2022版高考数学一轮复习-练案第八章-解析几何-第四讲-直线与圆、圆与圆的位置关系练习新人教版.doc

2022版高考数学一轮复习 练案第八章 解析几何 第四讲 直线与圆、圆与圆的位置关系练习新人教版

2022版高考数学一轮复习 练案第八章 解析几何 第四讲 直线与圆、圆与圆的位置关系练习新人教版

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第四讲　直线与圆、圆与圆的位置关系
A组基础巩固
一、选择题
1．(2021·辽宁葫芦岛模拟)“k＝0”是“直线y＝kx－与圆x2＋y2＝2相切”的(　C　)
A．充分而不必要条件　　 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件　　 D．既不充分也不必要条件
[解析]　直线与圆相切⇔＝⇔k＝0.
2．(2021·河南八市质检)过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为(　B　)
A．2x＋y－5＝0　　 B．2x＋y－7＝0
C．x－2y－5＝0　　 D．x－2y－7＝0
[解析]　由题意，过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则点(3,1)在圆上，圆心与切点连线的斜率为k＝＝，∴切线的斜率为－2，则圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0，选B．
3．(2020·山东济宁期末)圆C1：x2＋(y－1)2＝1与圆C2：(x＋4)2＋(y－1)2＝4的公切线的条数为(　A　)
A．4　　 B．3　　　
C．2　　 D．1
[解析]　两圆的圆心距|C1C2|＝4>2＋1，∴两圆外离，两圆的公切线有4条．
4．(2021·河北衡水武邑中学月考)直线3x－4y＋3＝0与圆x2＋y2＝1相交所截的弦长为(　B　)
A．　　 B．　　　
C．2　　 D．3
[解析]　圆x2＋y2＝1的圆心(0,0)，半径为1，因为圆心到直线3x－4y＋3＝0的距离为，则利用勾股定理可知所求的弦长为2＝，故选B．
5．(2021·河北沧州段考)已知直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝(　B　)
A．2　　 B．6　　　
C．4　　 D．2
[解析]　∵圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝4，∴圆心为C(2,1)，半径为2.由题意可得，直线l：x＋ay－1＝0经过圆C的圆心(2,1)，故有2＋a－1＝0，∴a＝－1，点A(－4，－1)．∵|AC|＝＝2，|CB|＝R＝2，∴切线的长|AB|＝＝6，故选B．
6．(理)(2021·河南中原名校质量测评)直线l：y＝kx＋4与圆O：x2＋y2＝4交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1x2＋y1y2＝0，则k2的值(　B　)
A．3　　 B．7　　　
C．8　　 D．13
(文)(2021·河北衡水中学期中)已知直线ax＋y－1＝0与圆C：(x－1)2＋(y＋a)2＝1相交于A，B两点，且△ABC为等腰三角形，则实数a的值为(　C　)
A．或－1　　 B．－1
C．1或－1　　 D．1
[解析]　(理)由条件可得x1x2≠0，圆O的圆心为(0,0)，半径为2，由x1x2＋y1y2＝0可得·＝－1，故OA⊥OB，故△AOB为等腰直角三角形，故点O到直线l的距离为，即＝，解得k2＝7.故选B．
(文)由题意知圆心C(1，－a)到直线ax＋y－1＝0的距离为，即＝，解得a＝±1，故选C．
7．(2021·河北唐山一中调研)若直线y＝k(x－2)＋4与曲线y＝有两个交点，则k的取值范围是(　C　)
A．[1，＋∞)　　 B．
C．　　 D．(－∞，－1]
[解析]　直线y＝k(x－2)＋4，
当x＝2时，y＝4，可得此直线恒过A(2,4)，
曲线y＝为圆心在坐标原点，半径为2的半圆，根据题意作出相应的图形，如图所示：

