2023年人教版高中数学第八章立体几何初步易错题集锦.pdf

(名师选题名师选题)2023)2023 年人教版高中数学第八章立体几何初步易错题集锦年人教版高中数学第八章立体几何初步易错题集锦 单选题 1、如图，已知正方体的棱长为，沿图 1 中对角面将它分割成两个部分，拼成如图 2 的四棱柱，则该四棱柱的全面积为（）A(8+22)2B(2+42)2C(4+22)2D(6 42)2 答案：C 分析：拼成的几何体比原正方体的表面增加了两个截面，减少了原来两个正方形面，据此变化，进行求解.由题意，拼成的几何体比原正方体的表面增加了两个截面，减少了原来两个正方形面，由于截面为矩形，长为2，宽为，所以面积为22，所以拼成的几何体的表面积为42+222=(4+22)2.故选：C.2、下列说法正确的有（）两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；经过球面上不同的两点只能作一个大圆；各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；圆锥的轴截面是等腰三角形.A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 答案：A 解析：根据棱台、球、正方体、圆锥的几何性质，分析判断，即可得答案.中若两个底面平行且相似，其余各面都是梯形，并不能保证侧棱延长线会交于一点，所以不正确；中若球面上不同的两点恰为球的某条直径的两个端点，则过此两点的大圆有无数个，所以不正确；中底面不一定是正方形，所以不正确；中圆锥的母线长相等，所以轴截面是等腰三角形，所以是正确的.故选：A 3、九章算术 商功中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑如图，在鳖臑ABCD中，AB平面BCD，ACCD，ACBCCD2，当BCD的面积最大时，鳖臑ABCD的表面积为（）A3+62B3+62C2+3+62D3+3+62 答案：D 分析：根据题意可证明 ，从而说明三角形BCD是直角三角形，求得，进而求得四个直角三角形的面积，可得答案.由题意可知：AB平面BCD，平面BCD，故AB,又ACCD，=,平面ABC，故 平面ABC，平面ABC，故 ,所以=12 12(+2)2=12,当且仅当=1时取得等号，故=1+1=2,由AB平面BCD，可知 ,故=2 2=4 1=3,所以=12 =62,=12 =32,=12 =12,=12 =1,所以鳖臑ABCD的表面积为62+32+12+1=3+3+62，故选：D 4、过半径为 4 的球表面上一点作球的截面，若与该截面所成的角是30，则到该截面的距离是（）A4B23C2D1 答案：C 分析：作出球的截面图，根据几何性质计算，可得答案.作出球的截面图如图：设A为截面圆的圆心，O为球心，则 截面，AM在截面内，即有 ，故=30,所以=4 12=2,即到该截面的距离是 2，故选：C 5、如图，用斜二测画法作水平放置的正三角形111的直观图，则正确的图形是（）AB CD 答案：A 分析：由斜二侧画法的规则分析判断即可 先作出一个正三角形111，然后以11所在直线为轴，以11边上的高所在的直线为轴建立平面直角坐标系，画对应的,轴，使夹角为45，画直观图时与轴平行的直线的线段长度保持不变，与轴平行的线段长度变为原来的一半，得到的图形如图，然后去掉辅助线即可得到正三角形的直观图如图，故选：A 6、在正方体 1111中，是正方形的中心，则直线1与直线1所成角大小为（）A30B45C60D90 答案：A 分析：如图，连接1，利用余弦定理可求1的值，从而可得直线1与直线1所成角大小.设正方体的棱长为2，连接1，因为1/1，故1或其补角为直线1与直线1所成角.而1=22，=2，1=12+2=42+22=6，故12=12+2，所以1，所以cos1=622=32，因为1为锐角，故1=30，故选：A.7、直三棱柱 111中，若=90，=1=1，=2，是棱11上的中点，则点到平面的距离是（）A1B23C63D33 答案：C 分析：作出草图，根据题意易证11平面11，可得11 1，再根据勾股定理分别求出1，的值，再根据=，即可求出点到平面的距离.如图，在直三棱柱 111中，连接1,，由题知，1平面111，1 11,1 11，又=111=90，11 11 又1 11=1，所以11平面11，所以11 1，由于=1=1=1,11=2，点是棱上的中点，根据勾股定理，1=2+12=12+12=2，=12+12=(2)2+12=3 =(1)2+(1)2=12+12=2，=2+2=12+22=5，所以2+2=2，即 .设到平面的距离为，则=1，设点到平面的距离为，在四面体 中，=，=13 =13(12 1 2)1=13=13 =13(12 3 2)=66 则66=13，解得=63.故选：C.8、鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图 1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图 2 是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为 2，则该鲁班锁的表面积为（）A8(6+62+3)B6(8+82+3)C8(6+63+2)D6(8+83+2)答案：A 解析：该鲁班锁玩具可以看成是一个正方体截去了 8 个正三棱锥所余下来的几何体，然后按照表面积公式计算即可.