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《线性代数与解析几何》复习题
一、矩阵部分
（一）填空题.
1．设，，则.
提示：A3=
2．设方阵满足,.
提示:A2+A-4I=0→A2+A—2I—2I=0→（A-I)(A+2I)=2I→（A—I）(A+2I)/2=I
3．设方阵满足，则____________。
提示：A2-2A-3I=0 → A（A—2A)=3I
4．设，则 。
提示： 对矩阵A施行初等行变换，非零行的行数即为矩阵A的秩。
5．设，则当满足条件 时，可逆。
提示：矩阵A的行列式detA≠0时，矩阵可逆。
(二)选择题
1．设阶矩阵，则必有                           （ ）
（A) （B） （C） (D)
提示：A的逆矩阵为BC
2．                          （ ）

提示:P的列为齐次线性方程组Qx=0的解，P非零，Qx=0有非零解，故Q的行列式detQ=0
3．
                           ( ）

提示：矩阵B由矩阵A经初等行变换得到,故在C或D中选择，P1、P2为初等矩阵,P1为交换第1、2行，P2为将第一行的1倍加到第三行，故选C
4．设维向量,矩阵，其中为阶单位矩阵,则 （ ）

提示:AB＝ (I—aTa）(I+2aTa)=I+aTa-2 aTa aTa= I+aTa-2 aT(a aT)a=I
5．A、B （ )
(A） B=E （B） A=E （C）A=B (D）AB=BA
提示：（A+B)(A—B)=AA-AB—BA-BB

6．矩阵 ( ）
A、1 B、2 C、3 D、4
提示：A=（a1，a2，a3，a4)T(b1，b2,b3，b4)
(三）计算题
1．
提示:AB—B=A2-I→（A-I）B=A2—I→B=(A-I)-1（A2—I）
也可使用矩阵初等行变换。
2．利用矩阵的初等变换解线性方程组.
提示：对方程组增广矩阵进行初等行变换.
3．设矩阵，。
提示：AX=2X+B→AX—2X =B→（A-2I）X =B→使用矩阵初等行变换。
4．若 则X = .
提示:使用矩阵初等列变换。
（四)证明题
1．设都是一个n阶对称矩阵,证明：对称的充要条件是。
提示：参见作业上相关内容:
AB=BA→AB对称：
AB对称→AB=BA
2．证明：任何一个n阶方阵都可表示为一对称矩阵与一反对称矩阵之和.
提示：参见书上的例子。
对称矩阵为B=（A+AT)/2
反对称矩阵为C=(A-AT)/2
3．设n阶方阵不是单位方阵，且，试证明
（1）是不可逆矩阵 （2)均为可逆矩阵，并求逆矩阵.
提示:（1)反证法:假设A可逆，则存在A-1,有A—1A=I.因为A2=A，故A-1A2=A—1A,由此得A=I，与题设矛盾.
（2）根据A2=A凑出A+I与A-2I的乘积为单位阵I的倍数即可。
4．设同阶方阵,其中可逆,且满足，证明可逆.
提示：A2+AB+B2=0→A（A+B)+B2=0→[A（A+B）+B2］ B-1 B—1=0→A(A+B)（ B-1) 2+I=0→A(A+B）( B-1） 2 =—I→A可逆,其逆矩阵为-(A+B）（ B—1) 2
A2+AB+B2=0→A(A+B)+B2=0→B—1 B—1 [A（A+B)+B2］ =0→( B—1） 2A（A+B) +I=0→
( B-1) 2A（A+B) =-I→A+B可逆，其逆矩阵为—( B—1） 2A

二、行列式部分
（一)填空题
1．行列式= 。
提示：4×(-1）1+4×4×（-1）1+3×2×（-1）1+2×5
2．若4×4阶矩阵A的行列式是A的伴随矩阵则= ．
提示：detA*=(detA）n—1