当直线y＝ k(x－2)＋4与半圆相切(切点在第二象限)时，圆心到直线的距离d＝r，
∴＝2，即4k2－16k＋16＝4＋4k2，
解得：k＝，当直线y＝k(x－2)＋4过点C时，
将x＝－2，y＝0代入直线方程得：－4k＋4＝0，
解得：k＝1，则直线与曲线有2个交点时k的范围为，故选C．
8．(2021·四川南充模拟)若直线l：y＝kx＋1被圆C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦最短，则直线l的方程是(　D　)
A．x＝0　　 B．y＝1
C．x＋y－1＝0　　 D．x－y＋1＝0
[解析]　依题意，直线l：y＝kx＋1过定点P(0,1)．圆C：x2＋y2－2x－3＝0化为标准方程为(x－1)2＋y2＝4.故圆心为C(1,0)，半径为r＝2.则易知定点P(0,1)在圆内．由圆的性质可知当PC⊥l时，此时直线l：y＝kx＋1被圆C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦最短．因为kPC＝＝－1，所以直线l的斜率k＝1，即直线l的方程是x－y＋1＝0.
9．直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2，则直线的倾斜角可能为(　A　)
A．或　　 B．或
C．　　 D．
[解析]　由题意可知，圆心P(2,3)，半径r＝2，∴圆心P到直线y＝kx＋3的距离d＝，由d2＋2＝r2，可得＋3＝4，解得k＝±.设直线的倾斜角为α，则tan α＝±，又α∈[0，π)，∴α＝或.
10．(2021·河南九师联盟联考)倾斜角为45°的直线l将圆C：x2＋y2＝4分割成弧长的比值为的两段弧，则直线l在y轴上的截距为(　D　)
A．1　　 B．　　　
C．±1　　 D．±
[解析]　设原点为O，直线l与圆C交于点A、B，由题意，得∠AOB＝120°.过O作OH⊥AB于点H，则|OH|＝1；设直线l的方程为y＝x＋b，由|OH|＝1，得＝1，解得b＝±，所以直线l在y轴上的截距为±，故选D．
11．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－4x＝0.若直线y＝k(x＋1)上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的值可以是(　B　)
A．－3　　 B．2　　　
C．3　　 D．4
[解析]　x2＋y2－4x＝0，∴(x－2)2＋y2＝4，∵过P所作的圆的两条切线相互垂直，所以P、圆心C、两切点构成正方形，PC＝2，由题意知，直线y＝k(x＋1)与以C为圆心，以2为半径的圆(x－2)2＋y2＝8相交，∴d＝≤2，即－2≤k≤2，故选B．
二、填空题
12．(2021·福建厦门质检)过点(1，)的直线l被圆x2＋y2＝8截得的弦长为4，则l的方程为　x＋y－4＝0　.
[解析]　当直线l的斜率不存在时，显然不满足题意，
当直线l斜率存在时，
设直线l的方程为y－＝k(x－1)，
即kx－y－k＋＝0，
∵4＝2⇒d＝2，
∴2＝⇒k＝－，
∴l的方程为x＋y－4＝0.
13．自圆外一点P作圆x2＋y2＝1的两条切线PM，PN(M，N为切点)，若∠MPN＝90°，则动点P的轨迹方程是__x2＋y2＝2__.
[解析]　由题意知四边形OMPN是正方形，所以|OP|＝，于是点P的轨迹是圆心在原点，半径为的圆，其方程是x2＋y2＝2.
14．(2020·高考浙江)已知直线y＝kx＋b(k>0)与圆x2＋y2＝1和圆(x－ 4)2＋y2＝1均相切，则k＝　　，b＝　－　.
[解析]　解法一：由直线与圆相切的充要条件知
⇔⇔
解法二：如图所示．

