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2022版高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第九讲 函数与方程学案新人教版

2022版高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第九讲 函数与方程学案新人教版

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第九讲　函数与方程

知识梳理·双基自测

知识点一　函数的零点
1．函数零点的定义
对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使__f(x)＝0__成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
注：函数的零点不是点．是函数f(x)与x轴交点的横坐标，而不是y＝f(x)与x轴的交点．
2．几个等价关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与__x轴__有交点⇔函数y＝f(x)有__零点__.
3．函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有__f(a)f(b)＜0__，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得__f(c)＝0__，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
知识点二　二分法
1．对于在区间[a，b]上连续不断且__f(a)f(b)<0__的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间__一分为二__，使区间的两个端点逐步逼近__零点__，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
2．给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：
(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；
(2)求区间(a，b)的中点c；
(3)计算f(c)；
①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；
②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c
(此时零点x0∈(a，c))；
③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c
(此时零点x0∈(c，b))．
(4)判断是否达到精确度ε，即：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)(3)(4)．

1．有关函数零点的结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．

(4)由函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示．所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．事实上，只有当函数图象通过零点(不是偶个零点)时，函数值才变号，即相邻两个零点之间的函数值同号．
(5)若函数f(x)在[a，b]上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则f(a)·f(b)<0⇒函数f(x)在[a，b]上只有一个零点．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系

Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象

与x轴的交点
(x1,0)，(x2,0)
(x1,0)
无交点
零点个数
两个零点
一个零点
无零点

题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　×　)
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在当b2－4ac<0时没有零点．(　√　)
(3)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.(　×　)
(4)若f(x)在区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)>0，则f(x)在(a，b)内没有零点．(　×　)
(5)函数y＝2x与y＝x2只有两个交点．(　×　)
[解析]　(1)函数的零点是函数图象与x轴交点的横坐标．
(2)当b2－4ac<0时，抛物线与x轴无交点，故没有零点．
(3)函数图象若没有穿过x轴，则f(a)·f(b)>0.
(4)若在区间[a，b]内有多个零点，f(a)·f(b)>0也可以．
(5)y＝x2与y＝2x在y轴左侧一个交点，y轴右侧两个交点，如在x＝2和x＝4处都有交点．
题组二　走进教材
2．(必修1P92AT2改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x
1
2
3
4
5
f(x)
－4
－2
1
4
7
在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为(　B　)
A．(1,2) B．(2,3)
C．(3,4) D．(4,5)
[解析]　由所给的函数值的表格可以看出，x＝2与x＝3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f(2)·f(3)<0，所以函数在(2,3)内有零点，故选B．
3．(必修1P92AT1改编)下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是(　C　)

[解析]　A，B图中零点两侧不异号，D图不连续．故选C．
4．(必修1P92AT4改编)为了求函数f(x)＝2x＋3x－7的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x和函数f(x)的部分对应值(精确度0.1)如下表所示：
x
1.25
1.312 5
1.375
1.437 5
1.5
1.562 5
f(x)
－0.871 6
－0.578 8
－0.281 3
0.210 1
0.328 43
0.641 15
则方程2x＋3x＝7的近似解(精确到0.1)可取为(　C　)
A．1.32 B．1.39
C．1.4 D．1.3
[解析]　通过上述表格得知函数唯一的零点x0在区间(1.375,1.437 5)内，故选C．
题组三　走向高考
5．(2015·安徽，5分)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是(　A　)
A．y＝cos x B．y＝sin x
C．y＝ln x D．y＝x2＋1
[解析]　y＝cos x是偶函数且有无数多个零点，y＝sin x为奇函数，y＝ln x既不是奇函数也不是偶函数，y＝x2＋1是偶函数但没有零点，故选A．
6．(2019·全国卷Ⅲ，5分)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0,2π]的零点个数为(　B　)
A．2 B．3
C．4 D．5
[解析]　f(x)＝2sin x－2sin xcos x＝2sin x(1－cos x)，令f(x)＝0，则sin x＝0或cos x＝1，所以x＝kπ(k∈Z)，又x∈[0,2π]，所以x＝0或x＝π或x＝2π.故选B．

考点突破·互动探究
考点一　函数的零点
考向1　确定函数零点所在区间——自主练透
例1 (1)若函数f(x)的图象是连续不断的，且f(0)>0，f(1)·f(2)·f(4)<0，则下列命题正确的是(　D　)
A．函数f(x)在区间(0,1)内有零点
B．函数f(x)在区间(1,2)内有零点
C．函数f(x)在区间(0,2)内有零点
D．函数f(x)在区间(0,4)内有零点
(2)(2021·开封模拟)函数f(x)＝x＋ln x－3的零点所在的区间为(　C　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
(3)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)·(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　B　)
A．(－∞，a)和(a，b)内 B．(a，b)和(b，c)内
C．(b，c)和(c，a)内 D．(c，＋∞)和(－∞，a)内
[解析]　(1)因为f(1)·f(2)·f(4)<0，所以f(1)、f(2)、f(4)中至少有一个小于0.
若f(1)<0，则在(0,1)内有零点，在(0,4)内必有零点；
若f(2)<0，则在(0,2)内有零点，在(0,4)内必有零点；
若f(4)<0，则在(0,4)内有零点．故选D．
(2)解法一：利用零点存在性定理
因为函数f(x)是增函数，且f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3>0，所以由零点存在性定理得函数f(x)的零点位于区间(2,3)内，故选C．