3．已知是奇异阵，则_________。
提示：奇异矩阵行列式为零。
4．设是阶可逆方矩阵且, 则 1/5 ， 56 , 5×2n ， 5k 。
提示：利用矩阵行列式的性质。
5．设是四阶单位矩阵的第列，，则 .
提示：4阶单位矩阵行列式在进行初等列变换时其系数及符号的变化规律。参见作业。
6．已知,则　　　，
＝　　　　,其中是元素的代数余子式。
提示：注意是伴随矩阵转置后的行列式，等于伴随矩阵行列式,故其值为37n-1，此处n=3。
表示行列式第2行元素与第三行元素相应代数余子式之和，故为0。
(二）选择题
1．

提示:A2+AB+2I=0→A（A+B)=-2I→|A（A+B)｜=|—2I｜→|A｜|A+B|=（—2)3｜I|→｜A+B|=—4
2．
（A) (B）
(C） （D）
提示:|AB|=|A|｜B|=|BA|
3．设阶矩阵 ，若矩阵的秩为,则必为
                                                                                                                                      （          ）

提示：参见书本及作业上的例子。
4．

提示：参见前面的内容。
5． 　 （ ）

提示:(AB）2=I→ABAB=I→A（BAB）=I→A—1=BAB
(AB)2=I→ABAB=I→(ABA)B=I→B-1=ABA
→（BA）2= BABA = (BAB）A= A—1 A= I
6．设为阶方阵.下列命题中正确的是　　　　　　　　　　　　　　（ 　 　 )
提示:AB=0→｜AB|=0→｜A｜|B|=0
(三）计算题

１．计算行列式 . 2、计算行列式
提示：第一题：按行或列展开，或将第一行的y/x倍加到第4行，但要讨论x为0时的情形.
第二题：利用初等变换。
3．当为何值时， 齐次线性方程组有非零解。
提示：系数矩阵行列式为0。
（四)证明题
1．设是阶方阵,且满足, 试证明不可逆或者.
提示:假设A可逆，即A—1存在，则根据A2=A→A—1A2= A—1A→A=I
2．设是阶方阵,证明
（1）若，则不可逆 （2)若，则。

提示：（1)假设B可逆,即B-1存在，则根据AB=0→AB B-1= 0B-1→A= 0→矛盾
（2）detA≠0→A可逆
→齐次线性方程组Ax=0只有零解
AB=0→B的列向量是齐次线性方程组Ax=0的解→B=0
或：A可逆，即A—1存在→根据AB=0→A-1A B= A-10→B= A-1
三、空间解析几何部分
(一）填空题
1．已知，则．
提示：a0=a/|a｜
2．设则＝　　　　．
提示：|a×b｜=|a|｜b｜sinq→cosq=?→a.b=｜a||b｜cosq
３．已知四点，则
提示:向量乘法（向量积、混合积）的几何意义
4．点　　　　　.
提示：点到平面的距离公式
5．　　　　　 .
提示：先求直线的方向向量，然后带入公式即可。
6。　　　　　　.
提示:Y轴的方向向量（0，1，0）与直线的方向向量(1，2，1）取向量积。
（二）选择题
1． （ ）

提示：参见练习。向量和与向量差的几何意义，向量垂直的充要条件。
2．设向量 ( ）
提示:Prjba=|a|cosj=1,｜a|＝3→cosj=1/3→cosj=(a.b)/（|a|｜b｜）
3． ( )

提示：向量平行,对应坐标分量成比例。
4．设向量且( ）

提示：向量混合积的计算方法。
5． ( )

提示:根据向量乘法运算律展开,并考察向量积的方向特性。
6．设三个向量矩阵的行列式，而其伴随矩阵的充要条件是 ( )
（A) 三向量互相平行 (B） 存在不共线两向量
（C） 三向量共面 (D) 三向量共面，有两向量不共线
提示：参见练习有关内容
(三)计算题
1、求点到直线的距离　
提示：参见课本内容。
2、
提示：该平面的法向量垂直于平面x+y+x=1的法向量，也垂直于向量AB.根据向量积得到所求平面法向量。

