全国通用版高中数学第七章复数知识总结例题.pdf

(名师选题名师选题)全国通用版高中数学第七章复数知识总结例题全国通用版高中数学第七章复数知识总结例题 单选题 1、设2(+)+3()=4+6，则=（）A1 2B1+2C1+D1 答案：C 分析：设=+，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于、的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数.设=+，则=，则2(+)+3()=4+6=4+6，所以，4=46=6，解得=1，因此，=1+.故选：C.2、若=1+i则|i+3|=（）A45B42C25D22 答案：D 分析：根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出 因为=1+i，所以i+3=i(1+i)+3(1 i)=2 2i，所以|i+3|=4+4=22 故选：D.3、已知复数z满足 +4i=5+i，则实数a的取值范围为（）A4,4B6,6C8,8D12,12 答案：D 分析：设=+i,R，由复数相等，得出,的关系式，消去得到关于的一元二次方程有实数解，利用 0，求解即可得出答案.设=+i,R，则2+2+4i(i)=5+i，整理得：2+2+4+4i=5+i,所以2+2+4=54=，消去得2+4 5+216=0,因为方程有解，所以=16 4(216 5)0，解得：12 12.故选：D.4、若复数=21+i，其中 i 为虚数单位，则z=（）A1+iB1 iC1+iD1 i 答案：B 分析：复数的除法运算，分子分母同时乘以分母的共轭复数，化简即可.=21+i=2(1 i)(1+i)(1 i)=1 i 故选：B.5、下列命题正确的是（）A复数1+i是关于的方程2 +2=0的一个根，则实数=1 B设复数1，2在复平面内对应的点分别为1，2，若|1|=|2|，则1 与2 重合 C若|1|=|+1|，则复数对应的点在复平面的虚轴上(包括原点)D已知复数1+2i，1 i，3 2i在复平面内对应的点分别为，若=+（i是虚数单位，为复平面坐标原点，），则+=1 答案：C 分析：结合一元二次方程的复数根、复数模、复数对应点、向量运算等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.对于 A：复数1+i是关于的方程2 +2=0的一个根，所以：(1+i)2(1+i)+2=0，2i i+2=2 +(2 )i=0,2 =0,=2，故 A 错误；对于 B：设复数1，2在复平面内对应的点分别为1，2，若|1|=|2|，即这两个向量的模长相等，但是1 与2 不一定重合，故 B 错误；对于 C：若|1|=|+1|，设=+i(,)，故：(1)2+2=(+1)2+2，整理得：=0，故=i，故 C 正确；对于 D：已知复数1+2i，1 i，3 2i在复平面内对应的点分别为，若=+，所以(3,2)=(1,2)+(1,1)，(3,2)=(,2)+(,)=(,2 )，=32 =2，解得：=1，=4，故+=5，故 D 错误 故选：C 6、复数(cos2+isin3)(cos+isin)的模为 1，其中i为虚数单位，0,2，则这样的一共有（）个.A9B10C11D无数 答案：C 分析：先根据复数(cos2+isin3)(cos+isin)的模为 1 及复数模的运算公式，求得cos22+sin23=1即cos22=cos23，接下来分cos2=cos3与cos2=cos3两种情况进行求解，结合 0,2，求出的个数.|(cos2+isin3)(cos+isin)|=|cos2+isin3|cos+isin|=1，其中|cos+isin|=1，所以|cos2+isin3|=1，即cos22+sin23=1，cos22=1 sin23=cos23，当cos2=cos3时，2=3+21，1，所以=21，1，因为 0,2，所以=0或2；2=3+22，2，所以=225，2，因为 0,2，所以=0，25，45，65，85或2；当cos2=cos3时，2=3+(23+1)，3，即=(23+1)，3，因为 0,2，所以=，2=3+(24+1)，4，即=(24+1)5，4，因为 0,2，所以=5，35，75，95，综上：=5，=0,1,10，一共有 11 个.故选：C 7、已知复数满足(i)(2+i)=6 2i，则|=（）A3B2C5D6 答案：C 分析：利用复数的运算先求z，再利用复数的模长公式求解.因为(i)(2+i)=6 2i，所以=62i2+i+i=(62i)(2i)(2+i)(2i)+i，=2 2i+i=2 i，所以|z|=22+(1)2=5.故选：C.8、在复平面内，复数=(2 2)+(2 2)i()是纯虚数，则（）A=0或=2B=0 C 1且 2D 1或 2 答案：B 分析：利用复数是纯虚数的条件，即：实部为零且虚部不为零求解参数的值.复数=(2 2)+(2 2)i()是纯虚数,所以2 2=02 2 0，解得：=0，故选：B.9、若复数满足(1 2i)=5，则（）A=1 2i B+1是纯虚数 C复数在复平面内对应的点在第二象限 D若复数在复平面内对应的点在角的终边上，则cos=55 答案：D 分析：利用复数的除法求复数及对应点坐标，并确定所在的象限，结合各选项描述判断正误.