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数形结合法在解题中的应用

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目 录

0 引言 1
1 以“数"化“形” 2
1.1 利用韦恩图法解决集合之间的关系问题 2
1。2 利用二次函数的图象求一元二次不等式的解集 3
1.3 利用两点间距离公式辅助图形，解决代数综合题 3
2 以“形”变“数" 4
2。1 用解析法解决平面解析几何中的圆锥曲线问题 4
3 “形”“数”互变 6
3.1 数轴在有理数化简中的应用 6
3.2 利用三角函数图象求角度 7
3.3 利用数形结合解决平面几何问题 7
结论 9
致 谢 9
参考文献

第 11 页 共 10 页
数形结合法在解题中的应用
提 纲

1 以“数”化“形"
1。1 利用韦恩图法解决集合之间的关系问题
1.2 利用二次函数的图象求一元二次不等式的解集
1.3 利用两点间距离公式辅助图形,解决代数综合题
2 以“形”变“数"
2。1 用解析法解决平面解析几何中的圆锥曲线问题
3 “形”“数”互变
3。1 数轴在有理数化简中的应用
3.2 利用三角函数图象求角度
3.3 利用数形结合解决平面几何问题。
数形结合法在解题中的应用

摘 要：数形结合法是解决数学问题中最基本、也最常用的思想方法.本文就中学数学中的不等式、集合、函数、解析几何等内容，举例阐述数形结合法在解题中的三点应用。
关键词：数形结合；中学数学;应用;解决问题

引言
做事情，如果想要事半功倍，就必须讲究方法，其实,何止事半功倍，有时方法甚至起到了决定性的作用，缺乏有效的方法，不仅谈不上效率,而且问题不能解决，事情也就根本不能成功，数形结合法对解决某些数学问题就起到了决定性的作用，如果能将数与形巧妙地结合起来，一些看似无法入手的问题就会迎刃而解，产生事半功倍的效果.我国著名的数学家华罗庚曾精辟地概括了数形结合法的内涵：数与形，本是相倚依，焉能分作两边分,数缺形时少直觉，形少数时难入微,数形结合万般好，割离分家万事非,切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离!可见,数与形存在着十分密切的联系。其实，在中学数学中，有很多内容就是集“数”“形"于一身的良好载体，例如：函数、解析几何等等，本文试从中学数学中的有理数、不等式、集合、三角函数、函数及其图象、平面几何、解析几何内容方面，举例说明数形结合法在中学数学解题中的三点应用:（1）以“数”化“形"；（2）以“形”变“数”；（3)“形”“数"互变.
1 以“数”化“形”
在中学数学中的代数内容主要是数字和文字的运算，如：加法、减法、乘法、除法、乘方、开方，这些概念、法则、算律都比较抽象,运算有时很繁琐,让人难以把握。而“形”具有形象、直观的优点，因此，在思考和解决问题时，对于某些从表面上看来与图形不相关的概念和问题，有时可以从某种特定的角度，画一个草图、图像或者示意图把这种数量问题转化为图形问题，并通过对图形的分析、推理最终解决数量问题。
1.1 利用韦恩图法解决集合之间的关系问题
一般用圆来表示集合,两圆相交则表示两集合有公共元素，两圆相离则表示两个集合没有公共元素。
例1某班举行数理化三科竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中参加数学、物理两科的有10人，参加物理、化学两科的有7人，参加数学、化学两科的有11人，而参加数、理、化三科的有4人，求全班人数？
思路分析：由于参加数、理、化三科竞赛人数相互交叉，不易理清参加三科竞赛的各科人数,利用韦恩图可以比较容易地分清它们的关系。
解：设参加数学、物理、化学竞赛的人构成的集合分别为A、B、C，由图知全班人数为：10+12+13+7+3+6+4=55（人).