由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为2+22的正方体截去了 8 个正三棱锥所余下来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为 2，侧棱长为2，则该几何体的表面积为 =6 (2+22)2 4 12 2 2+8 12 2 3=8(6+62+3).故选：A.小提示：本题考查数学文化与简单几何体的表面积，考查空间想象能力和运算求解能力.9、已知abc为三条直线，则下列四个命题中是真命题的为（）A若a与b异面，b与c异面，则a与c异面 B若a与b相交，b与c相交，则a与c相交 C若 ，则ab与c所成的角相等 D若 ，则 答案：C 分析：根据空间里面直线的位置关系逐项分析判断即可.在 A 中，若直线ab异面，bc异面，则ac相交异面或平行，故 A 错误；在 B 中，若直线ab相交，bc相交，则ac平行相交或异面，故 B 错误；在 C 中，若 ，则ab与c所成的角相等，故 C 正确；在 D 中，若 ，则a与c相交平行或异面，故 D 错误.故选：C.10、如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形为截面，长方形为底面，则四边形的形状为（）A梯形 B平行四边形 C可能是梯形也可能是平行四边形 D矩形 答案：B 解析：利用面面平行的性质判断与的平行、与平行.因为平面/平面,且平面 平面=,平面 平面=,根据面面平行的性质可知/,同理可证明/.所以四边形为平行四边形.故选：B.小提示：本题考查长方体截面形状判断，考查面面平行的性质应用，较简单.11、紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶，石瓢壶，潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm），那么该壶的容积约为（）A100cm3B200cm3C300cm3D400cm3 答案：B 分析：根据题意可知圆台上底面半径为 3，下底面半径为 5，高为 4，由圆台的结构可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积，设大圆锥的高为，所以4=610，求出的值，最后利用圆锥的体积公式进行运算，即可求出结果.解：根据题意，可知石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，圆台上底面半径为 3，下底面半径为 5，高为 4，可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积，设大圆锥的高为，所以4=610，解得：=10，则大圆锥的底面半径为 5，高为 10，小圆锥的底面半径为 3，高为 6，所以该壶的容积=13 52 10 13 32 6=1963 2003.故选：B.12、已知正四棱锥的底面边长为 6，侧棱长为 5，则此棱锥的侧面积为（）A6B12C24D48 答案：D 分析：首先由勾股定理求出斜高，即可求出侧面积；解：正四棱锥的底面边长为 6，侧棱长为 5，则其斜高=52(62)2=4，所以正四棱锥的侧面积=12 4 6 4=48 故选：D 双空题 13、在三棱锥PABC中，已知ABC是边长为 2 的正三角形，PA平面ABC，M，N分别是AB，PC的中点，若异面直线MN，PB所成角的余弦值为34，则PA的长为_；三棱锥PABC的外接球表面积为_ 答案：2 283#283 分析：取BC中点E，设=，利用x表示出 的边长，然后由余弦定理可解；过ABC的外心1作底面的垂线，则球心必在垂线上，再由ABC的外接圆半径、三棱锥的高与外接球半径之间的关系可得.取BC中点E，连接NE，ME，cos=34 设=，=2+4，=2+42=1 取AC中点F，连接NF、MF，则 ，因为PA平面ABC，所以NF平面ABC，由MF平面ABC，所以，所以=2+2=2+42 cos=2+44+2+44122+422+42=34 =2，=2 设底面ABC外心为1，由正弦定理得1=2sin=233，过1作1平面ABC，则三棱锥PABC外接球球心O一定在O1Q上，由=，取PA中点R，则 ，=1=233 外接球半径=1+(233)2=73，=4 73=283 所以答案是：2，283 14、如图，平面四边形,=90,=120,=2，将沿折起到的位置，此时二面角 的大小为60，连接，则三棱锥 外接球的表面积为_;三棱锥 的体积为_.答案：16 3 分析：根据题意，可知、都是以为斜边的直角三角形，故三棱锥 外接球的球心为中点，直径为，即可求出三棱锥 外接球的表面积；结合题意求出点到平面的距离，即可得到三棱锥 的体积.由=90，可知三棱锥 外接球的直径为，三棱锥 外接球的半径=2=cos602=2，故三棱锥 外接球的表面积=42=16；由题意得点到直线的距离=sin60=3，因二面角 的大小为60，所以点到平面的距离=sin60=32，故三棱锥 的体积=13=13223232=3.