2022高考数学一轮复习-课时规范练43-空间向量及其运算北师大版.docx

2022高考数学一轮复习 课时规范练43 空间向量及其运算北师大版

2022高考数学一轮复习 课时规范练43 空间向量及其运算北师大版

年级：
姓名：

课时规范练43　空间向量及其运算
基础巩固组
1.已知空间四边形OABC中,OA=a,OB=b,OC=c,点M在OA上,且OM=2MA,N为BC中点,则MN=(　　)

A.12a-23b+12c B.-23a+12b+12c
C.12a+12b-12c D.23a+23b-12c
2.(2020江西南昌八一中学质检)已知向量a=(-2,x,2),b=(2,1,2),c=(4,-2,1).若a⊥(b-c),则x的值为(　　)
A.-2 B.2
C.3 D.-3
3.已知空间四边形ABCD的每条棱和对角线的长都等于a,E,F分别是BC,AD的中点,则AE·AF的值为(　　)
A.a2 B.12a2
C.14a2 D.34a2
4.(2020安徽蚌埠一中模拟)在空间四边形ABCD中,AB·CD+AC·DB+AD·BC=(　　)
A.-1 B.0
C.1 D.不确定
5.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量AB,AD,AA1两两的夹角均为60°,且|AB|=1,|AD|=2,|AA1|=3,则|AC1|等于(　　)
A.5 B.6
C.4 D.8
6.(2020四川三台中学实验学校高三月考)如图,设OA=a,OB=b,OC=c,若AN=NB,BM=2MC,则MN=(　　)

A.12a+16b-23c B.-12a-16b+23c
C.12a-16b-13c D.-12a+16b+13c
7.若a=(2,-3,5),b=(-3,1,2),则|a-2b|=(　　)
A.72 B.52
C.310 D.63
8.若平面α的一个法向量为12,12,0,直线l的方向向量为(1,0,1),则l与α所成角的大小为　　　　　. 
9.在空间直角坐标系中,以点A(4,1,9),B(10,-1,6),C(x,4,3)为顶点的△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形,则实数x的值为　　　　　. 
10.如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,G为△BC1D的重心,

求证:(1)A1,G,C三点共线;
(2)A1C⊥平面BC1D.

综合提升组
11.(2020山东安丘一中模拟)已知空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,若OP=xOA+yOB+zOC(x,y,z∈R),则“x=2,y=-3,z=2”是“P,A,B,C四点共面”的(　　)
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

12.(2020河南南阳五中模拟)如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=2,AF=1,M在EF上,且AM∥平面BDE,则M点的坐标为(　　)
A.(1,1,1)
B.23,23,1
C.22,22,1
D.24,24,1
13.(2020湖北葛洲坝中学模拟)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,AB=BC=1,动点P,Q分别在线段C1D,AC上,则线段PQ长度的最小值是(　　)

A.23 B.33 C.23 D.53
14.(2020重庆合川中学模拟)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为2,底面边长为1,M为BC的中点,C1N=λNC,且AB1⊥MN,则λ的值为　　　　　. 
创新应用组
15.(2020四川射洪中学模拟)如图,在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,E,F分别是PC,PD的中点,PA=AB=1,BC=2.求证:

(1)EF∥平面PAB;
(2)平面PAD⊥平面PDC.

16.(2020陕西西安三中模拟)在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E,F分别是AB,PB的中点.
(1)求证:EF⊥CD;
(2)在平面PAD内是否存在一点G,使GF⊥平面PCB?若存在,求出点G坐标;若不存在,试说明理由.

参考答案

课时规范练43　空间向量及其运算
1.B　显然MN=ON-OM=12(OB+OC)-23OA=12b+12c-23a.故选B.
2.A　∵b-c=(-2,3,1),∴a·(b-c)=4+3x+2=0,解得x=-2.故选A.
3.C　AE·AF=12(AB+AC)·12AD=14(AB·AD+AC·AD)=14(a2cos60°+a2cos60°)=14a2.故选C.
4.B　如图,令AB=a,AC=b,AD=c,

