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2022届高考数学一轮复习 第四章 4.4 函数y＝Asin的图象及简单三角函数模型的应用学案

2022届高考数学一轮复习 第四章 4.4 函数y＝Asin的图象及简单三角函数模型的应用学案

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第四节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及简单三角函数模型的应用

【知识重温】
一、必记3个知识点
1．函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的步骤

2．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点．如下表所示．

x
－

ωx＋φ
⑦____
⑧____
⑨____
____
⑪____
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
3.简谐振动y＝Asin(ωx＋φ)中的有关物理量

y＝Asin(ωx＋φ)
(A＞0，ω＞0)，
x∈[0，＋∞)表
示一个振动量时
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝⑫____
f＝⑬______
＝⑭______
ωx＋φ
φ
二、必明3个易误点
1．函数图象变换要明确，要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象．
2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．
3．由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ|.
【小题热身】
一、判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)函数y＝sin的图象是由y＝sin的图象向右平移个单位得到的．(　　)
(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．(　　)
(3)函数y＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期为T＝.(　　)
(4)把函数y＝sin x的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，所得图象对应的函数解析式为y＝sinx.(　　)
二、教材改编
2．[必修4·P56练习 T3改编]函数y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　　)
A．2，， B．2，，
C．2，， D．2，，－
3．[必修4·P55练习 T2改编]为了得到函数y＝2sin的图象，可以将函数y＝2sin 2x的图象(　　)
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度

三、易错易混
4．函数f(x)＝sin，x∈R的最小正周期为(　　)
A.　　　B．π C．2π　　　D．4π
5．函数y＝cos x|tan x|的图象为(　　)

四、走进高考
6．[2020·天津卷]已知函数f(x)＝sin.给出下列结论：
①f(x)的最小正周期为2π；
②f是f(x)的最大值；
③把函数y＝sin x的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数y＝f(x)的图象．
其中所有正确结论的序号是(　　)
A．① B．①③
C．②③ D．①②③

　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
[自主练透型]
1．[2021·广州模拟]将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y＝sin的图象，则f(x)＝(　　)
A．sin B．sin
C．sin D．sin
2．已知函数y＝cos.
(1)求它的振幅、周期、初相；
(2)用“五点法”作出它在区间[0，π]内的图象；
(3)说明y＝cos的图象可由y＝cos x的图象经过怎样的变换而得到．

悟·技法
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种作法
五点法
设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象
图象变
换法
由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”
[提醒]　平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值.

考点二　由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式[互动讲练型]
[例1]　(1)[2020·全国卷Ⅰ]设函数f(x)＝cos在[－π，π]的图象大致如图，则f(x)的最小正周期为(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

(2)[2021·武昌区高三调研]函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)＝________.
悟·技法
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的解析式的步骤
(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝.
(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝.
(3)求φ，常用方法有
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.
[变式练]——(着眼于举一反三)
1．[2021·郑州测试]

将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象如图所示，则函数f(x)的解析式是(　　)
A．f(x)＝sin(x∈R)
B．f(x)＝sin(x∈R)
C．f(x)＝sin(x∈R)
D．f(x)＝sin(x∈R)
2．[2021·江西省名校高三教学质量检测]

已知函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则函数f(x)的单调递减区间为(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)

考点三　三角函数图象性质的综合应用
[分层深化型]
考向一：三角函数模型的应用
[例2]　

如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　)
A．5　　　　B．6　　　　C．8　　　　D．10

考向二：函数零点(方程根)问题
[例3]　[2021·哈尔滨六中模拟]设函数f(x)＝sin，x∈，若方程f(x)＝a恰好有三个根x1，x2，x3，且x1<x2<x3，则x1＋x2＋x3的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.

考向三：三角函数图象性质的综合
[例4]　[2020·江苏卷]将函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是________________．

悟·技法
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质
(1)奇偶性：φ＝kπ时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数；φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数．
(2)周期性：y＝Asin(ωx＋φ)具有周期性，其最小正周期为T＝.
(3)单调性：根据y＝sin t和t＝ωx＋φ(ω＞0)的单调性来研究，由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)得单调增区间；由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)得单调减区间．
(4)对称性：利用y＝sin x的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求得对称中心坐标．
利用y＝sin x的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)得其对称轴方程.
[同类练]——(着眼于触类旁通)
3.

