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2022版高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第九讲 第2课时 最值、范围、证明问题学案 新人教版

2022版高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第九讲 第2课时 最值、范围、证明问题学案 新人教版

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第二课时　最值、范围、证明问题

考点突破·互动探究

考点一　圆锥曲线中的最值问题——自主练透
例1　(2021·广东调研)已知圆x2＋y2＋2x－26＝0的圆心为F1，直线l过点F2(，0)且与x轴不重合，l交圆F1于C，D两点，过F2作F1C的平行线，交F1D于点E．设点E的轨迹为Ω．
(1)求Ω的方程；
(2)直线l1与Ω相切于点M，l1与两坐标轴的交点为A与B，直线l2经过点M且与l1垂直，l2与Ω的另一个交点为N．当|AB|取得最小值时，求△ABN的面积．
[解析]　(1)因为F1C∥EF2，所以∠F1CD＝∠EF2D．
又F1C＝F1D，所以∠F1CD＝∠F1DC，
则∠EDF2＝∠EF2D，所以|ED|＝|EF2|，
从而|EF2|＋|EF1|＝|ED|＋|EF1|＝|DF1|．
x2＋y2＋2x－26＝0可化为(x＋)2＋y2＝32，
所以|EF2|＋|EF1|＝＝4＞2．
从而E的轨迹为以F1(－，0)，F2(，0)为焦点，长轴长为4的椭圆(剔除左、右顶点)．
所以Ω的方程为＋＝1(y≠0)．
(2)易知l1的斜率存在，所以可设l1的方程为y＝kx＋m(k≠0)联立消去y，
得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－8＝0．
因为直线l与Ω相切，所以
Δ＝(8km)2－4(1＋4k2)(4m2－8)＝0．
即m2＝8k2＋2．
l1在x轴、y轴上的截距分别为－，m，
则|AB|＝＝
＝
＝≥＝3，
当且仅当8k2＝，即k＝±时取等号．
所以当k2＝时，|AB|取得最小值，此时m2＝6，
根据对称性，不妨取k＝，m＝，
此时2xM＝－＝－，
即xM＝－，从而yM＝－×＋＝，
联立
消去y，得9x2＋16x＋16＝0，
则xM＋xN＝－＋xN＝－，
解得xN＝－，
所以|MN|＝|xM－xN|＝，
故△ABN的面积为××3＝4．
例2　(2021·四川省联合诊断)已知抛物线x2＝8y，过点M(0,4)的直线与抛物线交于A，B两点，又过A，B两点分别作抛物线的切线，两条切线交于P点．
(1)证明：直线PA，PB的斜率之积为定值；
(2)求△PAB面积的最小值．
[解析]　(1)证明：由题意设l的方程为y＝kx＋4，
联立，得x2－8kx－32＝0，
因为Δ＝(－8k)2－4×(－32)＞0，
所以设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝－32，
设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，
对y＝，求导得y′＝，
所以k1＝，k2＝，
所以，k1k2＝·＝＝＝－2(定值)．
(2)由(1)可得直线PA的方程为y－＝(x－x1)①
直线PB的方程为y－＝(x－x2)②
联立①②，得点P的坐标为，
由(1)得x1＋x2＝8k，x1x2＝－32，
所以P(4k，－4)．
于是|AB|＝8，
点P到直线AB的距离d＝，
所以S△PAB＝16(k2＋2)，
当k2＝0，即k＝0时，△PAB的面积取得最小值32．