由于叙述太长，单纯从文字语言不好理清思路,画出韦恩图，可以利用图形直观性进行计算。
1。2 利用二次函数的图象求一元二次不等式的解集
求一元二次不等式的解集时，只要联想到对应的二次函数的图象确定抛物线的开口方向和与x轴的交点情况，便可直接看出解集。
例2 解不等式x2—x-6﹥0。
思路分析：我们可先联想到 对应的二次函数y= x2—x-6的图象，从x2—x—6=0解得x1 =-2，x2=3,由解知该抛物线与x轴交点的横坐标为-2，3。当取交点两侧时,即x﹤-2或x﹥3时，y﹥0，即x2—x—6﹥0，故可得不等式的解集为{ x∣x﹤-2 或x﹥3}.
1.3 利用两点间距离公式辅助图形,解决代数综合题
例3 求函数y=+的最小值。
思路分析:观察式子，可发现从代数的角度求解，难度较大,这时利用数形结合法，巧用两点间距离公式可化为：
+ =+，令A（0,1)，B(2，2），P（x，0），则问题转化为在x轴上求一点P，使∣PA∣+∣PB∣有最小值。如图由于AB在x轴同侧，故取A关于x轴的对称点C（0，—1）,所以：（∣PA∣+∣PB∣）min=∣CB∣==,即函数y= +的最小值是.
通过以上三个例题可以看出利用图形来辅助数的计算使问题变得简单明了，而且能开阔思路.
对于“数”转化为“形”这类问题，解决问题的基本思路是：
①明确题中所含的条件和所求目标；
②从已知条件或结论出发，分析是否相似（相同）于已学过的图形表达式；
③作出与之相适合的图形；
④利用已作出的图形的性质，几何意义等，去解决问题。
2 以“形”变“数”
中学数学中的几何是图文并茂的内容，但是，正如华罗庚所说:“形少数时难入微”，虽然，图形有形象、直观的特点，但在定量方面还必须借助代数的计算，不但要正确把图形数字化,而且还要留心观察图形的特点，发掘题目中的隐含条件，把“形"正确表示成“数”的形式，再进行计算.如平面解析几何中有关圆锥曲线问题的解决，下面举例说明。
2。1 用解析法解决平面解析几何中的圆锥曲线问题
例4 已知点A（1,2)，F为椭圆+＝1的右焦点，P为椭圆上的动点，当∣PA∣+∣PF∣取最小值时，求P点的坐标。
思路分析：已知e=，而∣PF∣恰好是椭圆上的点到椭圆相应准线的距离。
解：∵椭圆方程为+=1，∴a=5，b=4,c=3. ∴ e=。又∵A（1，2）是椭圆内部的点,椭圆的右准线方程为L:x=，过点P作PQ⊥L于点Q，由椭圆的第二定义知： =e=，即：PQ=∣PF∣,
∴ ∣PA∣+∣PF∣=∣PA∣+∣PQ∣，当且仅当P、A、Q三点共线时，∣PA∣+∣PQ∣有最小值，过A作AA′⊥L，
AA′与椭圆的交点即为所求，显然yp=2,代入椭圆方程可求xp=,∴当∣PA∣+∣PF∣取最小值时，点P的坐标为（,2）.
在涉及椭圆上的点与焦点有关的距离时,一定明确椭圆的第二定义及其相应的变形式子.
例5 已知F1、F2为双曲线— =1的左、右焦点，P(3,1）为双曲线内一点，点A在双曲线上，则∣AP∣+∣AF2∣的最小值为（C）。
A、+4 B、—4 C、-2 D、+2
解析:如图，连接F1P交双曲线右支交于点A0。
∵∣AP∣+∣AF2∣=∣AP∣+∣AF1∣—2，∴要求∣AP∣+∣AF2∣的最小值，只需求
∣AP∣+∣AF1∣的最小值。
当A落在A0时，
∣AP∣+∣AF1∣=∣PF1∣最小，最小值为。∴∣AP∣+∣AF2∣的最小值为-2，即C答案正确.
本题结合定义将问题转化为求∣AP∣+∣AF1∣-2的最小值,问题就迎刃而解。
有关解析几何的问题，大部分都会用到解析法，解决几何问题，由于几何研究的是图形，图形的直观会帮助我们打开思路，充分利用图形的性质和几何意义，把“形”正确表示成“数”，有效地解决问题。
对于“形”变“数"这类问题，解题的基本思路是：
①明确题中所给的条件和所求的目标；
②分析条件和目标在图形中的意义;
③将题中用到的图形用已学过的代数式表达出来；
④利用相应的公式或定理计算.
3 “形”“数”互变
以“数"化“形”和以“形”变“数”是数形结合的两个重要方面,而在有些问题中不仅仅是简单的以“数”变“形”或以“形"变“数”，而是需要“形"“数”互相变换，解决问题时,问题的某些数量特征往往能给人们图形方面的提示，反过来，利用图形的结构特征又给人们打开解决问题的思路。
3。1 数轴在有理数化简中的应用
例6 实数a、b、c在数轴上的点如图所示，化简:a+∣a+b∣--∣b—c∣.

