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2022版高考物理一轮复习 第4章 曲线运动 万有引力与航天 第3节 圆周运动教案

2022版高考物理一轮复习 第4章 曲线运动 万有引力与航天 第3节 圆周运动教案

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第3节　圆周运动

一、匀速圆周运动及其描述
1．匀速圆周运动
(1)定义：做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的圆弧长相等，就是做匀速圆周运动。
(2)特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动。
(3)条件：合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心。
2．描述圆周运动的物理量
物理量
意义、方向
公式、单位
线速度(v)
①描述圆周运动的物体运动快慢的物理量
②是矢量，方向和半径垂直，和圆周相切
①v＝＝
②单位：m/s
角速度(ω)
①描述物体绕圆心转动快慢的物理量
②中学不研究其方向
①ω＝＝
②单位：rad/s
周期(T)和转速(n)或频率(f)
①周期是物体沿圆周运动一周的时间
②转速是物体单位时间转过的圈数；频率是单位时间内运动重复的次数
①T＝
单位：s
②n的单位：r/s、
r/min，f的单位：Hz
向心加速度(a)
①描述速度变化快慢的物理量
②方向指向圆心
①a＝＝rω2
②单位：m/s2
二、匀速圆周运动的向心力
1．作用效果
向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小。
2．大小
F＝m＝mω2r＝mr＝mωv＝4π2mf2r。
3．方向
始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力。
4．来源
向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力的分力提供。
三、离心现象
1．现象
做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动。
2．受力特点及轨迹

①当Fn＝mω2r时，物体做匀速圆周运动。
②当Fn＝0时，物体沿切线方向飞出。
③当Fn＜mω2r时，物体逐渐远离圆心，做离心运动。
④当Fn＞mω2r时，物体逐渐靠近圆心，做近心运动。

一、思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
1．匀速圆周运动是匀加速曲线运动。 (×)
2．做匀速圆周运动的物体的向心加速度与半径成反比。 (×)
3．做匀速圆周运动的物体所受合外力为变力。 (√)
4．做圆周运动的物体所受到的合外力不一定等于向心力。 (√)
5．做离心运动的物体是由于受到离心力的作用。 (×)
6．赛车转弯时冲出赛道是因为沿转弯半径向内的静摩擦力不足以提供向心力。 (√)
二、走进教材
1．(人教版必修2P25T3改编)如图所示，小物体A与水平圆盘保持相对静止，跟着圆盘一起做匀速圆周运动，则A受力情况是(　　)

A．重力、支持力
B．重力、向心力
C．重力、支持力、指向圆心的摩擦力
D．重力、支持力、向心力、摩擦力
C　[物体在水平面上，一定受到重力和支持力作用，物体在转动过程中，有背离圆心的运动趋势，因此受到指向圆心的静摩擦力，且静摩擦力提供向心力，故C正确。]
2．(粤教版必修2P37T2)(多选)如图为甲、乙两球做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的关系图线，甲图线为双曲线的一支，乙图线为直线。由图象可以知道(　　)

A．甲球运动时，线速度的大小保持不变
B．甲球运动时，角速度的大小保持不变
C．乙球运动时，线速度的大小保持不变
D．乙球运动时，角速度的大小保持不变
AD　[题图的图线甲中a与r成反比，由a＝可知，甲球的线速度大小不变，由v＝ωr可知，随r的增大，角速度逐渐减小，A正确，B错误；题图的图线乙中a与r成正比，由a＝ω2r可知，乙球运动的角速度大小不变，由v＝ωr可知，随r的增大，线速度大小增大，C错误，D正确。]
3．(人教版必修2P25T2改编)(多选)如图所示，两个圆锥内壁光滑，竖直放置在同一水平面上，圆锥母线与竖直方向夹角分别为30°和60°，有A、B两个质量相同的小球在两圆锥内壁等高处做匀速圆周运动，下列说法正确的是(　　)