名师点拨
处理圆锥曲线最值问题的求解方法
(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．
(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等．
〔变式训练1〕
　(2021·广东省佛山市质检)已知F为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，过原点O的动直线l与C交于A，B两点．当A的坐标为时，|OB|＝|BF|．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)延长BF交椭圆C于Q，求△QAB的面积的最大值．
[解析]　(1)由A，得B，
而|OB|＝|BF|．∴F(－2,0)，即c＝2．
由，解得a2＝5，b2＝1．
∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1．
(2)当直线BF斜率不存在时，BF：x＝－2，
此时B，|BQ|＝，A，
S△QAB＝××4＝；
当BF所在直线斜率存在时，设BF：y＝k(x＋2)(k≠0)，
联立，得
(1＋5k2)x2＋20k2x＋20k2－5＝0，
设B(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝．
则|BQ|＝
＝·
＝·．
又O到BQ的距离d＝，
则A到BQ的距离为，
∴S△QAB＝．
令1＋5k2＝t(t＞1)，
则S△QAB＝4
＝．
∴当＝时，(S△QAB)max＝．
综上，△QAB的面积的最大值为．
考点二　圆锥曲线中的范围问题——师生共研
例3　(2021·西安模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(1,0)，且点P在椭圆C上，O为坐标原点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设过定点T(0,2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．
[解析]　(1)由题意，得c＝1，所以a2＝b2＋1．
因为点P在椭圆C上，
所以＋＝1，所以a2＝4，b2＝3．
则椭圆C的标准方程为＋＝1．
(2)设直线l的方程为y＝kx＋2，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(4k2＋3)x2＋16kx＋4＝0．
因为Δ＝48(4k2－1)＞0，所以k2＞，
由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝．
因为∠AOB为锐角，所以·＞0，即x1x2＋y1y2＞0．
所以x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)＞0，
即(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＞0，
所以(1＋k2)·＋2k·＋4＞0，
即＞0，所以k2＜．
综上可知＜k2＜，
解得－＜k＜－或＜k＜．
所以直线l的斜率k的取值范围为
∪．
[引申]本例中①，若·＝0，则k＝__±__，②若O在以AB为直径的圆内，则k的取值范围是__∪__．

名师点拨
求解范围问题的常见求法
(1)利用判别式来构造不等式关系，从而确定参数的取值范围．
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系．
(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．
(4)利用基本不等式求出参数的取值范围．
(5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
〔变式训练2〕
　(2021·广东省质检)已知椭圆C的两个焦点分别是(－1,0)，(1,0)，并且经过点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知点Q(0,2)，若C上总存在两个点A、B关于直线y＝x＋m对称，且·＜4，求实数m的取值范围．
[解析]　(1)因为椭圆C的焦点在x轴上，
所以设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由椭圆的定义得
2a＝＋＝2，
所以a＝．
因为c＝1，所以b2＝a2－c2＝1．
因此，椭圆C的标准方程为＋y2＝1．
(2)根据题意可设直线AB的方程为y＝－x＋n，
联立，
整理得3x2－4nx＋2n2－2＝0，
由Δ＝(－4n)2－4×3(2n2－2)＞0，
得n2＜3．
设A(x1，－x1＋n)，B(x2，－x2＋n)，
则x1＋x2＝，x1x2＝．
又设AB的中点为M(x0，－x0＋n)，则x0＝＝，－x0＋n＝．
由于点M在直线y＝x＋m上，
所以＝＋m，得n＝－3m，
代入n2＜3，得9m2＜3，所以－＜m＜．①
因为＝(x1，－x1＋n－2)，＝(x2，－x2＋n－2)，
所以·＝2x1x2－(n－2)(x1＋x2)＋(n－2)2
＝－＋＝．
由·＜4，得3n2－4n＋8＜12,3n2－4n－4＜0
得－＜n＜2，得－＜－3m＜2，所以－＜m＜②
由①②得－＜m＜，
故实数m的取值范围为．
考点三　圆锥曲线中的证明问题——师生共研
例4　(2018·课标Ⅰ卷)设椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2,0)．
(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB．
[解析]　(1)由已知得F(1,0)，l的方程为x＝1，
由已知可得，点A的坐标为或．
所以AM的方程为y＝－x＋或y＝x－．
(2)当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°．
当l与x轴垂直时，直线OM为AB的垂直平分线．
所以∠OMA＝∠OMB．
当l与x轴不重合也不垂直时，
设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＜，x2＜，直线MA，MB的斜率之和为kMA＋kMB＝＋，
将由y1＝kx1－k，y2＝kx2－k得kMA＋kMB＝，将y＝k(x－1)代入＋y2＝1得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0，
所以，x1＋x2＝，x1x2＝．
则2kx1x2－3k(x1＋x2)＋4k＝＝0，
从而kMA＋kMB＝0，故MA，MB的倾斜角互补，
所以∠OMA＝∠OMB．
综上，∠OMA＝∠OMB．

