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高等数学中求极限的方法小结.doc
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1、高等数学中求极限的方法小结2.求极限的常用方法2.1 利用等价无穷小求极限这种方法的理论基础主要包括:(1)有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小.(2)有界函数与无穷小的乘积是无穷小.(3)非零无穷小与无穷大互为倒数.(4)等价无穷小代换(当求两个无穷小之比的极限时,分子与分母都可用等价无穷小代替).3设、且;则:与是等价无穷小的充分必要条件为:常用等价无穷小:当变量时,例1 求解 , 故,原式例2 求解 ,因此:原式例3 求 解 ,故:原式=例4 求解 ,故:原式例5 试确定常数与,使得当时,与为等价无穷小解 而左边,故 即 2.2 利用洛必达法则求极限利用这一法则的前提是:函数的导数要存在;
2、为0比0型或者型等未定式类型.洛必达法则分为3种情况:(1)0比0,无穷比无穷的时候直接用.(2)0乘以无穷,无穷减去无穷(无穷大与无穷小成倒数关系时)通常无穷大都写成无穷小的倒数形式,通项之后,就能变成(1)中形式了.(3)0的0次方,1的无穷次方,无穷的0次方,对于(指数,幂函数)形式的方法主要是取指数的方法,这样就能把幂函数指数位置的函数移下来了,就是写成0与无穷的形式了.洛必达法则中还有一个定理:当时,函数及都趋于0;在点的某去心邻域内,的导数都存在且的导数不等于0;存在,那么 . 1求极限有很多种方法如洛必达法则,夹逼定理求极限的秘诀是:强行代入,先定型后定法. 3例6 求.分析 秘
3、诀强行代入,先定型后定法.(此为强行代入以定型).可能是比高阶的无穷小,倘若不这样,或 或. 解 ,由洛必达法则的.例7 求.解 .例8 求.解 原式.(二次使用洛必达法则).例9 求.解 原式.例10 求.解 原式原式=.例11 求.解 原式.例12 求.解 原式.例13 求.解 原式“”型:例14 求.解 原式.“”型:例15 求 .解 ,故原式.“”型:例16 求.解 原式.“”型:例17 求.解 原式. “”型:例18 求.解 原式,而,因此:原式=1.2.3 泰勒公式(含有的次方的时候,尤其是含有正、余弦的加减的时候要特别注意)泰勒中值定理定理:如果函数在含有的某个开区间内具有直到阶
4、的导数,则对任一,有+(-)+(-)+(-)+()其中,这里是与之间的某个值. 1例19 利用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式,求极限.解 由于公式的分母,我们只需将分子中的代入计算,于是 ,对上式做运算时,把两个高阶的无穷小的代数和还是记作.例20 , , .2.4 无穷小与有界函数的处理方法 面对复杂函数,尤其是正、余弦的复杂函数与其它函数相乘的时候,一定要注意这个方法.3 例21 求 .解 原式.2.5 夹逼定理主要介绍的是如何用之求数列极限,这个主要是看见极限中的通项是方式和的形式,对之放缩或扩大.1例22 求.解 , ,根据夹逼定理 .2.6 等比等差数列公式(的绝对值要小于) 1例2
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