含参数的一元二次不等式的解法以和含参不等式恒成立问题(专题).doc

(完整word)含参数的一元二次不等式的解法以和含参不等式恒成立问题(专题)
含参数的一元二次不等式的解法

解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元
二次不等式常用的分类方法有三种：
一、按项的系数的符号分类,即;
例1 解不等式：
分析:本题二次项系数含有参数，，故只需对二次项
系数进行分类讨论。
解:∵
解得方程 两根
∴当时，解集为
当时，不等式为，解集为
当时, 解集为
例2 解不等式
分析 因为，,所以我们只要讨论二次项系数的正负。
解
当时，解集为；当时，解集为
二、按判别式的符号分类，即；
例3 解不等式
分析 本题中由于的系数大于0,故只需考虑与根的情况。
解:∵
∴当即时，解集为；
当即Δ＝0时，解集为；
当或即,此时两根分别为,，显然,
∴不等式的解集为
例4 解不等式
解 因
所以当，即时，解集为；
当，即时,解集为；
当，即时，解集为R.
三、按方程的根的大小来分类，即；
例5 解不等式
分析:此不等式可以分解为：，故对应的方程必有两解.本题
只需讨论两根的大小即可。
解：原不等式可化为：，令，可得：
∴当或时， ，故原不等式的解集为；
当或时，，可得其解集为;
当或时, ，解集为。
例6 解不等式，
分析 此不等式，又不等式可分解为，故只需比较两根与的大小.
解 原不等式可化为：,对应方程的两根为
，当时，即，解集为；当时，即,解集为
含参不等式恒成立问题的求解策略
“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来,其以覆盖知识点多，综合性强,解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用.本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。
一、判别式法
若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数，有
1）对恒成立;
2）对恒成立
例1：若不等式的解集是R，求m的范围。
解析：要想应用上面的结论,就得保证是二次的,才有判别式,但二次项系数含有参数m,所以要讨论m-1是否是0.
（1）当m—1=0时，元不等式化为2〉0恒成立，满足题意;
（2）时，只需，所以,。
例2．已知函数的定义域为R，求实数的取值范围。
解：由题设可将问题转化为不等式对恒成立，即有解得。
所以实数的取值范围为。
若二次不等式中的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。

二、最值法
将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法,其一般类型有：
1)恒成立
2）恒成立
例3、若时,不等式恒成立，求的取值范围。
解：设，则问题转化为当时，的最小值非负。
（1） 当即：时， 又所以不存在；
（2） 当即：时， 又
（3） 当 即：时, 又
综上所得：
例4．函数，若对任意，恒成立,求实数的取值范围。
解:若对任意,恒成立，
即对，恒成立，
考虑到不等式的分母，只需在时恒成立而得
而抛物线在的最小值得
注：本题还可将变形为，讨论其单调性从而求出最小值。
例5：在ABC中,已知恒成立,求实数m的范围。
解析:由
,,恒成立，,即恒成立,
例6：求使不等式恒成立的实数a的范围。
解析：由于函，显然函数有最大值，。

三、分离变量法
若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围.这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰,操作性更强。一般地有：
1）恒成立
2）恒成立
.
例7、已知时，不等式恒成立,求的取值范围。
解：令, 所以原不等式可化为：,
要使上式在上恒成立，只须求出在上的最小值即可。

例8、已知函数,若对任意恒有，试确定的取值范围。
解：根据题意得：在上恒成立，
即：在上恒成立，
设,则
当时， 所以
例9．已知函数时恒成立，求实数的取值范围。
解: 将问题转化为对恒成立。
令，则
由可知在上为减函数，故
∴即的取值范围为。
注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。
四、变换主元法
处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。
例10．对任意，不等式恒成立，求的取值范围。
分析：题中的不等式是关于的一元二次不等式，但若把看成主元,则问题可转化为一次不等式在上恒成立的问题。
解：令，则原问题转化为恒成立(）。
当时，可得，不合题意。
当时，应有解之得.
故的取值范围为。
注：一般地，一次函数在上恒有的充要条件为。
例11、若不等式对满足的所有都成立,求的取值范围。
解：设，对满足的，恒成立，
解得：
五、数形结合法
数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”,这充分说明了数形结合思想的妙处,在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系:
1）函数图象恒在函数图象上方；
2）函数图象恒在函数图象下上方。

x
-2
-4
y
O
-4
例12．设 , ,
若恒有成立,求实数的取值范围.
分析:在同一直角坐标系中作出及
的图象 如图所示，的图象是半圆
的图象是
平行的直线系。
要使恒成立，
则圆心到直线的距离
满足
解得（舍去)
由上可见，含参不等式恒成立问题因其覆盖知识点多，方法也多种多样，但其核心思想还是等价转化，抓住了这点,才能以“不变应万变”，当然这需要我们不断的去领悟、体会和总结。

例13:已知,求实数a的取值范围.
解析:由,在同一直角坐标系中做出两个函数的图象,如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交,则由得到a分别等于2和0.5，并作出函数的图象，所以，要想使函数在区间中恒成立，只须在区间对应的图象在在区间对应图象的上面即可.当才能保证,而才可以，所以.
例14、若不等式在内恒成立，求实数的取值范围。

解：由题意知：在内恒成立，
在同一坐标系内，分别作出函数和
观察两函数图象，当时，若函数的图象显然在函数图象的下方，所以不成立；
当时，由图可知，的图象必须过点或在这个点的上方，则，
综上得:
例15．设，当时，恒成立，求实数的取值范围。
解：设，则当时,恒成立
O
x
yx
-1
当时，显然成立;
当时，如图，恒成立的充要条件为:
解得。
综上可得实数的取值范围为。

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