名师点拨
圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立等．在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法．
解决证明问题的答题模板
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〔变式训练3〕
　(2021·河北张家口模拟)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的焦距为4．且过点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设A(0，b)，B(0，－b)，C(a，b)，过B点且斜率为k(k＞0)的直线l交椭圆E于另一点M，交x轴于点Q，直线AM与直线x＝a相交于点P．证明：PQ∥OC(O为坐标原点)．
[解析]　(1)由题可知，2c＝4，c＝2，
∴椭圆的左，右焦点分别为(－2,0)，(2,0)．
由椭圆的定义知2a＝＋＝4，∴a＝2，b2＝a2－c2＝4，
∴椭圆E的方程为＋＝1．
．
(2)证明：易得A(0,2)，B(0，－2)，C(2，2)，
直线l：y＝kx－2与椭圆x2＋2y2＝8联立，
得(2k2＋1)x2－8kx＝0，
∴xM＝，
从而M，Q．
∴直线AM的斜率为＝－，
直线AM的方程为y＝－x＋2．
令x＝2得P，
∴直线PQ的斜率kPQ＝＝＝＝．
∵直线OC的斜率kOC＝＝，
∴kPQ＝kOC，从而PQ∥OC．

名师讲坛·素养提升
圆锥曲线中的对称问题

例5　试确定m的取值范围，使得椭圆＋＝1上有不同两点关于直线y＝4x＋m对称．
[解析]　解法一：设椭圆上两点A(x0－u，y0－v)，B(x0＋u，y0＋v)，AB的中点为C(x0，y0)．
∵A，B关于y＝4x＋m对称，
∴kAB＝＝－．
又
两式相减，得＝－，∴y0＝3x0．
而点C在直线y＝4x＋m上，
∴∵点C在椭圆＋＝1内，
∴＋＜1．
∴m∈．
解法二：设椭圆上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝4x＋m对称．
设AB的中点为P(x0，y0)，
则又由
得＋＝0．
∴＋·＝0．
∴y1＋y2＝3(x1＋x2)，得y0＝3x0．
代入y0＝4x0＋m，得x0＝－m，∴y0＝－3m．
以下同解法一．
[引申](1)在例题中将椭圆＋＝1换成抛物线y2＝2x，则相应m的范围为__(－∞，－36)__．
(2)在例题中将直线改为y＝mx＋，则相应的m的范围为__∪(2，＋∞)__．

名师点拨
圆锥曲线上两点的对称问题是圆锥曲线的常见题型，处理方法是：
1．设对称两点所在的直线方程与圆锥曲线方程联立，由Δ＞0建立不等关系，再由对称两点的中点在所给直线上，建立相等关系，由相等关系消参，由不等关系确定范围．
2．用参数表示中点坐标，利用中点在圆锥曲线内部建立关于参数的不等式，解不等式得参数范围．
〔变式训练4〕
　若抛物线y＝ax2－1上恒有关于直线x＋y＝0对称的相异两点A，B，则a的取值范围是__a＞__．
[解析]　设抛物线上的两点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝x＋b，代入抛物线方程y＝ax2－1，得ax2－x－(b＋1)＝0，设直线AB的中点为M(x0，y0)，则x0＝，y0＝x0＋b＝＋b．由于M(x0，y0)在直线x＋y＝0上，故x0＋y0＝0，由此解得b＝－，此时ax2－x－(b＋1)＝0可变形为ax2－x－＝0，由Δ＝1＋4a＞0，解得a＞．