2023年高考新课标I卷第9题的探究与备考启示.pdf
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1、2024 年第 2 期(上半月刊)中学数学研究152023 年高考新课标 I 卷第 9 题的探究与备考启示广东省佛山市乐从中学(528315)林国红摘要文章对 2023 年高考新课标 卷的第 9 题进行解答,对选项 C 进行深入探究,给出其中一个相关命题的严格证明,并对试题进行探源,展示近三年的相关考题,得到一些备考启示.关键词新高考;样本的数字特征;平移不变性;链接高考;备考启示一、试题呈现题目(2023 年高考新课标 卷第 9 题)有一组样本数据x1,x2,x6,其中 x1是最小值,x6是最大值,则().A.x2,x3,x4,x5的平均数等于 x1,x2,x6的平均数B.x2,x3,x4,
2、x5的中位数等于 x1,x2,x6的中位数C.x2,x3,x4,x5的标准差不小于的标准差D.x2,x3,x4,x5的极差不大于 x1,x2,x6的极差本题是多项选择题,试题突出基础性要求,考查样本数据的基本数字特征,考查考生对样本的平均数、标准差、中位数、极差概念的理解和掌握,不仅注重试题的基础性,而且使基础知识的考查和能力的考查有机结合,较好地体现了统计中数字特征的核心内容和基本思想方法的考查,对于考生运用数学知识,寻找合理的解题策略以及推理论证和运算能力有较高的要求.二、试题的解答解析对于选项 A:设 x2,x3,x4,x5的平均数为 m,x1,x2,x6的平均数为 n,则n m=x1+
3、x2+x3+x4+x5+x66x2+x3+x4+x54=2(x1+x6)(x2+x3+x4+x5)12.因为不能确定 2(x1+x6),x2+x3+x4+x5的大小关系,所以无法判断 m,n 的大小.例如:1,2,3,4,5,6,可得m=n=3.5;又如 1,1,1,1,1,7,可得 m=1,n=2;再如1,2,2,2,2,2,可得 m=2,n=116;故 A 错误.对于选项 B:不妨设 x16 x26 x36 x46 x56 x6,可知 x2,x3,x4,x5的中位数等于 x1,x2,x6的中位数均为x3+x42,故 B 正确.对 于 选 项 C:因 为 x1是 最 小 值,x6是 最 大
4、值,则x2,x3,x4,x5的波动性不大于 x1,x2,x6的波动性,即 x2,x3,x4,x5的标准差不大于 x1,x2,x6的标准差.例 如:对 正 整 数 2,4,6,8,10,12,则 其 平 均 数 n=16(2+4+6+8+10+12)=7,标准差s1=16(27)2+(47)2+(67)2+(87)2+(107)2+(127)2=1053.对于 4,6,8,10,则平均数 m=14(4+6+8+10)=7,标准差s2=14(4 7)2+(6 7)2+(8 7)2+(10 7)2=5显然10535,即 s1 s2;故 C 错误.对于选项 D:不妨设 x16 x26 x36 x46
5、x56 x6,则x6x1 x5x2,当且仅当 x1=x2,x5=x6时,等号成立,故 D 正确.故选:B,D.评注本题根据平均数、中位数、标准差、极差的定义逐项分析判断即可.另外,作为多项选择题也可以用排除法作答:取 x1,x2,x6为 1,1,1,1,1,7,则 x2,x3,x4,x5的平均数为 1,x1,x2,x6的平均数为 2,故 A 错误;x2,x3,x4,x5的标准差为 0,x1,x2,x6的标准差显然大于 0,故 C 错误,所以只能选 BD.三、选项 C 的探究选项 C 表明:样本数据 x1,x2,x6去掉最大值和最小值后,标准差不大于原来的标准差.这个事实看起来自然,但是要怎么严
6、格证明呢?考虑一般 n 个数据的情形:设 x16 x26 6 xn(n 3),且 x1,x2,xn(n 3)的 平 均 数 为 x,记x=x2+x3+xn1n 2,s21=1nnk=1(xk x)2,s22=1n 2n1k=2(xk x)2,我们需要证明命题:s226 s21.证法 1 为证明上述命题,先给出引理 1 与引理 2:引理 1 设 x1,x2,xn的方差为 s2x,y1,y2,yn的方差为 s2y,其中 yi=xi+b(i=1,2,n),b 为非零常数,则 s2x=s2y.证明 设 x1,x2,xn的平均数为 x,则 x=1nni=1xi,s2x=1nni=1(xi x)2.因为
