上海高中数学三角函数大题压轴题练习.pdf

三角函数大题压轴题练习1已知函数()cos(2)2sin()sin()344f xxxx（）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程()f x（）求函数在区间上的值域()f x,12 2解：（解：（1）()cos(2)2sin()sin()344f xxxx 13cos2sin2(sincos)(sincos)22xxxxxx 2213cos2sin2sincos22xxxx 13cos2sin2cos222xxx sin(2)6x 2T2周周由2(),()6223kxkkZxkZ周函数图象的对称轴方程为()3xkkZ（2）5,2,12 2636xx 因为在区间上单调递增，在区间上单调()sin(2)6f xx,12 3,3 2 递减，所以 当时，取最大值 13x()f x又 ，当时，取最小值31()()12222ff 12x()f x32所以 函数 在区间上的值域为()f x,12 23,122已知函数（）的最小正周期为2()sin3sinsin2f xxxx0（）求的值；（）求函数在区间上的取值范围()f x203，解：（）1 cos23()sin222xf xx311sin2cos2222xx1sin 262x因为函数的最小正周期为，且，()f x0所以，解得221（）由（）得1()sin 262f xx因为，203x所以，72666x所以，1sin 2126x因此，即的取值范围为130sin 2622x()f x302，3.已知向量 m=(sinA,cosA),n=，mn1，且 A 为锐角.(3,1)（）求角 A 的大小；（）求函数的值域.()cos24cossin()f xxAx xR解：（）由题意得 3sincos1,m nAAA12sin()1,sin().662AA由 A 为锐角得,663AA（）由（）知1cos,2A 所以2213()cos22sin1 2sin2sin2(sin).22f xxxxsx 因为 xR，所以，因此，当时，f(x)有最大值.sin1,1x 1sin2x 32当时，有最小值-3,所以所求函数的值域是sin1x ()f x()f x332，4.已知函数，的最大值是 1，其图像经过点()sin()(0 0)f xAxA，xR（1）求的解析式；（2）已知，且，13 2M，()f x02，3()5f，求的值12()13f()f【解析】（1）依题意有，则，将点代入得1A()sin()f xx1(,)3 2M，而，故1sin()3205362；()sin()cos2f xxx（2）依题意有，而，312cos,cos513,(0,)2，2234125sin1(),sin1()551313。3124556()cos()coscossinsin51351365f5.已知函数117(),()cos(sin)sin(cos),(,).112tf tg xx fxx fx xt（）将函数化简成（，）的形式；()g xsin()AxB0A 00,2)（）求函数的值域.()g x解.本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力.（满分 12 分）解：（）1 sin1 cos()cossin1 sin1 cosxxg xxxxxAA2222(1 sin)(1 cos)cossincossinxxxxxxAA1 sin1 coscossin.cossinxxxxxxAA17,coscos,sinsin,12xxxxx 1 sin1 cos()cossincossinxxg xxxxxAAsincos2xx2sin2.4x（）由得1712x周周55.443x周在上为减函数，在上为增函数，sint53,4235,23又（当），5535sinsin,sinsin()sin34244x周周17,2x 即21sin()222sin()23424xx 周周周周故 g(x)的值域为22,3.6（本小题满分 12 分）在中，角所对应的边分别为，ABC,A B C,a b c2 3a tantan4,22ABC，求及2sincossinBCA,A B,b c解：由得tantan422ABCcottan422CC cossin224sincos22CCCC14sincos22CC，又1sin2C(0,)C566CC，或由得 2sincossinBCA2sincossin()BBBC即 sin()0BCBC6BC2()3ABC由正弦定理得sinsinsinabcABC1sin22 32sin32BbcaA7.在中,内角对边的边长分别是.已知.ABC,A B C,a b c2,3cC若的面积等于,求;ABC3,a b若,求的面积.sinsin()2sin2CBAAABC说明：本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力满分 12 分解析：（）由余弦定理及已知条件得，224abab又因为的面积等于，所以，得4 分ABC31sin32abC 4ab 联立方程组解得，6 分2244ababab，2a 2b（）由题意得，sin()sin()4sincosBABAAA即，8 分sincos2sincosBAAA当时，cos0A 2A6B4 33a 2 33b 当时，得，由正弦定理得，cos0A sin2sinBA2ba联立方程组解得，2242ababba，2 33a 4 33b 所以的面积12 分ABC12 3sin23SabC1.