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初中不等式与不等式组超经典复习[1].doc
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1、第九章不等式与不等式组 第一节、知识梳理一、学习目标1.掌握不等式及其解(解集)的概念,理解不等式的意义.2.理解不等式的性质并会用不等式基本性质解简单的不等式.3.会用数轴表示出不等式的解集.二、知识概要1.不等式:一般地,用不等号“”、“”表示不等关系的式子叫做不等式.2.不等式的解:一般地,在含有未知数的不等式中,能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解.3.不等式的解集:一个不等式的所有解,组成这个不等式的解的集合,称之为此不等式的解集.4.一元一次不等式:只含有一个未知数,且未知数的次数是1的不等式,叫做一元一次不等式.5.不等式的性质:性质一:不等式的两边都加上(或减去)同一个数
2、或同一个整式,不等号的方向不变.性质二:不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.性质三:不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号方向改变.6.三角形中任意两边之差小于第三边.三、重点难点重点是不等式的基本性质及其应用,难点是不等式和不等式解集的理解.四、知识链接本周知识由以前学过的比较大小拓展而来,又为解决实际问题提供了一个解题的工具,并为以后学的不等式组打下基础.五、中考视点不等式也是经常考到的内容,经常出现在选择题、填空题中,以解不等式为主.有时在一些解答题中也要用到不等式,利用不等关系求范围等.第二节、教材解读1. 常用的不等号有哪些?常用的不等号有五种,其读法和意
3、义是:(1)“”读作“不等于”,它说明两个量是不相等的,但不能明确哪个大哪个小.(2)“”读作“大于”,表示其左边的量比右边的量大.(3)“”读作“小于”,表示其左边的量比右边的量小.(4)“”读作“大于或等于”,即“不小于”,表示左边的量不小于右边的量.(5)“”读作“小于或等于”,即“不大于”,表示左边的量不大于右边的量.2. 如何恰当地列不等式表示不等关系?(1)找准题中不等关系的两个量,并用代数式表示.(2)正确理解题目中的关键词语,如:多、少、快、慢、增加了、减少了、不足、不到、不大于、不小于、不超过、非负数、至多、至少等的确切含义.(3)选用与题意符合的不等号将表示不等关系的两个量
4、的代数式连接起来.根据下列关系列不等式:a的2倍与b的的和不大于3.前者用代数式表示是2a+b.“不大于”就是“小于或等于”.列不等式为:2a+b3.3. 用数轴表示不等式注意什么?用数轴表示不等式要注意两点:一是边界;二是方向.若边界点在范围内则用实心点表示,若边界点不在范围内,则用空心圆圈表示;方向是对于边界点而言,大于向右画,而小于则向左画.在同一个数轴上表示下列两个不等式:x-3;x2.第三节、错题剖析一 、去括号时,错用乘法分配律【例1】 解不等式3x+2(2-4x)19.错解: 去括号,得3x+4-4x-15.诊断: 错解在去括号时,括号前面的数2没有乘以括号内的每一项.正解: 去
5、括号,得3x+4-8x19,-5x-3.二、去括号时,忽视括号前的负号【例2】 解不等式5x-3(2x-1)-6.错解: 去括号,得5x-6x-3-6,解得x-6,所以-x-9,所以x9.三、移项时,不改变符号【例3】 解不等式 4x-52x-9. 错解: 移项,得 4x+2x-9-5, 即6x-14,所以诊断: 一元一次不等式中的移项和一元一次方程中的移项一样,移项就要改变符号,错解忽略了这一点.正解: 移项,得4x-2x-9+5,解得2x-4,所以x14,解得 诊断: 去分母时,如果分子是一个整式,去掉分母后要用括号将分子括起来.错解在去掉分母时,忽视了分数线的括号作用. 正解: 去分母,