提示:先求交点。
提示：求出两直线的方向向量是平行的（各坐标分量成比例），然后在2直线上各任取一点构造一个向量，与直线方向向量取向量积得到所求平面的法向量。

（1）证明方程组有唯一解即可
（2）根据两直线方向向量可得过两直线平面之法向量。

６、说出下列曲面的名称

（1） 双曲柱面 (2)椭圆柱面 （3)圆锥面（轴线平行于z轴）（4）圆形抛物面（5)马鞍面（6）单叶双曲面（7）双叶双曲面
７、
（1）求曲线在面上的投影。
消去变量x

（2)求曲线在面上的投影。
第二个方程y2代如第一个方程即可消去变量y

８、将下列曲线的一般方程化为参数方程
(1） （2)
太简单了
四、向量空间与线性方程组部分
(一)填空题
1、已知向量组的秩为2，则。
对矩阵A=（a1,a2,a3）进行初等行变换,其非零行数为2。
2、设阶矩阵的各行元素之和均为零，且的秩为，则线性方程组的通解为___________________________。
参见练习册相关题。
3、向量.
对矩阵进行初等行变换，前3列变为单位阵时，第四列即为坐标。
4、设= 。
参见练习有关题目。B为满秩矩阵。
5、设向量组可由线性表示,且，则线性关 。
提示:相关。
6、两个同维向量组的秩相等是它们等价的 必要 条件。

7、若齐次线性方程组有非零解，且,则的值为 .
系数矩阵行列式等于0。
（二）选择题
１、 若向量组线性无关；线性相关，则 （ ）
必可由线性表示 必不可由线性表示
必可由线性表示 必不可由线性表示
参见练习册相应题目。
２、 设是矩阵，秩为为阶单位方阵，则 （ ）
的任意个列向量线性无关 的任意个子式不等于零
经过初等行变换可化为 （D)若矩阵满足，则
参见练习册相应题目。
矩阵A经有限次初等行变换可化为，显然答案应该为D。
３、设是矩阵，则齐次线性方程组仅有零解的充要条件是 　（ ）
的列向量组线性无关 的列向量组线性相关
的行向量组线性无关 的行向量组线性相关
系数矩阵列向量线性无关←→Ax=0仅有零解
４、 非齐次线性方程组中未知量个数为,方程个数为,系数矩阵的秩为,则 （ ）
时，方程组有解
时，方程组有唯一解
时，方程组有唯一解
时，方程组有无穷多解
考察增广矩阵经有限次初等行变换后得到得行阶梯矩阵：

R=n、r〈n不能说明dr+1≠0，所以不能说明方程组Ax=b是否有解
m=n也不能说明方程组有解
当r=m时，方程组有唯一解.

５、 设是矩阵，是非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是 （ ）
若仅有零解,则有唯一解
若有非零解，则有无穷多个解
若有无穷多个解，则仅有零解
若有无穷多个解，则有非零解
D
６、已知向量组
( ）
（A）—1 （B）—2 （C）0 （D）1
可直接应用线性相关得定义求解，即线性方程组a1 x1+ a2x2+ a3x3+ a4x4=0有非零解
或者对矩阵A=( a1, a2, a3， a4）取行列式，其值为零.
７、n维向量组线性无关的充要条件是 ( ）

D
８、下列结论正确的是 （ ）

A
９、 设，均为阶方阵，且,则齐次线性方程组
与 ( ）
(A） 没有相同的非零解 （B） 同解
（C） 只有相同零解 （D) 有相同的非零解
考察A、B经有限次初等行变换后得到得行阶梯矩阵

答案应该为C.
（三）计算题

对矩阵A＝(a1, a2, a3, a4)施行初等行变换
2、 已知及，问:
（1）为何值时，不能由线性表示。
（2）为何值时，可由唯一线性表示？并写出该表示式。
对矩阵A＝(a1, a2， a3， a4, b）施行初等行变换