A．A、B球受到的支持力之比为∶3
B．A、B球的向心力之比为∶1
C．A、B球运动的角速度之比为3∶1
D．A、B球运动的线速度之比为1∶1
CD　[设小球受到的支持力为FN，向心力为F，则有FNsin θ＝mg，FNA∶FNB＝∶1，选项A错误；F＝，FA∶FB＝3∶1，选项B错误；小球运动轨道高度相同，则半径R＝htan θ，RA∶RB＝1∶3，由F＝mω2R得ωA∶ωB＝3∶1，选项C正确；由v＝ωR得vA∶vB＝1∶1，选项D正确。]

描述圆周运动的物理量　
1．(多选)火车以60 m/s的速率转过一段弯道，某乘客发现放在桌面上的指南针在10 s内匀速转过了约10°。在此10 s时间内，火车(　　)
A．运动路程为600 m B．加速度为零
C．角速度约为1 rad/s D．转弯半径约为3.4 km
AD　[由s＝vt知，s＝600 m，故A正确；火车在做匀速圆周运动，加速度不为零，故B错误；由10 s内转过10°知，角速度ω＝ rad/s＝ rad/s≈0.017 rad/s，故C错误；由v＝rω知，r＝＝ m≈3.4 km，故D正确。]
2.(多选)(2020·枣庄模拟)如图所示是一个玩具陀螺，a、b和c是陀螺上的三点。当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是(　　)

A．a、b两点的线速度相同
B．a、b两点的线速度比c点的线速度大
C．a、b、c三点的角速度相等
D．c点的向心加速度比a、b点的向心加速度大
BC　[a、b、c三点共轴，故ωa＝ωb＝ωc，故C正确；由于角速度相等，又因为v＝ωr，ra＝rb>rc，所以a、b两点的线速度大小相等，但方向不同，即va＝vb>vc，故A错误，B正确；根据a＝ω2r可知，由于角速度相同，ra＝rb>rc，故有：aa＝ab>ac，故D错误。]
3.某机器的齿轮系统如图所示，中间的轮叫作太阳轮，它是主动轮。从动轮称为行星轮，主动轮、行星轮与最外面的大轮彼此密切啮合在一起，如果太阳轮一周的齿数为n1，行星轮一周的齿数为n2，当太阳轮转动的角速度为ω时，最外面的大轮转动的角速度为(　　)

A．ω B．ω
C．ω D．ω
A　[由行星轮、主动轮、最外面的大轮三部分彼此密切啮合在一起可知，齿轮的周长之比等于齿数之比。大轮、太阳轮、行星轮分别用A、B、C表示，＝，所以＝，则＝＝，因为三轮彼此密切啮合在一起，三轮转动的线速度相等，则角速度与半径成反比，即＝＝，得到ωA＝ω，A项正确。]
4.(多选)如图所示，有一皮带传动装置，A、B、C三点到各自转轴的距离分别为RA、RB、RC，已知RB＝RC＝，若在传动过程中，皮带不打滑。则(　　)

A．A点与C点的角速度大小相等
B．A点与C点的线速度大小相等
C．B点与C点的角速度大小之比为2∶1
D．B点与C点的向心加速度大小之比为1∶4
BD　[处理传动装置类问题时，对于同一根皮带连接的传动轮边缘的点，线速度相等；同轴转动的点，角速度相等。对于本题，显然vA＝vC，ωA＝ωB，选项B正确。根据vA＝vC及关系式v＝ωR，可得ωARA＝ωCRC，又RC＝，所以ωA＝，选项A错误。根据ωA＝ωB，ωA＝，可得ωB＝，即B点与C点的角速度大小之比为1∶2，选项C错误。根据ωB＝及关系式a＝ω2R，可得aB＝，即B点与C点的向心加速度大小之比为1∶4，选项D正确。]

1．圆周运动各物理量间的关系

2．常见的三种传动方式及特点
类型
模型
模型解读
皮带传动

皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB
摩擦(或齿轮)传动

两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB
同轴传动

绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比
水平面内的匀速圆周运动　
1．向心力的确定
(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置。
(2)分析物体的受力情况，所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力。
2．六种常见的向心力实例
运动模型
①飞机水平转弯
②火车转弯
③圆锥摆
向心力的来源图示