6、得 6x-(2x-5)14, 去括号,得 6x-2x+514,解得五、不等式两边同除以负数,不改变方向 【例5】解不等式 3x61+7x. 错解: 移项,得 3x7x1+6, 即 4x7,所以 诊断:将不等式4x7的系数化为1时,不等式两边同除以4后,根据不等式的基本性质:不等式两边同乘以或同除以同一个负数,不等号要改变方向,因此造成了错解.正解:移项,得3x7x1+6,即4x7,所以x【例6】 x2与a的和不是正数用不等式表示.错解及分析: x2+a0. 对“不是正数”理解不清.x2与a的和是0或负数.正解: x2+a0.【例7】 求不等式的非负整数解.错解及分析: 整理得,3x16,所以故
7、其非负整数解是1,2,3,4,5.本例的解题过程没有错误,错在对“非负整数”的理解.正解:整理得,3x16,所以故其非负整数解是0,1,2,3,4,5.【例8】 解不等式3-5(x-2)-4(-1+5x)0.错解及分析:去括号,得3-x-2-4+5x0,即4x3,所以本题一是去括号后各项没有改变符号;二是一个数乘以一个多项式时应该把这个数和多项式的每一项相乘.正解:去括号得3-x+10+4-20x0,即-21x-17,所以【例9】 解不等式7x-64x-9.错解及分析:移项,得7x+4x-9-6,即11x-15,所以一元一次不等式中移项和一元一次方程中的移项一样,都要改变符号.正解:移项,得7
8、x-4x-9+6,即3x-3,所以x-1.【例10】 解不等式错解及分析:去分母,得3+2(2-3x)5(1+x).即11x2,所以错误的原因是在去分母时漏乘了不含分母的一项“3”.正解:去分母,得30+2(2-3x)5(1+x).即11x29,所以【例11】 解不等式6x-61+7x.错解及分析:移项,得6x-7x1+6.即-x7,所以x-7.将不等式-x7的系数化为1时,不等式两边同除以-1,不等号没有改变方向,因此造成了错解.正解:移项,得6x-7xx-2.错解: 化简,得(m-1)x2(m-1),所以x2.诊断: 错解默认为m-10,实际上m-1还可能小于或等于0.正解: 化简,得(m
9、-1)x2(m-1), 当m-10时,x2; 当m-10时,x2; 当m-1=0时,无解.【例13】 解不等式(a1)x3.错解: 系数化为1,得x.诊断:此题的未知数系数含有字母,不能直接在不等式两边同时除以这个系数,应该分类讨论.正解: 当a10时,x; 当a1时,0x3,不等式无解; 当a10时,x.【例14】 不等式组的解集为 .错解: 两个不等式相加,得 x-10,所以x1.诊断: 这是解法上的错误,它把解不等式组与解一次方程组的方法混为一谈,不等式组的解法是分别求出不等式组中各个不等式的解集,然后在数轴上表示出来,求得的公共部分就是不等式组的解集,而不能用解方程组的方法来求解正解:
10、 解不等式组,得.在同一条数轴上表示出它们的解集,如图,所以不等式组的解集为:0x【例15】 解不等式组 错解: 因为5x-34x+2,且4x+23x-2,所以 5x-33x-2.移项,得5x-3x-2+3.解得 x.诊断: 上面的解法套用了解方程组的方法,是否正确,我们可以在x的条件下,任取一个x的值,看是否满足不等式组.如取x1,将它代入5x-34x+2,得26(不成立).可知x不是原方程组的解集,其造成错误的原因是由原不等式组变形为一个新的不等式时,改变了不等式的解集.正解: 由5x-34x+2,得x5.由4x+23x-2,得x4.综合x5和x4,得原不等式组的解集为x5.【例16】解不
11、等式组错解:由不等式2x37可得x9可得x3.所以原不等式组的解集为2x3.诊断:由不等式性质可得,23,这是不可能的.正解:由不等式2x37可得x9可得x3.所以原不等式组无解.【例17】 解不等式错解:去分母,得34x19x.移项,得4x9x13合并,得13x2系数化为1,得诊断:本题忽视了分数线的双重作用,去分母时,若分子为多项式,应对其加上括号.正解: 去分母,得3(4x1)9x去括号,得34x+19x.移项,得4x9x-13合并,得13x4系数化为1,得【例18】 若不等式组的解集为x2,则a的取值范围是( ).A. a2 D. a2错解及分析:原不等式组可分为得a2.正解:应为a2