[2021·四川树德中学模拟]为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖的坐标为P(x，y)．若针尖的初始坐标为P0，当秒针从过点P0的位置(此时t＝0)开始走时，点P的纵坐标y与时间t(单位：秒)的函数关系为(　　)
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin

[变式练]——(着眼于举一反三)
4．[2021·湖北联考]已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)cos(ωx＋φ)＋cos2(ωx＋φ)－的图象相邻的两条对称轴之间的距离为，若将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到奇函数g(x)的图象，则f(x)的一个单调递增区间为(　　)
A.　　　　　B.
C. D.
5．[2020·北京卷]若函数f(x)＝sin(x＋φ)＋cos x的最大值为2，则常数φ的一个取值为________．

[拓展练]——(着眼于迁移应用)
6．[2021·山东潍坊高考模拟考试]若函数f(x)＝2sin(x＋2θ)·cos x(0<θ<)的图象过点(0,2)，则下列说法正确的是(　　)
A．点(，0)是y＝f(x)的一个对称中心
B．直线x＝是y＝f(x)的一条对称轴
C．函数y＝f(x)的最小正周期是2π
D．函数y＝f(x)的值域是[0,2]
7．[2019·全国卷Ⅲ]设函数f(x)＝sin (ω>0)，已知f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点．下述四个结论：
①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点
②f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点
③f(x)在单调递增
④ω的取值范围是
其中所有正确结论的编号是(　　)
A．①④ B．②③
C．①②③ D．①③④

第四节　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及简单三角函数模型的应用
【知识重温】
①|φ|　②　③　④　⑤A　⑥A　⑦0　⑧　⑨π　⑩　⑪2π　⑫
⑬　⑭
【小题热身】
1．答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2．解析：由振幅、频率和初相的定义可知，函数y＝2sin的振幅为2，频率为，初相为.故选A项．
答案：A
3．解析：因为y＝2sin 2x＝2sin，所以将y＝2sin 2x的图象向右平移个单位长度可得y＝2sin的图象．
答案：A
4．解析：最小正周期为T＝＝4π.
答案：D
5．解析：因为|tan x|≥0，
所以当x∈时，cos x≥0，y≥0；
当x∈时，cos x≤0，y≤0.
答案：C
6．解析：f(x)＝sin的最小正周期为2π，①正确；sin＝1＝f为f(x)的最大值，②错误；将y＝sin x的图象上所有点向左平移个单位长度，得到f(x)＝sin的图象，③正确．故选B.
答案：B
课堂考点突破
考点一
1．解析：由题意知，先将函数y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再将所得图象向右平移个单位长度即得到函数f(x)的图象，故f(x)＝sin＝sin.
答案：B
2．解析：(1)函数y＝cos的振幅为1，周期T＝＝π，初相是－.
(2)列表：