思路分析：本题运用了数与形的结合，由实数在数轴上的对应位置，既能比较它们的大小，又能确定a+b、b-c的符号，从而去掉绝对值的符号，完成化简。
解：由数轴知b﹤0，c﹤0,a﹥0,a+b﹤0,b—c﹤0,
则a+∣a+b∣-—∣b—c∣
=a—a—b—（-c)+b
=0。
3.2 利用三角函数图象求角度
例7 已知函数y=sin（x+） （﹥0，-π≤＜π）的图象所示，则= 。
思路分析:结合图象求出，再利用f（）=-1，求出的表达式，通过满足的条件求出的值。
解：由函数图象知y=sin（x+)的周期为2（2π-）=,∴ =∴=，当=π时，y有最小值—1。
∴×+=2kπ— (k∈z）。 ∵—π≤＜π，∴=。
已知三角函数值求三角函数解析式的方法:应先由三角函数的最值点，确定周期求出，然后根据图像上的特殊点求。
3.3 利用数形结合解决平面几何问题
例8 在△ABC中，已知AB=， cos∠ABC=，AC边上的中线BD=，求sinA的值。
解：如图所示，过A做AH⊥BC交BC于点A，延长BD到P使BD=DP，连接AP、PC过P作PN⊥BC交BC的延长线于N，则HB=ABcos∠ABC=。
AH==.
BN==
=
=.
而CN=HB=，∴BC=BN—CN=2，HC=.
AC==。
又由题意知sin∠ABC= =.
由正弦定理得==.
∴sinA=。
例9 如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=40°,则∠DCF等于（D)。
A、80° B、50°C、40°D、20°
解析：G是EF的中点，且CD为直径,则D为EF的中点，所以，则∠EOD=2∠DCF，即∠DCF=∠EOD=×40°=20°，∴D答案正确。
此题综合应用了垂径定理及圆心角与圆周角的关系，在解决有关圆的问题时，每一个题的分析与思考必须联系图形建立直观可见的形象,这样才能快速准确地解决问题。
由以上四个例题，我们可以体会到解决某些数学问题时，数和形往往是不能分开的,需要“数”和“形”相互转化、相互利用、相互补充，解决此类问题往往需要从已知和结论同时出发，认真分析，找出“形”“数”互变，达到解决问题的目的。
结论
从上文所举的例子我们可以感受到，利用数形结合法让问题显得直观，便于解答，以上的以“数”化“形"和以“形”变“数”中所举的例子看似是见“数”想“形”，见“形”思 “数"，实质上就是以“数”化“形”,以“形”变“数”的结合,这两个方面往往是不能截然分开的,一般来说,在问题的叙述上，用代数法，分析思路借助于几何的直观，但在数形转化中，必须遵循等价转换原则，数形互补原则，总而言之，“数无形不直观，形无数难入微"见到数量就考虑它的几何意义，见到图形就应考虑它的代数关系，应用数形结合法解决问题，用好了就是能力，因此我们平时就要注意应用数形结合法提高自己解决问题的能力.
致 谢
本文是在我的指导教师陈文华教授悉心指导下完成的。陈老师渊博的专业知识，严谨的治学态度，精益求精的工作作风，诲人不倦的高尚师德,平易近人的人格魅力对我影响深远。本文倾注了陈老师大量的心血，从选题到完成，一遍又一遍地指出每稿中的具体问题,严格把关，循循善诱,在此向陈老师表示崇高的敬意和衷心感谢！

参考文献
［1]钱珮玲编。数学思想方法与中学数学（第2版)，北京:北京师范大学出版社，2008。8.1。
[2]薛金星编。高中基础知识手册，北京：北京教育出版社,2010。3.
[3］薛金星编.初中数学基础知识手册，北京:北京教育出版社，2010。5。
[4]范成鹏.“数形结合”在中学数学中的应用。
［5］杜金河。浅谈数形结合思想在中学数学中的五点应用。

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