12、 ,故选B.【例19】解不等式组错解:,得不等式组的解集为x-13.诊断:错解中把方程组的解法套用到不等式组中.正解:由不等式2x7+x得到x7.由不等式3xx-6得到x-3.所以原不等式组的解集为x0,则ab;如果ab0,则ay,试比较代数式-(8-10x)与(8-10y)的大小,如果较大的代数式为正数,则其中最小的正整数x或y的值是多少? 【思考与分析】根据求差法的步骤我们先求出两个式子的差,然后再根据已知条件xy,来判断这个差的符号,从而比较两个代数式的大小. 解:由两式作差得-(8-10x)(8-10y)-8+10x+8-10y10x-10y. 因为xy,所以10x10y,即10x-1
13、0y0. 所以-(8-10x)(8-10y). 又由题意得-(8-10x)0,即x,所以x最小的正整数值为1. 【例7】有一个三口之家准备在假期出外旅行,咨询时了解到东方旅行社规定:若父母各买一张全票则孩子可以按全票的七折购票;而光明旅行社则规定:三人均可按团体票计价,即按全票的80收费.若两家旅行社的票价相同,则实际哪家收费较低呢? 【思考与分析】要比较哪家旅行社的收费低,我们可以先用含有未知数的式子表示出两家旅行社需要的费用,然后根据求差法的步骤,求出两个式子的差,再根据已知条件判断这个差的符号即可比较出哪个旅行社的费用低. 解:设这两家旅行社全票的价格为a元,依题意 东方旅行社的收费为2
14、a70a2.7a, 光明旅行社的收费为3a802.4a. 因为2.7a2.4a0.3a0, 所以实际上光明旅行社的收费较低. 【反思】在解题时我们为什么设这两家旅行社全票的价格为a元呢?因为如果不设的话,我们即使知道用求差法比较大小,也无从下手.五、巧去括号【例8】【思考与分析】 观察题目中的括号及数字的特点可先考虑去中括号,再去小括号,这样会使运算简便.解:去中括号,得去分母,得 3x+6028+8x,移项,合并同类项,得-5x-32,【思考与分析】 观察题目中的括号及数字的特点可从里向外去小括号,给后面的运算带来方便.解: 去小括号,得六、巧用“整体思想”【例9】 解不等式:【思考与分析】
15、 观察题目中括号内外可知都有相同的项:2x-1,我们把2x1视为整体,再去中括号和分母,则可使运算简捷解: 3(2x-1)-9(2x-1)-95合并同类项得-6(2x-1)14解得反思: 我们在解带有括号的一元一次不等式时,我们要善于观察题目的特点,巧去括号可使运算简便. 【例10】在欧洲足球锦标赛中,共有16支队伍参加比赛,争夺象征欧洲足球最高荣誉的“德劳内杯”.16支队伍被分成4个小组,进行单循环赛(即每个队需同其他三个队各赛一场),胜一场积3分,平一场积1分,负一场积0分,每组按照积分的前两名出线进入前八强,每个队在小组赛中需积多少分,才能确保出线?【思考与分析】根据题意,只有小组赛中的
16、积分的前两名才能出线,我们可以分几种情况来讨论出线积分的多少.(1)若某一队三战全胜积9分,则同组的另一小队需保证小组第二才有出线的希望,在剩下的两场比赛中,它有六种可能:两场全胜积6分,一胜一平积4分,一胜一负积3分,两平积2分,一平一负积1分,两负积0分.(三场比赛,肯定有一场负)因此,在这种情况中,至少积6分才能确保出线;(2)若某一队三战两胜一平积7分,则小组第二至少要两胜积6分才能出线;(3)若某一队三战两胜一负积6分,则其他两个队也可能三战两胜一负积6分,这样三队同积6分,不能确保小组出线.由以上思考讨论可知,在小组赛中,积分可能出现三个队积分相同,为了确保出线,至少需积7分,才能
17、保证以小组第二的身份出线.解:需7分.【小结】通过解题过程我们知道做这类题的时候要注意:在足球比赛中,一般按积分多少排名次;积分相等的两队,净胜球数多的队名次在前;积分、净胜球数都相等的球队,进球数多的队名次在前;分析有关足球比赛的问题时,不能单纯的利用不等关系判断,还要注意到相互之间的胜负关系.第五节、竞赛数学【例1】满足的x的值中,绝对值不超过11的那些整数之和等于 . 【思考与分析】 要求出那些整数之和,必须求出不等式的绝对值不超过11的整数解,因此我们应该先解不等式. 解: 原不等式去分母,得 3(2x)2(2x1), 去括号,移项,合并同类项,得 x8,即x8. 满足x8且绝对值不超
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