３、已知向量组线性无关,指出下列向量组的线性相关和无关性 　　

参见练习册相关题目
3、设三元非齐次方程组的系数矩阵的秩为2,且它的三个解向量满足求的通解。
AX=b→Ah1=b，Ah2=b，Ah3=b→A(h2—h3)=0→h2-h3为齐次线性方程组AX=0的通解→h2-h3=（1,1，1）T
AX=b→Ah1=b，Ah2=b，Ah3=b→A（h2+h3）=2b→(h2+h3）/2为非齐次线性方程组AX=b的特解→(h2+h3）/2=(5/2,1/2，—3/2)T
又因为AX=b为三元方程组,系数矩阵的秩为2，所以其解空间的维数为1，所以AX=b的通解为x= (5/2，1/2,—3/2）T+k（1,1,1）T
4、设线性方程组
(1）为何值时，方程组有唯一解、无解；
（2）为何值时，方程组有无穷多解?并求出其通解。
对增广矩阵施行初等行变换
5、设验证是的一个基,并求在这个基中的坐标.
证明a1， a2, a3线性无关即可；
对矩阵A=( a1， a2, a3, b1)施行初等行变换，a1， a2， a3列化为行最简形时，b1列即为坐标。
6、求齐次方程组的基础解系。
太简单。
(四)证明题
1、设是非齐次线性方程组的一个解，是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，证明：
(1）线性无关
(2）线性无关。
参见练习，课上讲过。
2、 设向量组是齐次线性方程组的一个基础解系，向量不是方程组的解,即。试证明：向量组线性无关.（反证)
假设b，b+a1, b+a2，…, b+at, 线性相关→存在一组不全为0的数k0,k1,k2,…，kt，使得
k0b+ k1（b+a1)+…+ kt(b+at)=0→(k0+ k1+…+ kt ）b+ k1a1+…+ ktat=0→a1， a2，…,at是线性方程组的基础解系→a1, a2，…,at线性无关→k0+ k1+…+ kt≠0→A（k0+ k1+…+ kt ）b= A（—k1a1-…- ktat） =0→Ab= 0→与题设矛盾→得证。
3、若向量组线性相关,但期中任意个向量都线性无关，则存在一组全不为零的实数，使得。（反证)
参见练习册。使用反证法。
五、特征向量与二次型部分
(一)填空题
1、设
参见练习册：0和n。
2、设可逆，是方阵的特征值，则的特征值是,的特征值是，的特征值是 .
参见练习册。
3、设为阶方阵，且，则的特征值只能是 。
0或1
4、.
B=C—1AC→I+B= C-1(I+A)C→det（I+B)= det[C—1（I+A）C］=n！
5、设4阶方阵A 的4个特征值为3，1,1,2，则 。
3×1×1×2
６、 设是三阶实对称矩阵的三个不同特征值所对应的特征向量，则。
A是实对称矩阵→A属于不同特征值得特征向量是正交的。
７、向量 。
（－1）×4＋0×（－2）＋3×0＋（－5)×1
８、二次型的矩阵表示形式是 ___________________。

９、二次型是正定的，则的取值范围是 。
二次型矩阵为，1、2阶顺序主子式都为2>0,因此，只要二次型矩阵A的行列式detA〉0，二次型即为正定二次型。
10、 设是正定矩阵，则
方法同上。
（二)选择题
1、 设是阶方阵，满足，为阶单位方阵，则 （ ）
的特征值是1
A2=I→(detA2）=1→（detA)2=1→detA=±1≠0→A可逆→R（A)=n
2、设是阶实方阵，且相似，则下列结论不正确的是 （ ）
(A) (B）
(C） (D）
D
3、设矩阵是奇数阶的反对称矩阵，则一定有 （ ）
可逆矩阵 有零特征值
A是奇数阶反对称矩阵→AT=-A
detAT=detA=det(-A)=(—1）ndetA=detA（因为n为奇数） →detA=0
detA=l1 l2…ln→A有0特征值。
4、阶方阵与对角矩阵相似的充分必要条件是 （ ）
(A） （B）
（C) (D）
B
5、设阶方阵满，则矩阵 是 （ )
（A） （B) (C） （D）
A2=A→（A+I)(2I-A)=2I→（2I—A）可逆
6、 若是矩阵的对应的特征向量，则矩阵对应的特征向量 （ ）