解法二：数形结合
函数f(x)＝x＋ln x－3的零点所在区间转化为g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋3的图象的交点横坐标所在范围．如图所示，可知f(x)的零点在(2,3)内．
(3)易知f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)．又a<b<c，则f(a)>0，f(b)<0，f(c)>0，又该函数是二次函数，且图象开口向上，可知两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选B．

名师点拨
确定函数零点所在区间的方法
(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上．
(2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
考向2　函数零点个数的确定——师生共研
例2 (1)函数f(x)＝的零点个数为(　B　)
A．3 B．2
C．7 D．0
(2)(理)已知f(x)＝则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数为__5__.
(文)(2021·云南昆明一中摸底)若函数f(x)＝|x|，则函数y＝f(x)－|x|的零点个数是(　D　)
A．5个 B．4个
C．3个 D．2个
[解析]　(1)解法一：(直接法)由f(x)＝0得
或
解得x＝－2或x＝e.
因此函数f(x)共有2个零点．

解法二：(图象法)函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点．
(2)(理)令2f2(x)－3f(x)＋1＝0，解得f(x)＝1或f(x)＝，作出f(x)的简图：

由图象可得当f(x)＝1或f(x)＝时，分别有3个和2个交点，则关于x的函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点的个数为5.
(文)在同一坐标系中作出f(x)＝|x|、g(x)＝|x|的图象，由图可知选D．

名师点拨
函数零点个数的判定有下列几种方法
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．
(3)数形结合法：利用函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的个数，从而判定零点的个数，或转化为两个函数图象交点个数问题．画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
〔变式训练1〕
(1)已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是(　C　)
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝ex＋x－3，则f(x)的零点个数为(　C　)
A．1 B．2
C．3 D．4
(3)(理)(2020·河南名校联考)函数f(x)＝则函数g(x)＝3[f(x)]2－8f(x)＋4的零点个数是(　A　)
A．5 B．4
C．3 D．6
(文)(2021·郑州质检)已知函数f(x)＝x－cos x，则f(x)在[0,2π]上的零点个数为__3__.
[解析]　(1)由已知得y＝f(x)＋3x＝
令x2＋x＝0，解得x＝0或x＝－1.令1＋＋3x＝0(x>0)可得3x2＋x＋1＝0.因为Δ＝1－12<0，所以方程3x2＋x＋1＝0无实根．所以y＝f(x)＋3x的零点个数是2.
(2)f(x)＝ex＋x－3在(0，＋∞)上为增函数，f＝e－<0，f(1)＝e－2>0，∴f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点，由奇函数性质得f(x)在(－∞，0)上也有一个零点，又f(0)＝0，所以f(x)有三个零点，故选C．
(3)(理)本题考查函数的零点与方程根的个数的关系．
函数g(x)＝3[f(x)]2－8f(x)＋4＝[3f(x)－2][f(x)－2]的零点，即方程f(x)＝和f(x)＝2的根．
函数f(x)＝的图象如图所示，

由图可得方程f(x)＝和f(x)＝2共有5个根，
即函数g(x)＝3[f(x)]2－8f(x)＋4有5个零点．
(文)如图，作出g(x)＝x与h(x)＝cos x的图象，可知其在[0,2π]上的交点个数为3，所以函数f(x)在[0,2π]上的零点个数为3.

考向3　函数零点的应用——多维探究
角度1　与零点有关的比较大小
例3 已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－x，h(x)＝log2x－的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系为(　D　)
A．x1>x2>x3 B．x2>x1>x3
C．x1>x3>x2 D．x3>x2>x1
[解析]　由f(x)＝2x＋x＝0，g(x)＝x－x＝0，h(x)＝log2x－＝0，得2x＝－x，x＝x，log2x＝，在平面直角坐标系中分别作出y＝2x与y＝－x的图象；y＝x与y＝x的图象；y＝log2x与y＝的图象，由图可知：－1<x1<0,0<x2<1，x3>1.所以x3>x2>x1.

角度2　已知函数的零点或方程的根求参数
例4 (2018·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　C　)
A．[－1,0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
[解析]　令h(x)＝－x－a，则g(x)＝f(x)－h(x)．在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)图象的示意图，如图所示．若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点．
由图知－a≤1，∴a≥－1.