由图易知，直线y＝kx＋b经过点(2,0)，且倾斜角为30°，从而k＝，且0＝＋b⇔b＝－.
三、解答题
15．一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为2，求此圆的方程．
[解析]　解法一：∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，
且与y轴相切，
∴设所求圆的圆心为C (3a，a)，半径为r＝3|a|.
又圆在直线y＝x上截得的弦长为2，
圆心C(3a，a)到直线y＝x的距离为d＝.
∴有d2＋()2＝r2.
即2a2＋7＝9a2，∴a＝±1.
故所求圆的方程为
(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
解法二：设所求的圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则圆心(a，b)到直线x－y＝0的距离为.
∴r2＝2＋()2.
即2r2＝(a－b)2＋14.①
由于所求的圆与y轴相切，∴r2＝a2.②
又因为所求圆心在直线x－3y＝0上，
∴a－3b＝0.③
联立①②③，解得
a＝3，b＝1，r2＝9或a＝－3，b＝－1，r2＝9.
故所求的圆的方程是
(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
解法三：设所求的圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
圆心为，半径为.
令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0.
由圆与y轴相切，得Δ＝0，即E2＝4F.④
又圆心到直线x－y＝0的距离为，由已知，得2＋()2＝r2，
即(D－E)2＋56＝2(D2＋E2－4F)．⑤
又圆心在直线x－3y＝0上，
∴D－3E＝0.⑥
联立④⑤⑥，解得
D＝－6，E＝－2，F＝1或D＝6，E＝2，F＝1.
故所求圆的方程是x2＋y2－6x－2y＋1＝0
或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0即(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
B组能力提升
1．(2021·河南中原名校联盟第三次联考)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2，则直线l的方程为(　D　)
A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0
B．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0
C．4x－3y＋9＝0或x＝0
D．3x＋4y－12＝0或x＝0
[解析]　圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4，由|AB|＝2知，圆心(1,1)到直线l的距离为1，
当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x＝0时，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－3＝k(x－0)，即kx－y＋3＝0，由＝1得k＝－，此时直线l的方程为3x＋4y－12＝0，故选D．
2．(理)(2021·河南名校联盟质检)已知圆C：(x－)2＋(y－1)2＝1和两点A(－t,0)，B(t,0)(t＞0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则t的取值范围是(　D　)
A．(0,2]　　 B．[1,2]
C．[2,3]　　 D．[1,3]
(文)(2021·四川达州诊断)若圆C：x2＋y2＝5－m与圆E：(x－3)2＋(y－4)2＝16有三条公切线，则m的值为(　C　)
A．2　　 B．　　　
C．4　　 D．6
[解析]　(理)满足∠APB＝90°的点P的轨迹为x2＋y2＝t2，所以圆x2＋y2＝t2与圆C有公共点，所以|t－1|≤≤t＋1，解得1≤t≤3.故选D．
(文)由题意知两圆外切，∴＝4＋，解得m＝4，故选C．
3．(2021·湖北武汉襄阳荆门宜昌四地六校考试联盟联考)已知圆O：x2＋y2＝1上恰有两个点到直线l：y＝kx＋1的距离为，则直线l的倾斜角的取值范围为(　B　)
A．∪　　 B．∪
C．∪　　 D．∪
[解析]　显然直线l过⊙O上定点(0,1)，由题意可知圆心到直线l的距离大于，即>，解得－<k<，∴直线l的倾斜角α∈∪，故选B．
4．(理)(2021·山西适应性考试)从直线l：3x＋4y＝10上的动点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点为C，D，则四边形OCPD(O为坐标原点)面积的最小值是(　A　)
A．　　 B．　　　
C．1　　 D．2
[解析]　(理)∵圆x2＋y2＝1的圆心为O(0,0)，半径r＝1，
当点P与圆心的距离最小时，切线长PC、PD最小，此时四边形OCPD的面积最小，
∴圆心到直线3x＋4y＝10的距离d＝＝2，
∴|PC|＝|PD|＝＝，
∴四边形OCPD的面积S＝2×|PC|r＝.
故选：A．
5．(理)4.(文)(2021·河南洛阳统测)已知圆C：(x－a)2＋y2＝4(a≥2)与直线x－y＋2－2＝0相切，则圆C与直线x－y－4＝0相交所得弦长为(　D　)
A．1　　 B．　　　
C．2　　 D．2
[解析]　(理)4.(文)因为圆C：(x－a)2＋y2＝4(a≥2)与直线x－y＋2－2＝0相切，
所以d＝＝r＝2，
解得a＝2或a＝2－4，
因为a≥2，所以a＝2，
所以(x－2)2＋y2＝4，
圆心到直线x－y－4＝0的距离为：
d＝＝，
所以圆C与直线x－y－4＝0相交所得弦长为l＝2＝2，故选：D．
6．(理)5.(文)(2021·湖南省东部六校联考)已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．
(1)求圆C的方程；
(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
[解析]　(理)5.(文)(1)设圆心C(a,0)，
则＝2，解得a＝0或a＝－5(舍)．
所以圆C：x2＋y2＝4.
(2)如图，当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB．

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，N(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得，(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
若x轴平分∠ANB，
则kAN＝－kBN⇒＋＝0
⇒＋＝0
⇒2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0
⇒－＋2t＝0
⇒t＝4.
所以当点N为(4,0)时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立．