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2022版高考数学一轮复习 练案13 第二章 函数、导数及其应用 第十讲 函数模型及其应用新人教版

2022版高考数学一轮复习 练案13 第二章 函数、导数及其应用 第十讲 函数模型及其应用新人教版

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第十讲　函数模型及其应用
A组基础巩固
一、单选题
1．(2015·北京)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.
加油时间
加油量(升)
加油时的累计里程(千米)
2015年5月1日
12
35 000
2015年5月15日
48
35 600
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为(　B　)
A．6升　　 B．8升　　
C．10升　　 D．12升
[解析]　因为第一次已(即5月1日)把油箱加满，而第二次把油箱加满加了48升，即汽车行驶35 600－35 000＝600千米耗油48升，所以每100千米的耗油量为8升，选B.
2．已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t(小时)的函数表达式是(　D　)
A．x＝60t
B．x＝60t＋50
C．x＝
D．x＝
3．(2021·安阳模拟)某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是(　C　)
A．7　　 B．8　　
C．9　　 D．10
[解析]　由题意，当生产第k档次的产品时，每天可获得利润为y＝[8＋2(k－1)][60－3(k－1)]＝－6(k－9)2＋864(1≤k≤10，k∈N)，所以当k＝9时，获得利润最大，故选C.
4．(2021·安徽马鞍山模拟)某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入．若该高校2017年全年投入科研经费1 300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2 000万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)(　B　)
A．2020年　　 B．2021年　　
C．2022年　　 D．2023年
[解析]　若2018年是第一年，则第n年科研费为1 300×1.12n，由1 300×1.12n>2 000，可得lg 1.3＋nlg 1.12>lg 2，得n×0.05>0.19，n>3.8，n≥4，即4年后，到2021年科研经费超过2 000万元．故选B.
5．(2021·河南豫南豫北第二次联考)古代数学名著《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿垣的问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠亦日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．问几何日相逢？”意思是：有面厚五尺的墙壁，大、小两只老鼠同时从墙的两面，沿一直线相对打洞．大鼠第一天打1尺，以后每天的速度为前一天的2倍；小鼠第一天也打1尺，以后每天的速度是前一天的一半．它们多久可以相遇？(　A　)
A.天　　 B．天　　
C．天　　 D．天
[解析]　由于前两天大鼠打(1＋2)尺，小鼠打(1＋)尺，因此前两天两只老鼠共打3＋1.5＝4.5(尺)．
第三天，大鼠打4尺，小鼠打尺，因此两只老鼠第三天相遇．
设第三天相遇时，大鼠打y尺，小鼠打(0.5－y)尺，
则＝，所以y＝，因为第三天大鼠的速度是4尺/天，所以第三天进行了＝(天)，所以它们经过2＋＝天可以相遇．故选A.
6．(2021·江西南昌二轮复习测试)某地一电商2016年和2017年这两年“双十一”当天的销售额连续增加，其中2016年的增长率为a，2017年的增长率为b，则该电商这两年“双十一”当天销售额的平均增长率为(　D　)
A.　　 B．
C.　　 D．－1
[解析]　设该电商这两年“双十一”当天销售额的平均增长率为x，则(1＋a)(1＋b)＝(1＋x)2，∴x＝－1，故选D.
二、多选题
7．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超过1%，则要洗的次数是(　CD　)
A．2　　 B．3　　
C．4　　 D．5
[解析]　设至少要洗x次，则≤，所以≤，4x≥100，因此至少洗4次，故选C、D.
8.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶，甲、乙两车的速度曲线分别为v甲和v乙，如图所示，那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中不一定正确的是(　BCD　)

A．在t1时刻，甲车在乙车前面
B．t1时刻后，甲车在乙车后面
C．在t0时刻，两车的位置相同
D．t0时刻后，乙车在甲车前面
[解析]　由图象可知，曲线v甲比v乙在0～t0，0～t1与t轴所围成的图形面积大，则在t0，t1时刻，甲车均在乙车前面．故选B、C、D.
三、填空题
9．“弯弓射雕”描述了游牧民族的豪迈气概，当弓箭以每秒a米的速度从地面垂直向上射出时，t秒后的高度为x米，可由x＝at－5t2确定，已知射箭2秒后箭离地面高100米，则弓箭能达到的最大高度为 180米 ．
[解析]　由x＝at－5t2且t＝2时，x＝100，解得a＝60，所以x＝60t－5t2，而x＝60t－5t2＝－5(t－6)2＋180，则当t＝6时，x的最大值为180米，即弓箭能达到的最大高度为180米．
10．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝(a为常数)，如图所示，据图中提供的信息，回答下列问题：