则AB·CD+AC·DB+AD·BC=a·(c-b)+b·(a-c)+c·(b-a)=a·c-a·b+b·a-b·c+c·b-c·a=0.
5.A　设AB=a,AD=b,AA1=c,则|AC1|=a+b+c,|AC1|2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=25,因此|AC1|=5.
6.A　由题可知,MN=MB-NB=23CB-12AB=23(OB-OC)-12(OB-OA)=12OA+16OB-23OC=12a+16b-23c,故选A.
7.C　∵a=(2,-3,5),b=(-3,1,2),∴a-2b=(8,-5,1),∴|a-2b|=82+(-5)2+12=310.故选C.
8.π6　设平面α的一个法向量为m=12,12,0,直线l的方向向量为n=(1,0,1),则cos<m,n>=m·n|m||n|=1222×2=12,令l与α所成角的大小为θ,则sinθ=12,即直线l与平面α所成角为π6.
9.2　由题意知AB·AC=0,|AB|=|AC|.
又AB=(6,-2,-3),AC=(x-4,3,-6),∴6(x-4)-6+18=0,(x-4)2=4,解得x=2.
10.证明(1)CA1=CB+BA+AA1=CB+CD+CC1,CG=CC1+C1G=CC1+23×12(C1B+C1D)=CC1+13(CB-CC1+CD-CC1)=13(CB+CD+CC1)=13CA1,
∴CG∥CA1,即A1,G,C三点共线.
(2)设CB=a,CD=b,CC1=c,
则|a|=|b|=|c|=a,
且a·b=b·c=c·a=0.
∵CA1=a+b+c,BC1=c-a,
∴CA1·BC1=(a+b+c)·(c-a)=c2-a2=0.
因此CA1⊥BC1,即CA1⊥BC1.
同理CA1⊥BD.
又BD与BC1是平面BC1D内的两条相交直线,故A1C⊥平面BC1D.
11.B　当x=2,y=-3,z=2时,OP=2OA-3OB+2OC.
则AP-AO=2OA-3(AB-AO)+2(AC-AO),即AP=-3AB+2AC,
根据共面向量定理知,P,A,B,C四点共面;
反之,当P,A,B,C四点共面时,根据共面向量定理,设AP=mAB+nAC(m,n∈R),即OP-OA=m(OB-OA)+n(OC-OA),即OP=(1-m-n)OA+mOB+nOC,即x=1-m-n,y=m,z=n,这组数显然不止2,-3,2.故“x=2,y=-3,z=2”是“P,A,B,C四点共面”的充分不必要条件.
12.C　设M点的坐标为(x,y,1),因为AC∩BD=O,所以O22,22,0,
又E(0,0,1),A(2,2,0),
所以OE=-22,-22,1,AM=(x-2,y-2,1),
因为AM∥平面BDE,所以OE∥AM,所以x-2=-22,y-2=-22,解得x=22,y=22,
所以M点的坐标为22,22,1.
13.C　以D为原点,DA,DC,DD1为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,

设DP=λDC1,AQ=μAC(λ,μ∈[0,1]).
DC1=(0,1,2),AC=(-1,1,0),DA=(1,0,0),
所以DP=λ(0,1,2)=(0,λ,2λ),
DQ=DA+μ(DC-DA)=(1,0,0)+μ(-1,1,0)=(1-μ,μ,0).
所以|PQ|=|DQ-DP|=|(1-μ,μ-λ,-2λ)|=(1-μ)2+(μ-λ)2+4λ2=5λ-μ52+95μ-592+49≥49=23,当且仅当λ=μ5,μ=59,即λ=19,μ=59时取等号.
所以线段PQ长度的最小值为23.故选C.
14.15　如图所示,取B1C1的中点P,连接MP,分别以MC,MA,MP的方向为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系,

因为底面边长为1,侧棱长为2,则A0,32,0,B1-12,0,2,C12,0,0,C112,0,2,M(0,0,0),因为C1N=λNC,所以N12,0,21+λ,
所以AB1=-12,-32,2,MN=12,0,21+λ.
又因为AB1⊥MN,所以AB1·MN=0.所以-14+41+λ=0,所以λ=15.
15.证明以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AP所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,

则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),P(0,0,1),所以E12,1,12,F0,1,12,EF=-12,0,0,PB=(1,0,-1),PD=(0,2,-1),AP=(0,0,1),AD=(0,2,0),DC=(1,0,0),AB=(1,0,0).
(1)因为EF=-12AB,所以EF∥AB,即EF∥AB.
又AB⫋平面PAB,EF⊈平面PAB,所以EF∥平面PAB.
(2)因为AP·DC=(0,0,1)·(1,0,0)=0,所以AP⊥DC,AD⊥DC,
即AP⊥DC,AD⊥DC.
又AP∩AD=A,
所以DC⊥平面PAD.
又DC⫋平面PDC,
所以平面PAD⊥平面PDC.
16.(1)证明由题意知,DA,DC,DP两两垂直.如图,分别以DA,DC,DP所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设AD=a,则D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),Ea,a2,0,P(0,0,a),Fa2,a2,a2.

EF=-a2,0,a2,DC=(0,a,0).因为EF·DC=0,所以EF⊥DC,从而得EF⊥CD.
(2)解存在.理由如下:假设存在满足条件的点G,设G(x,0,z),则FG=x-a2,-a2,z-a2,
若使GF⊥平面PCB,则由FG·CB=x-a2,-a2,z-a2·(a,0,0)=ax-a2=0,得x=a2;
由FG·CP=x-a2,-a2,z-a2·(0,-a,a)=a22+az-a2=0,得z=0.
所以G点坐标为a2,0,0,
故存在满足条件的点G,且点G为AD的中点.