已知函数.()sin()sin()cos(,)66f xxxxa aR a为常数()求函数的最小正周期；()f x()若函数在-，上的最大值与最小值之和为，求实数的值.()f x223a解：（）()2sin coscos6f xxxa3sincosxxa 5 分2sin6xa函数的最小正周期7 分()f x2T()，,2 2x 2363x9 分 min32fxfa 11 分 max23fxfa由题意，有(3)(2)3aa 12 分31a 2.（本小题 12 分）已知函数.21)4(,23)0(,23cossincos2)(2ffxxbxaxf且（1）求的最小正周期；（2）求的单调增区间；)(xf)(xf解：（1）由 得 3 分21)4(23)0(ff123ba 6 分)32sin(2sin212cos2323cossincos3)(2xxxxxxxf故最小正周期T（2）由)(223222Zkkxk得)(12125Zkkxk故的单调增区间为 12 分)(xf)(12,125Zkkk3已知，将的图象按向量平移后，xxaxxfcossin34cos4)(2)(xf)2,4(b图象关于直线对称12x（）求实数的值，并求取得最大值时的集合；a)(xfx（）求的单调递增区间)(xf解：（），将的图象按向量平移22cos22sin32)(xxaxf)(xf)2,4(b后的解析式为32)4()(xfxgxax2cos322sin2分的图象关于直线对称，)(xg12x有，即，解得 5 分)6()0(ggaa33321a则 62)62sin(422cos22sin32)(xxxxf分当，即时，取得最大值 27 分2262kx3 kx)(xf因此，取得最大值时的集合是8 分)(xfx,3Zkkxx（）由，解得226222kxk36kxk因此，的单调递增区间是12)(xf3,6kk)(Zk 分4.已知向量()和=()，2 msin,cosncos,sin2(1)求的最大值；(2)当=时，求的值|nm|nm528cos284解：(1)(2 分)cossin2,cossinmn=22cossin2(cossin)mn=(4 分)42 2(cossin)44cos42 1 cos4，2，149445)4cos(max=2 (6 分)|nm2(2)由已知,得 (8 分)8 2,5mn7cos425又 (10 分)2cos2cos()1428216cos()2825，2，(12 分)8982854cos285。5.。已知 A、B、C 的坐标分别为 A（3，0），B（0，3），C（），sin,cos).23,2(（I）若求角的值；|,|BCAC（II）若的值.tan12sinsin2,12求BCAC5、解：（1），)3sin,(cos),sin,3(cosBCAC，cos610sin)3(cos|22 AC.22|cos(sin3)106sinBC 由得.又.|BCAC cossin45),23,2(（2）由.1)3(sinsincos)3(cos,1得BCAC.32cossin又.cossin2cossin1cossin2sin2tan12sinsin222由式两边平方得,94cossin21.95tan12sinsin2.95cossin226.在ABC 中，a,b,c 分别为角 A，B，C 的对边，设，22222()()4f xa xabxc（1）若，且 BC=，求角 C.（2）若，求角 C 的取值范围.(1)0f3(2)0f6解；（1）由 f（1）=0，得 a2a2+b24c2=0，b=2c（1 分）.又由正弦定理，得 b=2RsinB，c=2RsinC,将其代入上式，得 sinB=2sinC（2分）BC=，B=+C，将其代入上式，得 sin（+C）=2sinC（3 分）333sin（）cosC+cos sinC=2sinC，整理得，（4 分）33CCcossin3tanC=（5 分）33角 C 是三角形的内角，C=（6 分）6（2）f（2）=0，4a22a2+2b24c2=0，即 a2+b22c2=0（7 分）由余弦定理，得 cosC=（8 分）abcba2222=abbaba222222cosC=（当且仅当 a=b 时取等号）（10 分）abba4222142ababcosC，21C 是锐角，又余弦函数在（0，）上递减，.0C（12 分）237 A、B、C 为ABC 的三内角，且其对边分别为 a、b、c.若(cos，sin)，mA2A2(cos，sin)，且.（1）求 A；nA2A2mn12 （2）若 a2，三角形面积 S，求 b+c 的值.33 7.解：解：（1）(cos，sin)，(cos，sin)，且，mA2A2nA2A2mn12cos2sin2，2 分A2A212即cosA，又 A(0，)，A5 分1223 （2）SABC bcsinA bcsin，bc4 7 分1212233 又由余弦定理得：a2=b2+c22bccos120b2+c2+bc 10 分16(b+c)2，故b+c4.12 分8.