参见作业。（P-1AP）P—1a=P—1Aa= P—1 l0a= l0P-1a
7、 设阶矩阵与具有完全相同的特征值,则 （ )
（A） 与相似 (B） 与对合
（C) (D) 与有相同的特征向量
detB=detA=l1 l2…ln
8、 下列三个矩阵中不能对角化的是 （ )
（A） （B)
（C) (D)
A是实对称矩阵，一定可对角化;
D有3个不同的特征值，一定可对角化
只要计算B、C是否有3个线性无关的特征向量即可.
9、 设,是的一个基础解系，，则 （ ）
不是的特征向量。
(A） （B） (C) （D)
A（a1+ a2)=0=0（a1+ a2）
A（a1—2a2）=0=0(a1-2a2）
A(a1+3a3）= 3Aa3 =3a3
A（2a3)= 2Aa3 =2a3
故选C。

，
10、已知 （ )
(A) 1或2 (B) -1或-2 （C）1或-2 （D) -1或2
根据特征值与特征向量的定义Aa=la，可求得k及a对应的特征值l为1或-2。
（三)计算题
1、设是阶方阵，,是阶单位阵，求.
依题意：｜lI-A|=0 (l=2，4，6,…，2n) →｜（ l—3)I—(A—3I）｜=0→A-3I的特征值为l-3，即—1,1,3，5，…,2n—3→det（A—3I）=-1*3＊5＊…*(2n—3）
2、设，(1)求A的特征值；（2）求其特征值所对应的特征向量。
根据特征值与特征向量的定义求取即可。
3、 ,。
（1）方法一：
利用相似矩阵的性质：相似矩阵具有相同的特征值求取a，b。
B为对角阵，因此，A、B的特征值为1、2、b。
使用|lI-A｜=0得到A的特征多项式为(l-2)（l2—3l-la+3a-4）=0,显然2为A的特征值,因为1是A、B的特征值，将l＝1带入上述等式，求得a=3。将a=3带入上面的等式，可得(l—2）( l- 1）（ l—5)=0，即l＝5是A、B的特征值，因此b=5。
(1)方法二:
相似矩阵行列式相等、矩阵的行列式等于其特征值的乘积，矩阵特征值的和等于其主对角线上的元素和:
2＋a＋3＝1＋2＋b
detA=2×(3a—4）=2b=detB
可求得a、b.
(2)利用特征向量的一般求法即可

4、已知三阶实对称方阵的特征值为，且对应的特征向量为与
，求方阵。
矩阵A为实对称矩阵→存在正交矩阵C，使得CTAC=L,其中为L以特征值-1,-1,8为对角元素的对角阵。
矩阵A为实对称矩阵→A的属于不同特征值的特征向量是正交的→属于特征值8的特征向量与属于－1的两个特征向量正交→（1，-2,0)T与(1,0，—1)T的向量积即为属于特征值8的特征向量
采用施密特正交化方法，将A的3个特征向量单位化后，得到正交矩阵C.
A=C L CT
5、确定实数的取值范围，使二次型正定.
二次型的矩阵为，可以根据3个顺序主子式全部大于0，或求得3个特征值全部大于0确定l的范围.
6、用正交变换把二次型化成标准形,并求出正交变换矩阵。
二次型的矩阵为，按实对称矩阵对角化一般方法求取。