名师点拨
1．比较零点大小常用方法：
(1)确定零点取值范围，进而比较大小；
(2)数形结合法．
2．已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法和思路：
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解．
〔变式训练2〕
(1)(角度1)(2021·安徽蚌埠月考)已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋x，h(x)＝x3＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系为(　B　)
A．a<b<c B．a<c<b
C．a>b>c D．c>a>b
(2)(角度2)(2021·杭州学军中学月考)已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是(　D　)
A．(－∞，－1) B．(－∞，－1]
C．[－1,0) D．(0,1]
[分析]　(1)解法一：依据零点存在定理，确定a，b，c所在区间，进而比较大小；解法二：分别作出y＝3x、y＝log3x、y＝x3与y＝－x的图象，比较其交点横坐标的大小即可．
[解析]　(1)解法一：∵f(－1)＝3－1－1＝－，f(0)＝1，∴a∈，又g＝log3＋＝－，g(1)＝1，∴b∈，显然c＝0，∴a<c<b，故选B．

解法二：数形结合法，在同一坐标系中分别作出y＝3x、y＝log3x、y＝－x的图象，结合图象及c＝0可知a<c<b，故选B．
解法三：由概念知b>0，a<0，c<0，∴b最大，选B．
(2)∵当x>0时，f(x)＝2x－1，
由f(x)＝0得x＝，
∴要使f(x)在R上有两个零点，
则必须2x－a＝0在(－∞，0]上有解．
又当x∈(－∞，0]时，2x∈(0,1]．
故所求a的取值范围是(0,1]．
考点二　二分法及其应用——自主练透
例5 (1)用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈__(0,0.5)__，第二次应计算__f(0.25)__.
(2)在用二分法求方程x3－2x－1＝0的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可判定该根所在的区间为____.
(3)在用二分法求方程x2＝2的正实数根的近似解(精确度0.001)时，若我们选取初始区间是[1.4,1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是__7__.
[解析]　(1)因为f(0)<0，f(0.5)>0，由二分法原理得一个零点x0∈(0,0.5)；第二次应计算f＝f(0.25)．
(2)区间(1,2)的中点x0＝，令f(x)＝x3－2x－1，f＝－4<0，f(2)＝8－4－1>0，则根所在区间为.
(3)设至少需要计算n次，由题意知<0.001，即2n>100.由26＝64,27＝128，知n＝7.

名师点拨
1．用二分法求函数零点的方法：定区间，找中点，中值计算两边看，同号去，异号算，零点落在异号间．周而复始怎么办？精确度上来判断．
2．利用二分法求近似解需注意的问题
(1)在第一步中：①区间长度尽量小；②f(a)，f(b)的值比较容易计算且f(a)·f(b)<0；
(2)根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与相应方程的根是等价的．
(3)虽然二分法未单独考过，但有可能像算法中的“更相减损术”一样，嵌入到程序框图中去考查．

名师讲坛·素养提升
函数零点的综合问题
例6 (2021·山西五校联考)已知函数f(x)＝，若函数g(x)＝f(x)－a恰有三个互不相同的零点x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是(　A　)
A． B．
C． D．
[解析]　解法一：显然x≤0时，－2x＝a，有一根不妨记为x1，则x1＝－(a≥0)，当x>0时－x2＋x＝a即x2－x＋a＝0有两个不等正根，不妨记为x2，x3，则Δ＝1－4a>0，即a<，从而－a2∈且x2x3＝a.∴x1x2x3＝－∈，故选A．
解法二：作出y＝f(x)及y＝a的图象，显然0<a<，不妨设x1<x2<x3显然x1<0，x2>0，x3>0，∴x1x2x3<0排除C、D，又当x2趋近x3时，x2x3趋近，x1趋近－，故x1x2x3趋近－.故选A．

名师点拨
以函数图象、图象的变换方法及函数的零点等相关知识为基础，通过作图、想象，发现该问题的相关数学知识及其联系，快速解决该问题．
〔变式训练3〕
(2021·东北三省四市模拟)已知函数f(x)＝若f(x)＝a(a∈R)有四个不等实根，则所有实根之积的取值范围是(　B　)
A．(－∞，1) B．[0,1)
C．(0,1) D．(1，＋∞)
[解析]　本题考查已知方程根的个数求根的乘积的取值范围．
设四个根依次为x1，x2，x3，x4(x1<x2<x3<x4)，
则－2≤x1<－1，－1<x2≤0，x1＋x2＝－2，
由|lg x3|＝|lg x4|，

得－lg x3＝lg x4，
则lg x3＋lg x4＝lg(x3x4)＝0，
∴x3x4＝1，∴x1x2x3x4＝x1x2＝(－2－x2)x2＝－(x2＋1)2＋1∈[0,1)．
故选B．