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《1.3.1三角函数的周期性》教学案.doc
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1、1.3.1三角函数的周期性教学案 (教师用书独具)三维目标1知识与技能 (1)了解周期现象在现实中是广泛存在的;(2)理解周期函数的概念;(3)能熟练地求正、余弦函数的周期;(4)能利用周期函数定义进行简单运用2过程与方法通过创设情境:单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等,让学生感知周期现象;从数学的角度分析这种现象,就可以得到周期函数的定义;发现并归纳出正弦函数、余弦函数的周期性及求法;根据周期性的定义,再在实践中加以应用3情感、态度与价值观通过本节的学习,使学生对周期现象有一个初步的认识,感受生活中处处有数学,从而激发学生的学习积极性,树立学生学好数学的信心,学会运用联系的观点
2、认识事物重点难点重点:求函数的周期、利用周期求函数值难点:对定义的理解及定义的简单应用教学方案设计(教师用书独具)教学建议 1教材通过对正弦线变化规律的分析以及诱导公式(一)反映的函数值关系,给出周期函数的定义,并通过具体函数正弦函数说明周期不止一个,且给出了正弦函数、余弦函数的最小正周期;通过“探究与发现”,引导学生推导出函数yAsin(x)和yAcos(x)的周期公式2关于周期函数定义的导入的教学建议教师在教学过程中多举些具有周期变化规律的实例,提高学生的学习兴趣,增强数学的应用意识关于周期函数定义的教学,建议教师在教学过程中,讲清:(1)T为不为零的常数(2)f(xT)f(x)是关于x的
3、恒等式(3)不是所有的周期函数都有最小正周期3关于函数ysin(x)和ycos(x)的周期的教学建议教师在教学中重视公式T的推导过程,及时训练,加强学生对公式的理解和记忆教学流程创设问题情境,引入周期函数的定义,并探究如何用周期性定义证明一个函数是周期函数的方法. 引导学生探究正、余弦函数的周期性,理解函数yAsin(x)和函数yAcos(x)的周期求法.课前自主导学课标解读1.理解周期函数的定义(难点)2知道正弦函数、余弦函数的最小正周期3会求函数ysin(x)和ycos(x)的周期(重点)周期函数的定义【问题导思】单摆运动、时钟的圆周运动、四季变化等,都具有周期性变化的规律,对于正、余弦函
4、数是否也具有周期性?请说明你的理由【提示】由单位圆中的三角函数线可知,正弦、余弦函数值的变化呈现出周期现象每当角增加(或减少)2,所得角的终边与原来角的终边相同,故两角的正弦、余弦函数值也分别相同即有sin(2x)sin x,cos(2x)cos x故正弦函数和余弦函数也具有周期性(1)周期函数的定义一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零的常数T,使得定义域内的每一个x值,都满足f(xT)f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期(2)最小正周期对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期.正、余
5、弦函数的周期【问题导思】4是正弦函数ysin x(xR)的一个周期吗?【提示】是的由sin(4x)sin x恒成立,根据周期函数的定义,可知4是正弦函数ysin x(xR)的一个周期(1)正弦函数、余弦函数的周期正弦函数和余弦函数都是周期函数,2k(kZ且k0)都是它们的周期,它们的最小正周期都是2. (2)函数yAsin(x)和yAcos(x)的周期一般地,函数yAsin(x)和yAcos(x)(其中A,为常数,且A0,0)的周期T.课堂互动探究求三角函数的周期例1求下列函数的周期:(1)y3sin(x);(2)y2cos();(3)y|sin x|.【思路探究】利用公式法或定义法求解即可若
6、0,则先用诱导公式转化为正值,再用公式求周期【自主解答】(1)T4.(2)y2cos()2cos(),T4.(3)由ysin x的周期为2,可猜想y|sin x|的周期应为.验证:|sin(x)|sin x|sin x|,由周期函数的定义知y|sin x|的周期是.规律方法求三角函数的周期,通常有三种方法:(1)定义法(2)公式法对yAsin(x)或yAcos(x)(A,是常数,且A0,0),有T. (3)观察法(图象法)变式训练求下列函数的周期:(1)y3cos(x);(2)y2cos(2x)sin(2x)【解】(1)y3cos(x)中,故T4.(2)y12cos(2x)中,2,故周期T,y
7、2sin(2x)中,2,故周期T,故y2cos(2x)sin(2x)的周期为.函数周期性的判断例2设函数yf(x),xR,若函数yf(x)为偶函数并且图象关于直线xa(a0)对称,求证:函数yf(x)为周期函数【思路探究】要证函数yf(x)是周期函数,就是要找到一个常数T(T0),使得对于任意实数x,都有f(xT)f(x),可根据yf(x)的奇偶性与对称性推导证明【自主解答】由yf(x)的图象关于xa对称得f(2ax)f(x),f(2ax)f(x)f(x)为偶函数,f(x)f(x),f(2ax)f(x),f(x)是以2a为周期的函数规律方法1判定或证明一个函数是周期函数,就是找出一个具体的非零
8、常数T满足f(xT)f(x)对定义域中一切x都成立2若函数f(x)对定义域内的一切实数x满足f(xa)f(x)或f(xa)或f(xa),则f(x)都是周期函数,且2a为它的一个周期,这里a为非零常数互动探究将本例中的条件改为“若函数yf(x)为奇函数并且图象关于直线xa(a0)对称”,求证:f(x)为周期函数【证明】若f(x)为奇函数,则图象关于原点对称,f(x)f(x)由图象关于直线xa(a0)对称得f(2ax)f(x),f(2ax)f(x)f(x),f(4ax)f (2ax)f(x),函数f(x)是以4a为周期的函数函数周期性的综合应用例3设f(x)是以1为一个周期的函数,且当x(1,0)
9、时,f (x)2x1,求f()的值【思路探究】【自主解答】f(x)是以1为一个周期的函数,kZ(k0)也是f(x)的周期f(xk)f(x),故f()f(4),从而f()f()又当x(1,0)时,f(x)2x1,所以 f()f()2()10.规律方法1解答此类题目的关键是利用化归的思想,借助周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上,代入求解便可2如果一个函数是周期函数,倘若要研究该函数的有关性质,结合周期函数的定义可知,完全可以只研究该函数一个周期上的特征,再加以推广便可以得到函数在定义域内的有关性质变式训练设函数f(x)(xR)是以2为周期的函数,且x0,2时,f(x)(x1)2.(1)求f(
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- 1.3.1三角函数的周期性 1.3 三角函数 周期性 教学
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