所以答案是：16；3.15、连接正方体相邻各面的中心(中心是指正方形的两条对角线的交点)后所得到了一个几何体，设正方体的棱长为，则该几何体的表面积为_，该几何体的体积为_.答案：32 163 解析：根据正方体的几何结构特征，得到这正八面体每个面是全等的正三角形，求得其边长，结合表面积公式和体积公式，即可求解.由题意，这正八面体每个面是全等的正三角形，且=22，所以几何体的表面积为：=8=8 1264 22=32，又由=12，=12=，所以=(22)2=122，所以该几何体的体积为：正八面体=2 13 =2 1312212=163.所以答案是：32，163.小提示：求空间几何体的表面积与体积的求法：（1）公式法：对于规则的几何体的表面积和体积，可直接利用公式进行求解；（2）割补法：把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行体积的计算，或不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算；（3）等体积法：等体积法也称积转化或等积变形，通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决锥体的体积，特别时三棱锥的体积.16、如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分当以直径所在直线为轴旋转一周时，得到一几何体，则该几何体的表面积是_，体积是_.（其中=30）答案：11+322 563 分析：由题意，分析旋转体的几何性质可知，阴影部分旋转后，可看作是球体中间扣除两个同底倒扣的圆锥体，其表面积为外侧球体的表面积加上两个圆锥的侧面积，其体积为球体体积减掉两个圆锥的体积，计算求解.如图所示，过C作1 于点1，由题意得=90，=30，=2，=3，=，1=32.球=42，圆锥1侧=32 3=322，圆锥1侧=32 =322，几何体表=球+圆锥1侧+圆锥1侧=42+322+322=11+322.又 球=433，圆锥1=13 1 12=142 1，圆锥1=13 1 12=142 1，几何体=球(圆锥1+圆锥1)=563.所以答案是：11+322，563 小提示：本题考查空间想象能力，旋转体的形成过程，属于中等题.17、在等腰梯形中，=2=2，=3，为的中点.将 沿折起，使点到达点的位置，则三棱锥 外接球的表面积为_；当=32时，三棱锥 外接球的球心到平面的距离为_.答案：4 31313 分析：由题可得三棱锥 外接球的球心为O，利用球的表面积公式即求，然后利用等积法可求O到平面的距离.等腰梯形中，=2=2，=3，为的中点，,为等边三角形，=1，三棱锥 外接球的球心为O，半径为 1，=4 1=4；连与交于，则OCMD，OCMB，所以为二面角的平面角，又=32，又=32，二面角 为3，到平面的距离为=32sin3=34，在 中，=1,=32,=1，=121 (34)232=3916，设球心O到平面的距离h，由=，得13 =13，133916 =133434，解得=31313，所以三棱锥 外接球的球心到平面的距离为31313.所以答案是：4；31313.解答题 18、如图，已知正三棱锥 的高=，侧面上的斜高=，求经过的中点1且平行于底面的截面 111的面积（用，表示）答案：334(2 2).分析：利用正三棱柱的性质可得=33(2 2)，根据面面平行的性质可得11/，进而可得111=14，即得.连接，在Rt 中，=2 2，棱锥 是正三棱锥，是 的中心，=2=2 tan60=232 2，=342=33(2 2)，因为平面111/平面，1为的中点，平面111平面=11，平面 平面=，11/,11=12，同理可得，11/,11=12，11/,11=12，所以 111 ，所以111=14，截面 111的面积为111=334(2 2)19、已知一长方体的底面是边长为 3cm 的正方形，高为 4cm，试用斜二测画法画出此长方体的直观图 答案：作图见解析.分析：根据斜二测法的作图步骤即可得到此长方体的直观图.1.画轴：画出轴，轴，轴，三轴相交于点，使得=45,=90；2.画底面：以点为中点，在轴上画=3cm，在轴上画=32cm，分别过点,作轴的平行线，过点,作轴的平行线，设它们的交点分别为,，则四边形即为该四棱柱的底面；3.画侧棱：过点,分别作轴的平行线，并在这些平行线上分别截取4cm长的线段,，如图（1）所示；4.成图：连接,，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到该棱柱的直观图，如图（2）所示.图（1）图（2）20、如图所示，在三棱柱 111中，E，F，G，H分别是AB，AC，11，11的中点求证：平面1平面BCHG 答案：证明见解析 分析：证明/，进而证明出/平面BCHG，再证明1/，得到1平面BCHG，从而证明面面平行.证明：E，F分别是AB，AC的中点，/平面BCHG，平面BCHG，/平面BCHG 1=，且1/四边形1是平行四边形，1/1 平面BCHG，平面BCHG，1平面BCHG 1 =，平面1平面BCHG