(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为 y＝ ；
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么，药物释放开始，至少需要经过 0.6 小时后，学生才能回到教室．
[解析]　(1)设y＝kt，由图象知y＝kt过点(0.1，1)，则1＝k×0.1，k＝10，∴y＝10t(0≤t≤0.1)．
由y＝过点(0.1，1)，得1＝，解得a＝0.1，∴y＝(t>0.1)．
(2)由≤0.25＝，得t≥0.6.
故至少需经过0.6小时学生才能回到教室．
11．(2021·云南师大附中月考)我们经常听到这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离．但实际上，因为纸张本身有厚度，我们并不能将纸张无限次对折，当厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了，一张长边为w，厚度为x的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折，长边变为w，厚度变为4x，在理想情况下，对折次数n有下列关系：n≤log2(注：lg 2≈0.3)，根据以上信息，一张长为21 cm，厚度为0.05 mm的纸最多能对折 8 次．
[解析]　本题考查对数运算的应用．由题知n≤log24 200＝＝.因为log210＝≈，0<log2<1，所以n≤8＋log2，n的最大值为8.
四、解答题
12．某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为120吨(0≤t≤24)．
(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少存水量是多少吨？
(2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象．
[解析]　(1)设t小时后蓄水池中的存水量为y吨，
则y＝400＋60t－120，
令＝x，则x2＝6t，即t＝，
所以y＝400＋10x2－120x＝10(x－6)2＋40，(构建二次函数)
所以当x＝6，即t＝6时，ymin＝40，
即从供水开始到第6小时时，蓄水池中的存水量最少，最少存水量是40吨．
(2)由(1)及题意得400＋10x2－120x<80，即x2－12x＋32<0，
解得4<x<8，即4<<8，<t<.
因为－＝8，所以每天约有8小时出现供水紧张现象．
13．某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常，排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm，继续排气4分钟后又测得浓度为32 ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系y＝cmt(c，m为常数)．
(1)求c，m的值；
(2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态？
[解析]　(1)由题意可列方程组
两式相除，解得
(2)由题意可列不等式128≤0.5，
所以≤，即t≥8，解得t≥32，故至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态．
B组能力提升
1．(2020·上海浦东新区期中)国际上通常用恩格尔系数衡量一个国家和人民生活水平的状况，它的计算公式为n＝(x代表人均食品支出总额，y代表人均个人消费支出总额)，且y＝2x＋475，各种类型的家庭标准如表：
家庭类型
贫困
温饱
小康
富裕
n
n≥59%
50%≤n<59%
40%≤n<50%
30%≤n<40%
张先生居住区2019年比2018年食品支出下降7.5%，张先生家在2019年购买食品和2018年完全相同的状况下，人均个人消费少支出75元，则张先生家2019年属于(　D　)
A．贫困　　 B．温饱　　
C．小康　　 D．富裕
[解析]　设2018年人均食品支出x元，则2019年人均食品支出x(1－7.5%)＝92.5%x，2019年人均消费支出2×92.5%x＋475，由题意，有2×92.5%x＋475＋75＝2x＋475，
∴x＝500.此时，n＝≈0.330 4＝33.04%，由表知属富裕．
2．(2021·湖北荆州中学、宜昌一中、龙泉中学三校联考)2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其主要内容包括：(1)个税起征点为5 000元；(2)每月应纳税所得额(含税)＝收入－个税起征点－专项附加扣除；(3)专项附加扣除包括：①赡养老人费用；②子女教育费用；③继续教育费用；④大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为①赡养老人费用：每月共扣除2 000元；②子女教育费用：每个子女每月扣除1 000元．新个税政策的税率表部分内容如下：
级数
全月应纳税所得额
税率
1
不超过3 000元的部分
3%
2
超过3 000元至12 000元的部分
10%
3
超过12 000元至25 000元的部分
20%
…
…
…
现有李某月收入为18 000元，膝下有两名子女，需要赡养老人(除此之外，无其他专项附加扣除，专项附加扣除均按标准的100%扣除)，则李某每月应缴纳的个税金额为(　B　)
A．590元　　 B．690元　　
C．790元　　 D．890元
[解析]　本题考查分段函数模型的应用．李某每月应纳税所得额(含税)为18 000－5 000－2 000－2 000＝9 000(元)，不超过3 000元的部分税额为3 000×3%＝90(元)，超过3 000元至12 000元的部分税额为6 000×10%＝600(元)，所以李某每月应缴纳的个税金额为90＋600＝690(元)．故选B.
3．如果在若干年内，我国国民经济生产总值都控制在平均每年增长9%的水平，那么要达到国民经济生产总值比1995年翻两番的年份大约是(lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，lg 109＝2.037 4，lg 0.09＝－2.254 3)(　B　)
A．2015年　　 B．2011年
C．2010年　　 D．2008年
[解析]　设1995年总值为a，经过x年翻两番，则a·(1＋9%)x＝4a.∴x＝≈16.
4．某商家推行亲子款十二生肖纪念章．通过市场调查，得到该纪念章每枚的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如下：
上市时间x/天
4
10
36
市场价y/元
90
51
90
(1)根据上表数据，为描述亲子款十二生肖纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系，从下列函数中选取一个最佳的函数模型是 ；
①y＝ax＋b；②y＝ax2＋bx＋c；③y＝logax.
(2)利用你选取的函数，求亲子款十二生肖纪念章的市场价最低时的上市时间及最低价格；
(3)设你选取的函数为y＝f(x)，若对任意实数k，方程f(x)＝kx＋2m＋120恒有两个相异实数根，求m的取值范围．
[解析]　(1)由于市场价y随上市时间x的增大而先减小后增大，而模型①③均为单调函数，不符合题意，故选择二次函数模型②.
(2)由表中数据可知解得
∴函数模型为y＝x2－10x＋126＝(x－20)2＋26.
∴当市场价最低时的上市时间为20天，最低价格为26元．
(3)∵f(x)＝x2－10x＋126＝kx＋2m＋120，
∴x2－(10＋k)x＋6－2m＝0恒有两个相异实数根，
∴Δ＝(10＋k)2－(6－2m)>0恒成立，
即－2m<k2＋20k＋94.
∵k2＋20k＋94＝(k＋10)2－6≥－6，
∴－2m<－6，∴m>3.
故m的取值范围是(3，＋∞)．