2022届高考数学一轮复习-课后限时集训垂直关系北师大版.doc

2022届高考数学一轮复习 课后限时集训垂直关系北师大版

2022届高考数学一轮复习 课后限时集训垂直关系北师大版

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课后限时集训(四十四)　垂直关系
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一、选择题
1．已知直线l⊥平面α，直线m∥平面β，若α⊥β，则下列结论正确的是
(　　)
A．l∥β或lβ B．l∥m
C．m⊥α D．l⊥m
A　[直线l⊥平面α，α⊥β，则l∥β或lβ，A正确，故选A.]
2．已知直线m，n和平面α，β，则下列四个命题中正确的是(　　)
A．若α⊥β，mβ，则m⊥α
B．若m⊥α，n∥α，则m⊥n
C．若m∥α，n∥m，则n∥α
D．若m∥α，m∥β，则α∥β
B　[对于A，若α⊥β，mβ，则当m与α，β的交线垂直时才有m⊥α，故A错；对于B，若n∥α，则α内存在直线a，使得a∥n，∵m⊥α，∴m⊥a，∴m⊥n，故B正确；对于C，当nα时，显然结论错误，故C错；对于D，若α∩β＝l，则当m∥l时，结论不成立，故D错．故选B.]
3.如图，在四面体D­ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是(　　)
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
C　[因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.]
4．(2020·南宁模拟)在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PA＝AB＝2，则直线PB与平面PAC所成角为(　　)
A. B.
C. D.
A　[连接BD，交AC于点O.因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，所以BD⊥AC，BD⊥PA.又因为PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，故BO⊥平面PAC.连接OP，则∠BPO即为直线PB与平面PAC所成角．又因为PA＝AB＝2，所以PB＝2，BO＝.所以sin∠BPO＝＝，所以∠BPO＝.故选A.]
5．(2017·全国卷Ⅲ)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则
(　　)
A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD
C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC
C　[如图，∵A1E在平面ABCD上的投影为AE，而AE不与AC，BD垂直，
∴选项B，D错误；
∵A1E在平面BCC1B1上的投影为B1C，且B1C⊥BC1，
∴A1E⊥BC1，故选项C正确；
(证明：由条件易知，BC1⊥B1C，BC1⊥CE，又CE∩B1C＝C，
∴BC1⊥平面CEA1B1.又A1E平面CEA1B1，∴A1E⊥BC1.)
∵A1E在平面DCC1D1上的投影为D1E，而D1E不与DC1垂直，故选项A错误．
故选C.]
6．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A­BCD，则在三棱锥A­BCD中，下列结论正确的是(　　)

A．平面ABD⊥平面ABC
B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC
D．平面ADC⊥平面ABC
D　[∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∴BD⊥CD.
又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，
故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB.
又AD⊥AB，AD∩CD＝D，AD平面ADC，CD平面ADC，故AB⊥平面ADC.
又AB平面ABC，
∴平面ADC⊥平面ABC.]
二、填空题
7.如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，若该长方体的体积为8，则直线AC1与平面BB1C1C所成的角为________．
30°　[连接BC1(图略)，由AB⊥平面BB1C1C知
∠AC1B就是直线AC1与平面BB1C1C所成的角．
由2×2×AA1＝8得AA1＝2，
∴BC1＝＝2，
在Rt△AC1B中，tan∠AC1B＝＝＝，
∴∠AC1B＝30°.]
8.四面体P­ABC中，PA＝PB＝PC，底面△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC，O为AB中点，请从以下平面中选出两个相互垂直的平面________．(只填序号)
①平面PAB；②平面ABC；③平面PAC；④平面PBC；⑤平面POC.
②⑤(答案不唯一)　[∵四面体P­ABC中，PA＝PB＝PC，
底面△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC，O为AB中点， ∴CO⊥AB，PO⊥AB，CO∩PO＝O，
∴AB⊥平面POC.∵AB平面ABC, ∴平面POC⊥平面ABC，
∴两个相互垂直的平面为②⑤.]
9．在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则点A1到平面AB1D1的距离是________．
　[如图，△AB1D1中，AB1＝AD1＝，B1D1＝，
∴△AB1D1的边B1D1上的高为＝，
∴S△AB1D1＝××＝，
设A1到平面AB1D1的距离为h；则有S△AB1D1×h＝S△A1B1D1×AA1，
即h＝×2，解得h＝.]
三、解答题
10.如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
证明：(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE.
[证明]　(1)在四棱锥P­ABCD中，
∵PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，
∴PA⊥CD.
又∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，
PA，AC平面PAC，
∴CD⊥平面PAC.
而AE平面PAC，∴CD⊥AE.
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.
由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，
PC，CD平面PCD，
∴AE⊥平面PCD，
而PD平面PCD，
∴AE⊥PD.
∵PA⊥底面ABCD，AB平面ABCD，
∴PA⊥AB.
又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，
∴AB⊥平面PAD，
而PD平面PAD，
∴AB⊥PD.
又∵AB∩AE＝A，
AB，AE平面ABE，
∴PD⊥平面ABE.
11．(2020·茂名一模)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，点D是AB的中点，BC＝AC，AB＝2DC＝2，AA1＝.
(1)求证：平面A1DC⊥平面ABB1A1；
(2)求点A到平面A1DC的距离．
[解]　(1)证明：∵在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，
点D是AB的中点，BC＝AC，CD平面ABC，
∴CD⊥AB，CD⊥AA1，
∵AB∩AA1＝A，∴CD⊥平面ABB1A1，
∵CD平面A1DC，∴平面A1DC⊥平面ABB1A1.
(2)点D是AB的中点，BC＝AC，AB＝2DC＝2，AA1＝.
设点A到平面A1DC的距离为d，
∵VA1­ACD＝VA­A1CD，
∴×S△ACD×AA1＝×S△DCA1×d，
∴××1×1×＝××1×2×d，
解得d＝，
∴点A到平面A1DC的距离为.

