2022版高考数学大一轮复习-第15章-数系的扩充与复数的引入备考试题.docx

2022版高考数学大一轮复习 第15章 数系的扩充与复数的引入备考试题

2022版高考数学大一轮复习 第15章 数系的扩充与复数的引入备考试题

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第十五章　数系的扩充与复数的引入
练好题·考点自测
1.[2020全国卷Ⅰ,2,5分][文]若z=1+2i+i3,则|z|=(　　)
A.0 B.1 C.2 D.2
2.[2020全国卷Ⅱ,2,5分][文](1-i)4=(　　)
A.-4 B.4 C.-4i D.4i
3.[2020浙江,2,4分]已知a∈R,若a-1+(a-2)i(i为虚数单位)是实数,则a=(　　)
A.1 B.-1 C.2 D.-2
4.[2020山东,2,5分]2-i1+2i=(　　)
A.1 B.-1 C.i D.-i
5.[2020北京,2,4分]在复平面内,复数z对应的点的坐标是(1,2),则i·z=(　　)
A.1+2i B.-2+i C.1-2i D.-2-i
6.[2021大同模拟]设x,y∈R,i为虚数单位,且3+4iz=1+2i,
则z=x+yi的共轭复数在复平面内对应的点在(　　)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
7.[2020江西抚州高三第一次联考]若复数z满足|z+3-4i|=2,则z·z的最大值为(　　)
A.9 B. 81 C. 7 D. 49
8.[2021河南名校第一次联考]如图15-1,在平行四边形OABC中,顶点O,A,C在复平面内分别表示0,3+2i,-2+4i,则点B对应的复数为(　　)
A.1+6i B.5-2i
C.1+5i D.-5+6i

图15-1
9.[2017 浙江,12,6分]已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2=　　　　,ab=　　　　. 

拓展变式
1.(1)[2020全国卷Ⅲ,2,5分]复数11-3i的虚部是(　　)
A.-310 B.-110 C.110 D.310
(2)[2020全国卷Ⅱ,15,5分]设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=3+i,则|z1-z2|=　　　　. 
2.(1)[2019全国卷Ⅲ,2,5分][文]若z(1+i)=2i,则z=(　　)
A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i
(2)[2019北京,2,5分][文]已知复数z=2+i,则z·z=(　　)
A.3 B.5 C.3 D.5
3.(1)[2019全国卷Ⅱ,2,5分]设z=-3+2i,则在复平面内z对应的点位于(　　)
A.第一象限　 B.第二象限　 C.第三象限　 D.第四象限
(2)已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-4i,它们在复平面上对应的点分别为A,B,C,若OC=λOA+μOB(λ,μ∈R),则λ+μ的值是　　　. 

答 案
第十五章　数系的扩充与复数的引入

1.C　z=1+2i+i3=1+2i-i=1+i,所以|z|=12+12=2,故选C.
2.A　 (1-i)4=[(1-i)2]2=(-2i)2=-4,故选A.
3.C　因为a-1+(a-2)i是实数,所以a-2=0,所以a=2.故选C.
4.D　解法一　2-i1+2i=(2-i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)=2-2-5i5=-i,选D.
解法二　利用i2=-1进行替换,则2-i1+2i=-2×(-1)-i1+2i=-2i2-i1+2i=-i(1+2i)1+2i=-i,选D.
5.B　由题意知,z=1+2i,所以i·z=i·(1+2i)=-2+i,故选B.
6.A　由已知可得z=3+4i1+2i=(3+4i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)=11-2i5=115-25i,则z=115+25i,所以z在复平面内对应的点为(115,25),在第一象限,故选A.
7.D　由题意可知,复数对应的点的轨迹是以点A(-3,4)为圆心,半径为2的圆,z·z表示圆上的点到原点的距离的平方,因为|OA|=(-3)2+42=5,所以z·z的最大值为(5+2)2=49,故选D.
8.A　因为OB=OA+OC,所以OB对应的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i,即点B对应的复数为1+6i,故选A.
9.5　2　∵(a+bi)2=a2-b2+2abi=3+4i,∴a2-b2=3,2ab=4,解得a=2,b=1或a=-2,b=-1,∴a2+b2=5,ab=2.
【方法技巧】　两个复数相等的充要条件是这两个复数的实部和虚部分别相等;一个复数等于零的充要条件是实部
和虚部同时为零.

1.(1)D　11-3i=1+3i(1+3i)(1-3i)=1+3i10=110+310i,所以虚部为310.
(2)23　解法一　设z1=x1+y1i(x1,y1∈R),z2=x2+y2i(x2,y2∈R),则由|z1|=|z2|=2,得x12+y12=x22+y22=4.因为z1+z2=x1+x2+(y1+y2)i=3+i,所以|z1+z2|2=(x1+x2)2+(y1+y2)2=x12+y12+x22+y22+2x1x2+2y1y2=8+2x1x2+2y1y2=(3)2+12=4,所以2x1x2+2y1y2=-4,所以|z1-z2|=|x1-x2+(y1-y2)i|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=x12+y12+x22+y22-2x1x2-2y1y2=8+4=23.
解法二　设z1=a+bi(a,b∈R),则z2=3-a+(1-b)i,则|z1|2=a2+b2=4,|z2|2=(3-a)2+(1-b)2=4, 即a2+b2=4,3a+b=2,所以|z1-z2|2=(2a-3)2+(2b-1)2=4(a2+b2)-4(3a+b)+4=4×4-4×2+4=12,所以|z1-z2|=23.
解法三　题设可等价转化为向量a,b满足|a|=|b|=2,a+b=(3,1),求|a-b|.因为(a+b)2+(a-b)2=2|a|2+2|b|2,所以4+(a-b)2=16,所以|a-b|=23,即|z1-z2|=23.
2.(1)D　z=2i1+i=2i(1-i)(1+i)(1-i)=2+2i2=1+i.
(2)D　∵z=2+i,∴z=2-i,∴z·z=(2+i)(2-i)=5.故选D.
3.(1)C　由题意,得z=-3-2i,其在复平面内对应的点的坐标为(-3,-2),位于第三象限,故选C.
(2)1　由题意得OC=(3,-4),OA=(-1,2),OB=(1,-1),由OC=λOA+μOB,得(3,-4)=λ(-1,2)+μ(1,-1)=(-λ+μ,2λ-μ),所以-λ+μ=3,2λ-μ=-4,解得λ=-1,μ=2.所以λ+μ=1.