2023年宜春联考第11题的解法探究及变式拓展.pdf
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1、2024 年第 3 期(上半月刊)中学数学研究292023 年宜春联考第 11 题的解法探究及变式拓展江西省宜春市第九中学(336099)范水平黄亚玲摘要 本文首先给出了 2023 年宜春十校联考第 11 题 D选项的五种解法,然后对结论进行了变式推广,得到了 9 个相关优美结论,并利用参数方程法进行了证明,最后从教学方面进行了反思.关键词 圆锥曲线;解法;探究;推广;反思圆锥曲线试题综合性较强,每年高考必考,重点考查学生直观想象、数学运算、逻辑推理素养.在日常教学中,核心素养主要表现在数学方法应用和解题思想方面.基于以上理念,笔者对宜春十校联考第 11 题 D 选项的解法进行探究,并对结论进
2、行推广、教学反思.1 试题呈现题目已知 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,A(x1,y1),B(x2,y2)是 C 上两点,O 为坐标原点,M 为 x 轴正半轴上一点,过 B 作 C 的准线的垂线,垂足为 B1,AB 的中点为 E,则()A.若|BB1|=2|OF|,则四边形 OFBB1的周长为3+5B.若|AF|=3,则 AOF 的面积为2C.若|AB|=6,则 E 到 y 轴的最短距离为 3D.若直线 AB 过点 M(2,0),则1|MA|2+1|MB|2为定值2 解法探究以下仅考虑 D 选项的解答.解法 1(直线普通方程)由题意可知,显然直线 AB 的斜率不等于 0,设直线 AB的方
3、程为x=ty+2,联立y2=4x,x=ty+2,得y24ty8=0,则 =16t2+32 0,y1+y2=4t,y1y2=8.又|MA|=1+t2|y1 0|,|MB|=1+t2|y2 0|,从而1|MA|2+1|MB|2=1(1+t)2y21+1(1+t)2y22=(y1+y2)2 2y1y2(1+t)2y21y22=16t2+1664(1+t)2=14,因此1|MA|2+1|MB|2为定值14.评析圆锥曲线问题解决的一般策略:设直线方程、联立方程、消元化简、韦达定理、判别式、代数运算、检验等.解法 2(平移法)把抛物线 C 和点 M 向左平移 2 个单位,则 C 平移后的方程为 C:y2=
4、4(x+2),点 M、A、B 平移后的坐标分别为M(0,0),A(x1,y1),B(x2,y2).由题意可知,显然直线 AB的斜率不等于 0,设直线 AB的方程为 x=ty,联立方程y2=4(x+2),x=ty,消去 x 得 y2 4ty 8=0.下同解法 1,由平移后长度保持不变性,因此1|MA|2+1|MB|2为定值14.评析本题的背景就是斜率之和为定值问题,针对此类问题可以通过平移(齐次化)转化到过原点的几何度量问题,求解过程简洁易懂.解法 3(向量法)设 A=(y214,y1),B=(y224,y2),则 MA=(y214 2,y1),MB=(y224 2,y2).因为 MA/MB,所
5、以(y214 2)y2(y224 2)y1=0,化简得 y1y2=8.又|MA|=(y214 2)2+y21=y41+644,|MB|=(y224 2)2+y22=y42+644,故1|MA|2+1|MB|2=16(1y41+64+1y42+64)=16y41+y42+128642+64(y41+y42)+642=14.因此1|MA|2+1|MB|2为定值14.评 析本 题 关 键 是 利 用 M,A,B 三 点 共 线,得 到 MA/MB,转化为代数运算问题.解法 4(几何法)由题意可知,显然直线 AB 的斜率不等于 0.当直线 AB的斜率不存在时,A=(2,22),B=(2,22),所以|
6、MA|=|MB|=22,则1|MA|2+1|MB|2=14.当直线 AB 的斜率存在时,过 A 作 x 轴的垂线,垂足为为 A,过 B 作 x 轴的垂线,垂足为为 B.设 A=(y214,y1),B=(y224,y2),由 AAM和 BBM 相似,有AABB=AMBM,则|y1y2|=|y214 2y224 2|,化30中学数学研究2024 年第 3 期(上半月刊)简得 y1y2=8.下同解法 3,因此1|MA|2+1|MB|2为定值14.评析 作垂线并利用三角形相似是几何法解决圆锥曲线常采用的手段.解法 5(直线参数方程)设直线AB 的方程为x=2+tcos,y=tsin,(t为参数,为直线
7、AB 的倾斜角),代入y2=4x,得sin2t24cost8=0,t1+t2=4cossin2,t1t2=8sin2,则1|MA|2+1|MB|2=1t21+1t22=cos2+sin24=14.因此1|MA|2+1|MB|2为定值14.评析题目中出现|MA|,|MB|,点 M 又是定点,自然想到直线参数方程中 t 的几何意义,利用参数方程法可以把目标式子直接化为韦达定理形式,计算简洁高效.3 拓展推广2023 年宜春十校联考第 11 题已知的抛物线可以改为一般的抛物线,M(2,0)改为 M(p,0),可以得到一般性的结论.定理 1已知抛物线 C:y2=2px,A(x1,y1),B(x2,y2
8、)是 C 上两点,若直线 AB 过点 M(p,0),则1|MA|2+1|MB|2=1p2.证明 设直线 AB 的方程为x=p+tcos,y=tsin,(t 为参数,为直线 AB 的倾斜角),代入 y2=2px,得sin2t22pcost2p2=0,t1+t2=2pcossin2,t1t2=2p2sin2,则1|MA|2+1|MB|2=1t21+1t22=cos2+sin2p2=1p2.证毕.定理 1 条件不变,可以得到如下结论.定理 2已知抛物线 C:y2=2px,A(x1,y1),B(x2,y2)是 C 上 两 点,若 直 线 AB 过 定 点 M(p,0),则 存 在 点N(p,0),使得
9、 kNA+kNB=0,且1|MA|2+1|MB|2=1p2.证明 设直线 AB 的方程为x=p+tcos,y=tsin,(t 为参数,为直线 AB 的倾斜角),代入 y2=2px,得sin2t22pcost2p2=0,t1+t2=2pcossin2,t1t2=2p2sin2,设 A(p+t1cos,t1sin),B(p+t2cos,t2sin),则kNA+kNB=t1sin2p+t1cos+t2sin2p+t2cos=0.由定理 1 可得1|MA|2+1|MB|2=1p2.证毕.定理 2 的结论 kNA+kNB=0 作为条件,可得到如下结论.定理 3已知抛物线 C:y2=2px,过点 N(p,
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