1．(2020·武汉模拟)如图所示，在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在平面ABC上的射影H必在(　　)
A．直线AB上
B．直线BC上
C．直线AC上
D．△ABC的内部
A　[连接AC1(图略)，因为AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，所以AC⊥平面ABC1，又AC平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC，所以点C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上，故选A.]
2．已知圆锥的顶点为P，母线PA，PB所成角的余弦值为，PA与圆锥底面所成角为60°，若△PAB的面积为，则该圆锥的体积为________．
π　[作示意图如图所示，设底面半径为r，PA与圆锥底面所成角为60°，则∠PAO＝60°，
则PO＝r，PA＝PB＝2r，
又PA，PB所成角的余弦值为，
则sin∠APB＝＝，
则S△PAB＝PA·PB·sin∠APB
＝·2r·2r·＝，解得r＝，
故圆锥的体积为·π·2·＝π.]

3．(2020·郑州模拟)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面四边形ABCD是菱形，点E在线段PC上，PA∥平面EBD.
(1)证明：点E为线段PC中点；
(2)已知PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，点P到平面EBD的距离为1，四棱锥P­ABCD的体积为2，求PA.
[解]　(1)证明：连接AC，与BD相交于点O，连接EO，
则经过PA的平面PAC与平面EBD交线为EO.
因为PA∥平面EBD，所以PA∥EO.
因为四边形ABCD是菱形，所以O为AC的中点，
所以EO是△PAC中位线，于是E为线段PC中点．
(2)因为PA∥平面EBD，
所以点A到平面EBD的距离等于点P到平面EBD的距离等于1.
因为PA⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD，
所以平面EBD⊥平面ABCD，
平面EBD∩平面ABCD＝BD.因为AO⊥BD，
所以AO⊥面EBD，因此AO＝1.
因为∠ABC＝60°，所以四边形ABCD是边长为2的菱形，面积为2×2×sin 60°＝2，
所以四棱锥P­ABCD的体积为
VP­ABCD＝·2·PA，
由·2·PA＝2，得PA＝3.

1．(2019·全国卷Ⅰ)已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为________．
　[如图，过点P作PO⊥平面ABC于O，则PO为P到平面ABC的距离．
再过O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，
连接PC，PE，PF，则PE⊥AC，PF⊥BC.
又PE＝PF＝，所以OE＝OF，
所以CO为∠ACB的平分线，
即∠ACO＝45°.
在Rt△PEC中，PC＝2，PE＝，所以CE＝1，
所以OE＝1，所以PO＝＝＝.]
2.(2020·浙江省诸暨中学月考)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．
如图，在阳马P­ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE.
(1)证明：PB⊥平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由；
(2)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值．
[解]　(1)证明：因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，
由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD＝D，
所以BC⊥平面PCD.而DE平面PCD，所以BC⊥DE.
又因为PD＝CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC.
而PC∩BC＝C，所以DE⊥平面PBC.而PB平面PBC，所以PB⊥DE.
又PB⊥EF，DE∩EF＝E，所以PB⊥平面DEF.
由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB.
(2)如图，在面PBC内，延长BC与FE交于点G，则DG是平面DEF与平面ABCD 的交线．由(1)知，PB⊥平面DEF，所以PB⊥DG.
又因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DG.而PD∩PB＝P，所以DG⊥平面PBD.
故∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，
设PD＝DC＝1，BC＝λ，有BD＝，
在Rt△PDB中，由DF⊥PB, 得
∠DPF＝∠FDB＝，
则tan ＝tan∠DPF＝＝＝，解得λ＝.
所以＝＝.
故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，＝.