已知向量=（sinB，1cosB)，且与向量=(2，0)所成角为，其中 A,B,m n 3C 是ABC 的内角 (1)求角的大小；(2)求 sinA+sinC 的取值范围(本题满分 12 分)8 8.解：（1）=（sinB，1-cosB),与向量=（2，0）所成角为m n,33 分,3sincos1BBtan 6 分,3,32,32032CABBB即又（2）：由（1）可得)3sin(cos23sin21)3sin(sinsinsinAAAAACA8 分30 A10 分3233 Asin(A+)(,1,sinA+sinC(,1.3当且仅当 12 分1sinsin,6CACA周9.(本题满分 12 分)在ABC 中，已知(a+b+c)(a+bc)=3ab，且 2cosAsinB=sinC，求证：ABC 为等边三角形9.解 由已知得：，即22()3abcab222abcab即C=60(1)2221cos22abcCab又C=180(A+B)sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB由已知：sinC=2cosAsinBsinAcosBcosAsinB=0 即 sin(AB)=0A、B 为三角形内角，AB(180，180)AB=0 即 A=B(2)由(1)(2)可知：ABC 为等边三角形10.（12 分）已知中,边 AB、BC 中点分别ABCCBCABABCACABAB)(2为 D、E（1）判断的形状ABC （2）若，求0 AECDB2sin10 解：（1）由已知化简得CBCABCACABAB)(即得；为直角三角形-6 分0CBCAABC（2）设 A(a,0)B(0,b)则 E(0,),D()2b2,2basinB=-12 分04222baAECD3322baa3222sinB11已知ABC 内接于单位圆，且(1tanA)(1tanB)2，（1）求证：内角 C 为定值；（2）求ABC 面积的最大值.11.本题考查正切和角公式，正弦的和（差）角公式，三角形内角和定理、正弦定理，三角函数最值等知识.（1）证明：由(1tanA)(1tanB)2tanAtanB1tanAtanBtan（AB）1.3/A、B 为ABC 内角，AB.则 C（定值）.6/443（2）解：已知ABC 内接于单位圆，ABC 外接圆半径 R=1.由正弦定理得：，.8/2sin2CRcAasin2Bbsin2则ABC 面积 SBacsin21BAsinsin2BB sin)4sin(2 BBBsin)sin(cosBBB2sinsincos 10/)2cos1(212sin21BB21)42sin(22B 0B，.443424B 故 当时，ABC 面积 S 的最大值为.12/8B212 12.设函数 f（x）=mn，其中向量 m=（2cosx,1）,n=（cosx,sin2x），xR.3（1）求 f（x）的最小正周期；（2）在ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，f（A）=2，a=，b+c=33（bc），求 b、c 的长.12（1）f(x)=2cos x+sin2x=1+2sin(2x+f(x)的最小正周期为.23)6 （2）f(A)=2，即 1+2sin(2A=2，sin(2A+=)6)6212A+2A+=.666136653 A由 cosA=即(b+c)-a=3bc,21,2222bcacb22bc=2.又 b+c=3(bc),12cb13.已知ABC 的面积为 1，tanB=，tanC=2，求ABC 的边长及 tanA2113tanA=tan（B+C）=tan（B+C），=2 分4311221tantan1tantanCBCBtanB=，0B，sinB=，cosB=，21255552又 tanC=2，C，sinC=，cosC=255255sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=（）+=6 分555555255253a=，8 分,sinsinBbAabBAb53sinsin又 SABC=absinC=b2=1，212153552解得 b=，于是 a=，10 分3153c=12 分3152sinsinACa14（12 分）已知函数)4sin(sin)2sin(22cos1)(2xaxxxxf(1)求函数 y=f（x）的单调递增区间；(2)若函数 y=f（x）的最小值为，试确定常数 a 的值2414（12 分）解：)4sin(sin)2sin(21cos21)(22xaxxxxf)4sin(cossin)4sin(sincos2cos2222xaxxxaxxx3 分)4sin()2()4sin()4sin(222xaxax6 分（1）由 x+，（kZ）得42k22k2x，（kZ）2k342k4 sin()cos02xx()2xkkz 函数 y=f（x）的单调递增区间是，,(，（kZ）9 分2k342k22k22k4（2）由已知得，a=2 12 分2(2)24a