7、yi=xi+b(i=1,2,n),所 以 y1,y2,yn的 平 均 数 为 y=1nni=1(xi+b)=16中学数学研究2024 年第 2 期(上半月刊)1nni=1xi+b=x+b.从而s2y=1nni=1(xi+b)(x+b)2=1nni=1(xi x)2=s2x.故引理 1 得证.评注 引理 1 实际上是教材(人教 A 版 2019 年版)必修第二册 213 页练习题的第 2 题,此性质称为方差的平移不变性.引理 2设 x1,x2,xn的平均数为 x,方差为 s2,x21,x22,x2n的平均数为 m,则 s2=m x2.证明 因为 m=1n(nk=1x2k),所以s2=1nnk=1
8、(xk x)2=1n(nk=1x2k)nx2=1n(nk=1x2k)x2=m x2.故引理 2 得证.下面证明命题:s226 s21.由 x16 x26 6 xn(n 3),根 据 方 差 的平 移 不 变 性(引 理 1),不 妨 设 最 大 值 xn=A,最 小值 x1=A(A 0).记 x=x2+x3+xn1n 2,y=x22+x23+x2n1n 2,s22=1n 2n1k=2(xk x)2,由引理 2,得 s22=y x2.因为 x1,x2,xn的平均数为(n 2)x+A+(A)n=(n 2)xn,x21,x22,x2n的平均数为(n 2)y+2A2n,由引理 2,可得 x1,x2,x
9、n的方差s21=(n 2)y+2A2n(n 2)xn2.因为 A 是最大值,所以A2 y,且 n 3.于是s21 s22=(n 2)y+2A2n(n 2)xn2(y x2)=2(A2 y)n+4(n 1)x2n2 0所以 s226 s21,命题得证.证法 2 为证明上述命题,先给出引理 3:引理 3对于 x16 x26 6 xn(n 3),且x1+x2+xn=0,则nk=1x2k6n2(x21+x2n).证明 因为x16 x26 6 xn,且x1+x2+xn=0,当 x1=xn时,则 x1=x2=xn=0,引理显然成立.当 x1=xn时,则必有 x1 0 3),则 x=x1+x2+xnn=1n
10、nk=1xk,设 yi=xi x=xi1nnk=1xk(i=1,2,n),则有 y16 y26 6 yn(n 3),且y1+y2+yn=nk=1yk=nk=1xk nx=nk=1xk n 1nnk=1xk=0.记 y=y1+y2+ynn=1nnk=1yk=0,y=y2+y3+yn1n 2,s2y1=1nnk=1(yk y)2,s2y2=1n 2n1k=2(yk y)2.由引理 3,可得 y21+y2n2nnk=1y2k.于是s2y2=1n 2n1k=2(yk y)2=1n 2(n1k=2y2k)(n 2)y2=1n 2n1k=2y2k y261n 2n1k=2y2k=1n 2(nk=1y2k)
11、(y21+y2n)61n 2(nk=1y2k)2nnk=1y2k=1n 2n 2nnk=1y2k=1nnk=1y2k=1nnk=1(yk y)2=s2y1.又根据方差的平移不变性(引理 1),可得 s21=s2y1,s22=s2y2.所以 s226 s21.当 n 为奇数时,取等条件为所有数均相等;当n 为偶数时,取等条件为一半数为最大数且另一半数为最小数.综上所述,命题得证.评 注当 x16 x26 6 x6时,由 命 题 可 知,x2,x3,x4,x5的 方 差 不 大 于 x1,x2,x6的 方 差,即x2,x3,x4,x5的标准差不大于 x1,x2,x6的标准差(取等条件为一半数为最大
12、数且另一半数为最小数),所以原试题的选项 C 是错误的.普通高中数学课程标准(2017 年版,2020 年修订)中2024 年第 2 期(上半月刊)中学数学研究17多次出现“情境”一词,中国高考评价体系 也规定了高考的考查载体情境,并以此承载考查内容,实现考查要求.数学情境是高考评价体系中最重要的创新之一,是实现“价值引领、素养导向、能力为重、知识为基”的考查目标的载体.数学试题情境一般取材于学生生活中的真实问题,贴近学生实际,具有现实意义,具备研究价值.本题的情境是学生所熟悉的,源于比赛或评比中常用的“去掉一个最高分,去掉一个最低分”的计分方式,引导考生从数学上思考这种计分方式的合理性.对于
13、选项 C,去掉最高分和最低分后,新样本的标准差总是不大于原标本的标准差,且在很多情形下,小于原样本的标准差,这符合考生的直观判断,也说明了在比赛打分去掉最高分和最低分后,总的来说可能降低数据的分散程度和波动性,从而提高评分的合理性.四、追本溯源问“题”那得清如许,唯有源头活水来.题源(2021 年全国新高考 卷 9)有一组样本数据x1,x2,xn,由这组数据得到新样本数据 y1,y2,yn,其中 yi=xi+c(i=1,2,n),c 为非零常数,则().A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样本数据的样本极差相同可以看出今年考题
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