2x－
－
0

π

x
0

π
y

1
0
－1
0

描点，连线．

(3)解法一　把y＝cos x的图象上所有的点向右平移个单位长度，得到y＝cos的图象；
再把y＝cos的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到y＝cos的图象．
解法二　将y＝cos x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到y＝cos 2x的图象；
再将y＝cos 2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝cos＝cos的图象．
考点二
例1　解析：(1)解法一　设函数f(x)的最小正周期为T，由题图可得T<π－且>－(－π)，所以<T<，又因为|ω|＝，所以<|ω|<.由题图可知f＝0，且－是函数f(x)的上升零点，所以－＋＝2kπ－(k∈Z)，所以－ω＝2k－(k∈Z)，所以|ω|＝|3k－1|(k∈Z)．又因为<|ω|<，所以k＝0，所以|ω|＝，所以T＝＝＝.故选C.
解法二(五点法)　由函数f(x)的图象知，ω×＋＝－，解得ω＝，所以函数f(x)的最小正周期为，故选C.
(2)结合题图知函数f(x)的最小正周期T＝4×＝π，由T＝π得ω＝2，结合题图知A＝，所以f(x)＝sin(2x＋φ)，因为在f(x)的图象上，所以0＝sin[2×＋φ]，所以φ－＝kπ(k∈Z)，因为0<φ<，所以φ＝，所以f(x)＝sin.
答案：(1)C　(2)sin
变式练
1．解析：依题意，设g(x)＝sin(ωx＋θ)，其中ω>0，|θ|<，则有T＝＝4＝π，ω＝2，g＝sin＝1，则θ＝，因此g(x)＝sin，f(x)＝g＝sin＝sin，故选A.
答案：A
2．解析：通解　由题图知，函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期T＝π，所以ω＝2.将点代入f(x)＝cos(2x＋φ)，得1＝cos(2×＋φ)，得＋φ＝2kπ，k∈Z，则φ＝2kπ－，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝－，所以f(x)＝cos.令2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
优解　由题图知，函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期T＝π，故排除A，C.又函数f(x)在上单调递减，所以函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的单调递减区间为(k∈Z)．
答案：D
考点三
例2　解析：由图象可知，ymin＝2，因为ymin＝－3＋k，所以－3＋k＝2，解得k＝5，所以这段时间水深的最大值是ymax＝3＋k＝3＋5＝8.
答案：C
例3　解析：由题意x∈，则2x＋∈，画出函数的大致图象，如图所示，

由图得，当≤a<1时，方程f(x)＝a恰好有三个根，由2x＋＝得x＝，由2x＋＝得x＝，由图知，点(x1,0)与点(x2,0)关于直线x＝对称，点(x2,0)与点(x3,0)关于直线x＝对称，∴x1＋x2＝，π≤x3<，则≤x1＋x2＋x3<，即x1＋x2＋x3的取值范围是，故选B.
答案：B
例4　解析：将函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度，得到y＝3sin＝3sin的图象，由2x－＝＋kπ，k∈Z，得对称轴方程为x＝＋kπ，k∈Z，其中与y轴最近的对称轴的方程为x＝－.
答案：x＝－
同类练
3．解析：t时刻，秒针针尖经过的圆弧对应的角度为×2π＝，
以x轴正半轴为始边，P(x，y)所在射线为终边，得P0对应的角度为，
则P(x，y)对应的角度为－，
由P0可知P(x，y)在单位圆上，所以t时刻P(x，y)的纵坐标y＝sin，故选C.
秒杀解　t＝0时，纵坐标y＝，排除BD；
t＝10时，观察图形，此时纵坐标y≠1，排除A.选C.
答案：C
变式练
4．解析：f(x)＝sin(2ωx＋2φ)＋cos(2ωx＋2φ)＝sin，∵函数f(x)的图象相邻的两条对称轴之间的距离为，∴×＝，
∴ω＝1，将f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到奇函数g(x)的图象，
∴g(x)＝sin＝sin，2φ－＝kπ(k∈Z)，∴φ＝＋(k∈Z)，又0≤φ≤，∴φ＝，∴f(x)＝sin，
令2x＋∈(k∈Z)，得x∈(k∈Z)，
取k＝0，得x∈，故选C.
答案：C
5．解析：
　易知当y＝sin(x＋φ)，y＝cos x同时取得最大值1时，函数f(x)＝sin(x＋φ)＋cos x取得最大值2，故sin(x＋φ)＝cos x，则φ＝＋2kπ，k∈Z，故常数φ的一个取值为.
答案：
拓展练
6．解析：由题意，函数f(x)＝2sin(x＋2θ)·cos x(0<θ<)的图象过点(0,2)，可得2sin 2θ＝2，即sin 2θ＝1，∵0<θ<，∴θ＝，故f(x)＝2sin(x＋2θ)cos x＝2cos2x＝cos 2x＋1，当x＝时，f(x)＝1，故A，B都不正确；f(x)的最小正周期为＝π，故C不正确；显然，f(x)＝cos 2x＋1∈[0,2]，故D正确，故选D.
答案：D
7．解析：如图，根据题意知，xA≤2π<xB，根据图象可知函数f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点，所以①正确；但可能会有3个极小值点，所以②错误；根据xA≤2π<xB，有≤2π<，得≤ω<，所以④正确；当x∈时，<ωx＋<＋，因为≤ω<，所以＋<<，所以函数f(x)在单调递增，所以③正确．

答案：D