由题设，=512i=1+2i且对应点在第一象限，A、C 错误；+1=2+2i不是纯虚数，B 错误；由在复平面内对应的点为(1,2)，所以cos=55，D 正确.故选：D 10、在复平面内，复数=1+i2i（i 是虚数单位），则复数z的共轭复数所对应的点位于（）A第四象限 B第三象限 C第二象限 D第一象限 答案：A 分析：根据复数除法运算化简，再根据共轭复数的概念和复数的几何意义可得解.因为=1+i2i=(1+i)(2+i)(2i)(2+i)=2+3i+i24i2=1+3i5=15+35i，=1535i，对应点为(15,35)，在第四象限，故选：A 11、设复数z满足|i|=1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则 A(+1)2+2=1B(1)2+2=1C2+(1)2=1D2+(+1)2=1 答案：C 分析：本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为 1，可选正确答案 C =+,=+(1),|=2+(1)2=1,则2+(1)2=1故选 C 小提示：本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养采取公式法或几何法，利用方程思想解题 12、欧拉公式=cos+sin(为自然底数，为虚数单位)是瑞士数学家欧拉最早发现的，是数学界最著名最美丽的公式之一根据欧拉公式，复数2在复平面内对应点所在的象限是（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案：B 分析：根据欧拉公式有2=cos2+sin2，判断cos2,sin2即可确定2对应点所在象限.由题意知：2=cos2+sin2，而2 2 ，cos2 0，故2对应点在第二象限.故选：B 填空题 13、若复数=(1+i)+i2013为实数，则实数=_ 答案：1 分析：根据复数代数形式的乘方及加法运算化简，再根据复数的类型求出参数的值.解：因为=+i+i4503+1=+(+1)i为实数，所以+1=0，即=1 所以答案是：1 14、如果复数满足|+i|+|i|=2，那么|+i+1|的最小值是_ 答案：1 分析：由|+i|+|i|=2的几何意义得对应复平面的点(,)的轨迹为线段，再由|+i+1|的几何意义为复平面内点(,)到点(1,1)的距离，数形结合即可求出最小值.设=+i，则|+i|+|i|=|(i)|+|i|=2的几何意义为复平面内点(,)到点(0,1)及点(0,1)的距离和为 2，又1 (1)=2，设点(0,1)和点(0,1)，则点(,)的轨迹为线段，又|+i+1|=|(1)+(i)|的几何意义为复平面内点(,)到点(1,1)的距离，设(1,1)，结合图像可知，当=i时，|+i+1|的最小值为 1.所以答案是：1.15、在 中，若面积=2+224，则=_ 答案：4#45 分析：结合三角形面积公式与余弦定理得sin=cos，进而得答案.解：由三角形的面积公式得=12sin，=2+224 所以2+224=12sin，因为2+2 2=2cos，所以2cos4=12sin，即sin=cos，因为 (0,)，所以=4 所以答案是：4 16、欧拉公式ei=cos+isin（i为虚数单位，e为自然底数）是瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥，若将其中取作就得到了欧拉恒等式ei+1=0，它将两个超越数自然底数e，圆周率，两个单位一虚数单位i，自然数单位 1，以及被称为人类伟大发现之一 0 联系起来，数学家评价它是“上帝创造的公式”.由欧拉公式可知，若复数=3212i，则3=_.答案：i 分析：本题可以根据复数乘法运算，也可以使用复数三角表示处理 解法一：=3212i则2=(3212i)(3212i)=1232i 3=(1232i)(3212i)=i；解法二：=3212i=cos116+sin116 3=cos112+isin112=i 所以答案是：i 17、若|1|=|2|=400，且|1+2|=4003，则|1 2|=_.答案：400 分析：根据|2=转化|1+2|=4003，可求得12+21=4002，同理转化|1 2|即可求值.|1+2|2=(1+2)(1+2)=|1|2+|2|2+12+21=3 4002，又|1|=|2|=400，12+21=4002，而|1 2|2=(1 2)(1 2)=|1|2+|2|2 12 21，|1 2|2=4002，则|1 2|=400.所以答案是：400 解答题 18、1.计算：34i4+3i+(1i1+i)2021 答案：2i 分析：根据复数的除法法则和乘方运算即可得到答案.3 4i4+3i+(1 i1+i)2021=(3 4i)(4 3i)25+(1 i)222021=i+(i)2021=i+(i)1=2i.19、已知复数=|2 3i|+3i，求|答案：22 分析：化简复数，利用复数的模长公式可求得结果.因为=|2 3i|+3i=22+(3)2+3i=13+3i，因此，|=13+32=22.20、若复数=(+i)2的辐角主值是32，求实数a的值 答案：1 分析：计算得到2 1+2 i=i，故2 1=0且2 0，解得答案.=(+i)2=2 1+2 i=(cos32+isin32)=i，故2 1=0且2 0，解得=1.