运动模型
④飞车走壁
⑤汽车在水平路面转弯
⑥光滑水平转台
向心力的来源图示

　(多选)如图叠放在水平转台上的物体A、B、C正随转台一起以角速度ω匀速转动(没发生相对滑动)，A、B、C的质量分别为3m、2m、m，B与转台、C与转台、A与B间的动摩擦因数都为μ，B、C离转台中心的距离分别为r、1.5r，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，以下说法正确的是(　　)

A．B对A的摩擦力有可能为3μmg
B．C与转台间的摩擦力小于A与B间的摩擦力
C．转台的角速度ω有可能恰好等于
D．若角速度ω在题干所述基础上缓慢增大，A与B间将最先发生相对滑动
思路点拨：解此题关键有两点：
(1)物体随转台一起转动，具有相同的角速度。
(2)静摩擦力提供向心力。
BC　[对AB整体，有(3m＋2m)ω2r≤μ(3m＋2m)g；对物体C，有mω2(1.5r)≤μmg；对物体A，有3mω2r≤3μmg。联立解得：ω≤，即满足不发生相对滑动，转台的角速度ω≤，A与B间的静摩擦力最大值f＝3mω2r＝2μmg，故A错误，C正确；由于A与C转动的角速度相同，由摩擦力提供向心力，A所受摩擦力fA＝3mω2r，C所受摩擦力fC＝mω2(1.5r)＝1.5mω2r，则C与转台间的摩擦力小于A与B间的摩擦力，故B正确；据上述分析知，最先发生相对滑动的是物体C，故D错误。]
　求解水平圆周运动问题的思路

1．如图所示，图甲中汽车在水平路面转弯行驶，图乙中汽车在倾斜路面上转弯行驶。关于这两辆汽车的受力情况，以下说法正确的是(　　)

甲　　　　　　　　乙
A．两车都受到路面竖直向上的支持力作用
B．两车都一定受平行路面指向弯道内侧的摩擦力
C．甲车可能不受平行路面指向弯道内侧的摩擦力
D．图乙中的汽车可能受平行路面指向弯道外侧的摩擦力
D　[图甲中路面对汽车的支持力竖直向上；图乙中路面对汽车的支持力垂直路面斜向上，A错误。图甲中路面上的汽车受到路面指向圆心的摩擦力作为向心力。图乙中若路面的支持力与重力的合力提供向心力，即mgtan θ＝m，即v＝，则此时路面对车没有摩擦力作用；若v<，则图乙中的汽车受平行路面指向弯道外侧的摩擦力，B、C错误，D正确。]
2．(多选)(2020·湖南邵阳高三模拟)如图甲所示，杂技表演“飞车走壁”的演员骑着摩托车飞驶在圆台形筒壁上，筒的轴线垂直于水平面，圆台筒固定不动。现将圆台筒简化为如图乙所示，若演员骑着摩托车先后在A、B两处紧贴着内壁分别在图乙中虚线所示的水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是(不计摩擦)(　　)

甲　　　　　　乙
A．A处的线速度大于B处的线速度
B．A处的角速度小于B处的角速度
C．A处对筒的压力大于B处对筒的压力
D．A处的向心力等于B处的向心力
ABD　[对A、B两处演员和摩托车进行受力分析如图所示，两个支持力与竖直方向的夹角相等，均为θ，由于FN1cos θ＝mg，FN2cos θ＝mg，可知FN1＝FN2，根据牛顿第三定律，可知演员和摩托车对筒的压力相等，故C错误；两处支持力的水平分力等于向心力，因此两处向心力F也相等，D正确；根据F＝m可知F一定时，半径越大，线速度越大，故A处的线速度比B处的线速度大，A正确；根据F＝mω2r可知，半径越大，角速度越小，故A处的角速度比B处的角速度小，B正确。]
3．如图所示，用一根长为l＝1 m的细线，一端系一质量为m＝1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线对小球的拉力为FT。(g取10 m/s2，结果可用根式表示)

