立体几何解答题的建系设点问题.doc

立体几何解答题的建系设点问题
一、基础知识：
（一）建立直角坐标系的原则：如何选取坐标轴
1、轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即轴要与坐标平面垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为轴与底面的交点
2、轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考：
（1）尽可能的让底面上更多的点位于轴上
（2）找角：轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件
（3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点
解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直底面两条线垂直），这个过程不能省略。
3、与垂直相关的定理与结论：
（1）线面垂直：
① 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直
② 两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直
③ 两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直
④ 直棱柱：侧棱与底面垂直
（2）线线垂直（相交垂直）：
① 正方形，矩形，直角梯形② 等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一）
③ 菱形的对角线相互垂直④ 勾股定理逆定理：若，则
（二）坐标的书写：建系之后要能够快速准确的写出点的坐标，按照特点可以分为3类
1、能够直接写出坐标的点
（1） 坐标轴上的点，规律：在哪个轴上，那个位置就有坐标，其余均为0
（2）底面上的点：坐标均为，即竖坐标，由于底面在作立体图时往往失真，所以要快速正确写出坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考
2、空间中在底面投影为特殊位置的点：
如果在底面的投影为，那么（即点与投影点的横纵坐标相同）
由这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写。如果可以则直接确定了横纵坐标，而竖坐标为该点到底面的距离。以上两个类型已经可以囊括大多数几何体中的点，但总还有一些特殊点，那么就要用到第三个方法：
3、需要计算的点
① 中点坐标公式：，则中点，图中的等中点坐标均可计算
② 利用向量关系进行计算（先设再求）：向量坐标化后，向量的关系也可转化为坐标的关系，进而可以求出一些位置不好的点的坐标，方法通常是先设出所求点的坐标，再选取向量，利用向量关系解出变量的值.
1. 如图，在等腰梯形中，，，AB=2， 平面，且，建立适当的直角坐标系并确定各点坐标。(两种方法)
思路：本题直接有一个线面垂直，所以只需在平面找过的相互垂直的直线即可。由题意，不是直角。所以可以以其中一条边为轴，在底面上作垂线即可构造出两两垂直的条件，进而可以建立坐标系
方案一：（选择为轴），连结
可知 在中
由可解得
平面
以为坐标轴如图建系：

方案二（以 为轴）
过作的垂线 平面

以为坐标轴如图建系：
（同方案一）计算可得：

2.已知四边形满足，是中点，将翻折成，使得平面平面，为中点

思路：在处理翻折问题时，首先要确定在翻折的过程中哪些量与位置关系不变，这些都是作为已知条件使用的。本题在翻折时，是等边三角形，四边形为的菱形是不变的，寻找线面垂直时，根据平面平面，结合是等边三角形，可取中点，则可证平面，再在四边形找一组过的垂线即可建系
解：取中点，连结
是等边三角形

平面平面
平面，连结
四边形为的菱形 为等边三角形

两两垂直
如图建系，设为单位长度

为中点

3.如图，在四棱柱中，侧棱,,,
,且点和分别为的中点。建立合适的空间直角坐标系并写出各点坐标
思路：由，可得两两垂直，进而以它们为轴建立坐标系，本题中均可通过投影到底面得到横纵坐标，图中点坐标相对麻烦，可作出底面的平面图再根据平面几何知识进行计算。
解： 侧棱

两两垂直
以为轴建立直角坐标系
底面上的点：
由可得为等腰三角形，若为中点，则

可投影到底面上的点：
因为和分别为的中点

综上所述：

4.已知斜三棱柱在底面上的射影恰为的中点，又知，E为靠近点B的三等分点，建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标
思路：本题建系方案比较简单，平面，进而作轴，再过引垂线即可。难点有二：一是三棱柱的高未知，进而无法写出上底面点的竖坐标；二是的投影不易在图中作出（需要扩展平面），第一个问题可先将高设为，再利用条件求解；第二个问题可以考虑利用向量计算得到。
解：过作的垂线 ，平面
，而
以为轴建立直角坐标系
，设高为
则，设
则
由可得：

，解得

设
而且

综上所述：

5.如图，在三棱柱中，是正方形的中心，平面，，建立适当的坐标系并确定各点坐标
思路：平面，从而可作轴，只需在平面找到过的两条垂线即可建系（两种方案），对于坐标只有坐标相对麻烦，但由可以利用向量进行计算。
解：方案一：（利用正方形相邻边垂直关系建系）
如图建系：则

设，则
由可得：
综上所述：

方案二：（利用正方形对角线相互垂直建系）
如图建系：由计算可得

设，则
由可得：
综上所述：