2022版高考数学一轮复习-课后限时集训-46-立体几何中的最值、翻折、探索性问题.doc
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1、2022版高考数学一轮复习 课后限时集训 46 立体几何中的最值、翻折、探索性问题2022版高考数学一轮复习 课后限时集训 46 立体几何中的最值、翻折、探索性问题年级:姓名:课后限时集训(四十六)立体几何中的最值、翻折、探索性问题建议用时:40分钟1(2018全国卷)如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直,M是上异于C,D的点(1)证明:平面AMD平面BMC;(2)当三棱锥MABC体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值解(1)证明:由题设知,平面CMD平面ABCD,交线为CD.因为BCCD,BC平面ABCD,所以BC平面CMD,所以BCDM.因为M为上异于C
2、,D的点,且DC为直径,所以DMCM.又BCCMC,所以DM平面BMC.而DM平面AMD,故平面AMD平面BMC.(2)以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.当三棱锥MABC体积最大时,M为的中点由题设得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1),(2,1,1),(0,2,0),(2,0,0)设n(x,y,z)是平面MAB的法向量,则即可取n(1,0,2)是平面MCD的法向量,因此cosn,sinn,.所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是.2(2020广东四校联考)如图,已知三棱锥PABC,其展开图如图所示
3、,其中四边形ABCD是边长等于的正方形,ABE和BCF均为正三角形,在三棱锥PABC中:图图(1)证明:平面PAC平面ABC;(2)若M是PA的中点,求二面角PBCM的余弦值解(1)证明:如图,设AC的中点为O,连接BO,PO.由题意,得PAPBPC,PO1,AOBOCO1.因为在PAC中,PAPC,O为AC的中点,所以POAC,因为在POB中,PO1,OB1,PB,所以PO2OB2PB2,所以POOB.因为ACOBO,AC,OB平面ABC,所以PO平面ABC,因为PO平面PAC,所以平面PAC平面ABC.(2)由(1)可知POOB,POAC,OBAC,以OC,OB,OP所在直线分别为x轴,y
4、轴,z轴建立空间直角坐标系,则O(0,0,0),C(1,0,0),B(0,1,0),A(1,0,0),P(0,0,1),M,所以(1,1,0),(1,0,1),.设平面MBC的法向量为m(x1,y1,z1),由得令x11,得y11,z13,即m(1,1,3)为平面MBC的一个法向量设平面PBC的法向量为n(x2,y2,z2),由得令x21,得y21,z21,即n(1,1,1)为平面PBC的一个法向量cosn,m.由图可知,二面角PBCM为锐角,故其余弦值为.3.如图所示,在梯形ABCD中,ABCD,BCD120,四边形ACFE为矩形,且CF平面ABCD,ADCDBCCF.(1)求证:EF平面B
5、CF;(2)点M在线段EF上运动,当点M在什么位置时,平面MAB与平面FCB所成的锐二面角最大,并求此时二面角的余弦值解(1)证明:设ADCDBC1,ABCD,BCD120,AB2,AC2AB2BC22ABBCcos 603,AB2AC2BC2,则BCAC.CF平面ABCD,AC平面ABCD,ACCF,而CFBCC,CF,BC平面BCF,AC平面BCF.EFAC,EF平面BCF.(2)以C为坐标原点,分别以直线CA,CB,CF为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设FM(0),则C(0,0,0),A(,0,0),B(0,1,0),M(,0,1),(,1,0),(,1,1)设n(x,y
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