7、设是三阶方阵，已知，其中，,
又，试计算 .（i=1,2,3）
Aai=iai（i=1,2，3) →A的3个特征值为1，2，3,对应特征向量分别为a1、a2、a3。
Aa1=1a1→Ana1=1na1=a1。
a1、a2、a3线性无关→可求取线性相关系数k1 、k2 、k3,使得b=k1 a1+k2 a2+k3 a3→Anb=An（k1 a1+k2 a2+k3 a3)= k1 An a1+k2 An a2+k3 An a3= k1a1+k22na2+k33na3

8、设:

（1)  求一个与都正交的向量.
(2）  利用施密特正交化方法，把向量组化为标准正交基（正交规范基）。
所求向量为a、b的向量积。
9、设实对称矩阵，为的特征值。
（1) 求,的值；
(2） 求正交矩阵及对角矩阵，使得；
A为实对称矩阵→b=4
｜lI—A｜=0，2是一个特征值→可求得a。
其余内容按实对称矩阵对角化一般方法求取。
(四)证明题
1、实对称矩阵满足，证明为正定矩阵。
设A的特征值为l,对应的特征向量为x（x≠0）
A3—6A2+11A—6I=0 (A3—6A2+11A-6） x=0 x→(l3—6l2+11l-6) x=0
x≠0→l3-6l2+11l-6=0→（l —1) （l -2） (l —3)=0→矩阵A的特征值为1，2,3，全部大于0，故矩阵A为正定矩阵。
2、已知是阶实反对称矩阵，证明为可逆矩阵.
A是n阶实反对称阵→AT=-A
（A2—I）T=（AA-I）T=((—A）(—A）-I)= （A2—I）→（A2-I)是n阶实对称阵
A2-I＝-ATA—I=-（ ATA+I)
对于任意非零n维向量x,有
xT(A2-I)x=— xT ( ATA+I) x=-( xT ATA x+ xT I x）= -［ (Ax)TA x+ xT x]
向量x非零→(Ax)TA x≥0，xT x〉0→xT（A2—I)x<0→A2-I为负定矩阵→A2-I的特征值全部小于0→A2-I的行列式不等于零→A2—I可逆。
3、设是阶正定方阵，证明.
A是n阶正定方阵→A的n个特征值l1 、l2、…、ln全部大于0。
｜liI—A|=0→|(li+1）I-(A+I）｜=0→A+I 的特征值为li+1(i=1、2、…,n），全部大于1
det（A+I）=( l1+1） ( l2+1) …( ln+1)〉1
4、设为阶矩阵且正定，为实维列向量，当时，有，证明：线性无关.
参见作业上相关内容。
5、设为实矩阵，为阶实对称矩阵且正定,
证明：正定的充要条件是.
充分性:
A实对称矩阵且正定→矩阵BTAB是实对称矩阵。
R(B)=n→Bx=0只有零解→对于任意x≠0→Bx≠0
A实对称矩阵且正定→xTBTABx=(Bx) T A(Bx)〉0→BTAB正定。
二次型f2被看成是二次型f1经过变换x=By得到.
必要性：
BTAB正定→对于任意x≠0→xT(BTAB） x=（Bx) T A（Bx)〉0→Bx≠0→Bx=0只有零解→R(B）=n
6、设中向量组 线性无关，和均正交。
证明：线性相关。
b1、b2和a1、a2，…，an-1均正交→(a1 T、a2 T,…,an—1 T) T b1＝0，（a1 T、a2 T,…,an-1 T） T b2＝0，即b1、b2是齐次线性方程组(a1 T、a2 T,…,an-1 T） T x＝0的解.
因为a1、a2,…,an—1线性无关→（a1 T、a2 T,…,an—1 T) T的秩为n—1→齐次线性方程组（a1 T、a2 T，…，an-1 T) T x＝0的解空间的维数是1。→b1、b2线性相关。