂直的直线建立空间直角坐标系是解题的突破口．
〔变式训练3〕
(1)与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是(　A　)
A．和
B．
C．
D．或
(2)已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k＝(　D　)
A．－1 B．
C． D．
[解析]　(1)与向量a＝(－3，－4,5)共线的单位向量为±＝±(－3，－4,5)＝
或．
(2)由题意，得ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，所以(ka＋b)·(2a－b)＝3(k－1)＋2k－2×2＝5k－7＝0，解得k＝．

名师讲坛·素养提升
向量在立体几何中的简单应用
例4 (1)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝，点P为线段A1C上的动点，则下列结论错误的是(　B　)

A．当＝2时，B1，P，D三点共线
B．当⊥时，⊥
C．当＝3时，D1P∥平面BDC1
D．当＝5时，A1C⊥平面D1AP
(2)(2021·广东珠海期末改编)已知球O的半径为2，A，B是球面上的两点，且AB＝2，若点P是球面上任意一点，·的取值可能是：①－2；②0；③2；④4．
则其中正确的有(　　)个．(　D　)
A．1 B．2
C．3 D．4
(3)二面角α－l－β为60°，A，B是棱l上的两点，AC，BD分别在半平面α，β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝a，BD＝2a，则CD的长为(　A　)

A．2a B．a
C．a D．a
[解析]　(1)如图建立空间直角坐标系，A1(1,0,1)，C(0，，0)，D1(0,0,1)，A(1,0,0)，B1(1，，1)，D(0,0,0)，

当＝2时，＝，
＝＋＝，而＝(1，，1)，
∴＝，
∴B1、P、D三点共线，A正确；
＝＋＝＋λ＝(－λ，λ，1－λ)．
当⊥时，·＝5λ－1＝0，∴λ＝，
∴·＝·＝－≠0，
∴⊥错；
当＝3时，＝，
＝－＝，
又＝(1，，0)，＝(0，，1)，
∴＝－，
∴D1P∥平面BDC1，C正确；
当＝5时，＝，
从而＝，
又·＝(－1,0,1)·(－1，，－1)＝0，
∴A1C⊥AD1，
·＝(－，，)·(－1，，－1)＝0，
∴A1C⊥AP，
∴A1C⊥平面D1AP，D正确，故选B．
(2)由球O的半径为2，A，B是球面上的两点，
且AB＝2，可得∠AOB＝，
·＝2×2×(－)＝－2，|＋|＝2，
·＝(－)·(－)＝·－(＋)·＋2＝－2－|＋|·||cos θ＋4＝2－4cos θ∈[－2，6]，故①②③④都正确，选D．
(3)∵AC⊥l，BD⊥l，
∴〈，〉＝60°，且·＝0，·＝0，
∴＝＋＋．
∴||＝
＝＝2a．故选A．
例5

如图，在直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为棱AB，BB′的中点．
(1)求证：CE⊥A′D；
(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．
[解析]　解法一：由题意可知CA、CB、CC′两两垂直，如图建立空间直角坐标系，且设AC＝BC＝AA′＝2a，

则＝(0,2a，a)，＝(－a，a，－2a)，＝(－2a,0,2a)
(1)∵·＝0＋2a2－2a2＝0，
∴⊥，即CE⊥A′D．
(2)记异面直线CE与AC′所成角为θ，
则cos θ＝|cos〈，〉|＝＝＝．
解法二：(1)证明：设＝a，＝b，＝c，
根据题意得|a|＝|b|＝|c|，
且a·b＝b·c＝c·a＝0，
∴＝b＋c，＝－c＋b－a，
∴·＝－c2＋b2＝0，
∴⊥，即CE⊥A′D．
(2)∵＝－a＋c，||＝|a|，＝b＋c，
||＝|a|，
·＝(－a＋c)·＝c2＝|a|2，
∴cos〈，C〉＝＝＝，
即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为．

名师点拨
空间向量数量积的应用中的主要题型
(1)求夹角：设向量a，b所成的角为θ，则cosθ＝，进而可求两异面直线所成的角．
(2)求长度(距离)：运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题．
(3)解决垂直问题：利用a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题．
注：若几何体中存在两两垂直的三线，可建空间直角坐标系，“坐标化”求解．
〔变式训练4〕
(1)如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．则AC1＝____；BD1与AC夹角的余弦值为____．

(2)(2021·湖南省六校联考)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，底面是边长为a的菱形，∠BAD＝60°，AA1＝2a，则直线A1C1与B1C成角的余弦值为____．

[解析]　(1)记＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
∴a·b＝b·c＝c·a＝．
∴||2＝(a＋b＋c)2
＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)
＝1＋1＋1＋2×＝6．
∴||＝，即A1C的长为．
又＝b＋c－a，＝a＋b，
∴||＝，||＝．
∴·＝(b＋c－a)·(a＋b)
＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1．
∴cos，＝＝．
∴AC与BD1夹角的余弦值为．
(2)连接AC、BD相交于O，
∵四边形ABCD是菱形，∴AB⊥CD，
如图建立空间直角坐标系，

则B1(0，，2a)，C，C1，A1，
∴＝(－a,0,0)，＝，
记B1C与A1C1所成角为θ，则
cos θ＝＝＝．
注：本题也可连AC、AB1，解△AB1C，求cos∠ACB1即可．