“向左”还是“向右”——一道教师专业考试概率题引发的思考.pdf
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1、2024 年第 1 期(上半月刊)中学数学研究29“向左”还是“向右”一道教师专业考试概率题引发的思考浙江省湖州市滨湖高级中学(313000)郑梦华摘要文章以 2023 年湖州市教师专业考试一道马尔科夫链随机游动模型概率题为例,从“向左”、“向右”两种截然相反的思路进行探究和论证,发现“向左”方向的错误原因,并基于此对高考真题进行思考,总结出该类问题的解题方向并得到一些教学上的反思.关键词 马尔科夫链;随机游动;高考真题;教学反思近年,概率与统计题在新高考中的比重及难度都有所上升,2023 年新高考全国 卷中甚至以马尔科夫链为背景出现在压轴题.在 2023 年湖州市教师专业考试中,概率与统计题
2、又是一道以马尔科夫链随机游动模型为背景的试题,在考试过程中,笔者选择了“向左”方向,在与其他老师探讨时发现不少老师考虑的方向也是错误的“向左”,基于此,笔者在思考该方向到底错在哪里?其他马尔科夫链模型问题是该选择哪种思考方向?此时不免反思实际教学中该如何教会学生正确的思考方向,如何落实学生的核心素养,由此,得到一些建议与反思.1 原题呈现题目 1(2023 年湖州市教师考试第 20 题)甲、乙两人进行象棋比赛,赛前每人发 3 枚筹码.一局后负的一方需将自己的一枚筹码给对方;若平局,双方的筹码不动,当一方无筹码时,比赛结束,另一方最终获胜.由以往两人的比赛结果可知,在一局中甲胜的概率为 0.2、
3、乙胜的概率为 0.3.(1)第一局比赛后,甲的筹码个数记为 X,求 X 的分布列和期望;(2)若 Pi(i=0,1,2,3,4,5,6)表示“在甲所得筹码为i 枚时,最终甲获胜的概率”,则 P0=0,P6=1.证明:Pi+1 Pi(i=0,1,2,3,4,5)为等比数列.试题分析试题第(1)问求随机变量的分布列及其数学期望,属较易题,本文不再赘述.第(2)问其背景是双侧吸收壁的随机游走模型,考查的高中知识为全概率公式、贝叶斯公式及递推数列求通项公式,考查学生的数学抽象与逻辑推理核心素养,解决该试题的关键是将文字语言转化为数学语言.2 追本溯源2.1 问题背景定义(马尔科夫链)状态空间为有限集或
4、可列集的随机过程 Xt,t=0,1,2,若对于任何一列状态i0,i1,it1,i,j,Xt满足性质P Xt+1=j|X0=i0,Xt1=it1,Xt=i=P Xt+1=j|Xt=i,则称 Xt为马尔科夫链,简称马氏链.对于任意时期 t,若条件概率与初始时点无关,即 P(Xt+1=j|Xt=i)=P(Xt+2=j|Xt+1=i),则称 Xt为具有时间齐次性的马尔科夫链.考虑 x 轴上的一个质点,假设只能处于整数点,当 t=0时 x=i(i 0),每隔一个单位时间,它受到外力作用使得位置变化,假设单位时间后到达 i+1 的概率是 p,到达 i 1 的概率是q,还在i的概率为1pq,在x=0,x=M
5、(M i)处均有吸收壁,即质点到达 x=0 或 x=M 就不再游动,这个模型称为带有两侧吸收壁的随机游动模型.2.2 教材背景溯源 1(2019 人教 A 版选择性必修三第 81 页第 3 题)一个质点在随机外力的作用下,从原点 O 出发,每隔 1s 等可能地向左或向右移动一个单位,共移动 6 次.求下列事件的概率.(1)质点回到原点;(2)质点位于 4 的位置.溯源 2(2019 人教 A 版选择性必修三第 91 页第 10 题)甲、乙、丙三人相互做传球训练,第 1 次由甲将求传出,每次传球时,传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.求 n 次传球后球在甲手中的概率.2.3 高考背景
6、溯源 3(2023 年新高考全国 卷第 21 题)甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为 0.6,乙每次投篮的命中率均为 0.8.由抽签确定第 1 次投篮的人选,第1 次投篮的人是甲、乙的概率各为 0.5.(1)求第 2 次投篮的人是乙的概率;(2)求第 i 次投篮的人是甲的概率;30中学数学研究2024 年第 1 期(上半月刊)(3)已知:若随机变量Xi服从两点分布,且P(Xi=1)=1 P(Xi=0)=qi,i=1,2,n,则 E(ni=1Xi)=ni=1qi.记前 n 次(即从第 1 次到第 n 次投篮)中甲投篮的
7、次数为 Y,求 E(Y).以马尔科夫链随机游走模型为背景的的高考真题还有许多,例如 2020 年江苏卷第 23 题、2019 年全国 卷理科第21 题.因此,研究高考真题与教材是教师和学生最重要的教学策略之一.3“向左”还是“向右”例 1 同题目 1.(2)的解析(“向右”,由已有的“甲有 i 个筹码”考虑可能发生的事件预测下一次的结果.)设事件 Ai表示“在甲所得筹码为 i 时,最终甲获胜的概率”,事件 B 表示“下一局甲获胜”,事件 C 表示“下一局双方平局”,事件 D 表示“下一局乙获胜”,由题意可知事件 B,C,D 两两互斥.pi=P(Ai)=P(Ai(B C D)=P(AiB)+P(
8、AiC)+P(AiD)=0.2pi+1+0.5pi+0.3pi1.思考 1 该方法是由本局的结果,即“甲有 i 枚筹码”,通过下一局比赛的所有可能从而预测出下一局的结果,笔者不免思考,为什么不能考虑由上一局比赛情况得到本局的结果,于是便有下述“向左”错解.错解(“向左”,由已有的“甲有 i 个筹码”考虑已确定的上一次的结果.)设事件 Ai表示“在甲所得筹码为 i 时,最终甲获胜的概率”,事件 B 表示“上一局甲获胜”,事件 C 表示“上一局双方平局”,事件 D 表示“上一局乙获胜”,由题意可知事件 B,C,D 两两互斥.pi=P(Ai)=P(Ai(B C D)=P(AiB)+P(AiC)+P(
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