(1)若要小球离开锥面，则小球的角速度ω至少为多大？
(2)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω为多大？
[解析]　(1)若要小球刚好离开锥面，此时小球只受到重力和细线拉力，如图所示。小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平，在水平方向运用牛顿第二定律得
mgtan θ＝mω2lsin θ
解得ω2＝
即ω＝＝ rad/s。
(2)同理，当细线与竖直方向成60°角时，由牛顿第二定律得
mgtan α＝mω′2lsin α
解得ω′2＝
即ω′＝＝2 rad/s。
[答案]　(1) rad/s　(2)2 rad/s
竖直平面内的圆周运动　
1．竖直面内圆周运动的两类模型
一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等)，称为“绳(环)约束模型”，二是有支撑(如球与杆连接、在弯管内的运动等)，称为“杆(管)约束模型”。
2．竖直平面内圆周运动的两种模型特点及求解方法

“轻绳”模型
“轻杆”模型
图示

受力特征
物体受到的弹力方向为向下或等于零
物体受到的弹力方向为向下、等于零或向上
受力示意图

力学方程
mg＋FN＝m
mg±FN＝
临界特征
FN＝0
mg＝m
即vmin＝
v＝0
即F向＝0
FN＝mg
过最高点的条件
在最高点的速度v≥
在最高点的速度v≥0
　(多选)如图所示光滑管形圆轨道半径为R(管径远小于R)，小球a、b大小相同，质量相等，均为m，其直径略小于管径，能在管中无摩擦运动。两球先后以相同速度v通过轨道最低点，且当小球a在最低点时，小球b在最高点，以下说法正确的是(　　)

A．当v＝时，小球b在轨道最高点对轨道无压力
B．当小球b在最高点对轨道无压力时，在最低点的小球a比在最高点的小球b所需向心力大6mg
C．速度v至少为2，才能使两球在管内做圆周运动
D．只要v>，小球对轨道最低点的压力比小球对轨道最高点的压力都大5mg
思路点拨：(1)要使小球能通过最高点，只要小球的速度大于零即可。(2)当向心力等于重力时，小球对轨道没有压力。(3)由机械能守恒定律可求得小球在最低点时的速度。
AC　[小球在最高点恰好对轨道没有压力时，小球b所受重力充当向心力有mg＝m，小球b从最高点运动到最低点的过程中，只有重力做功，小球b的机械能守恒有2mgR＋mv＝mv2，联立以上两式可得v＝，选项A正确；小球a在最低点时F向＝m＝5mg，小球b在最高点恰好对轨道没有压力时，小球b所受重力mg充当向心力，所以所需向心力大小的差值为4mg，选项B错误；因小球在管内转动，则内管可对小球提供向上的支持力，故可看作杆模型，因为小球通过最高点的最小速度可为零，根据动能定理得mg·2R＝mv2－0，解得最小速度v＝＝2，选项C正确；若v>，在最高点时，管道对小球有向下的压力，由F1＋mg＝m，解得F1＝m－mg；在最低点时，管道对小球有向上的支持力，有F2－mg＝m，解得F2＝m＋mg，所以F2－F1＝2mg＋m－m，由机械能守恒定律可得mg·2R＝mv－mv，解得F2－F1＝6mg，根据牛顿第三定律得，只要v>，小球在最低点与最高点时对轨道的压力之差都等于6mg，选项D错误。]
　分析竖直平面内圆周运动临界问题的思路

　竖直平面内的“轻绳”模型
1.如图所示，杂技演员表演水流星节目。一根长为L的细绳两端系着盛水的杯子，演员握住绳中间，随着演员的抡动，杯子在竖直平面内做圆周运动，杯子运动中水始终不会从杯子洒出，设重力加速度为g，则杯子运动到最高点的角速度ω至少为(　　)

A． B．
C． D．
B　[杯子在竖直平面内做半径为的圆周运动，使水不流出的临界条件是在最高点重力提供向心力，则有mg＝，可得ω＝，故B正确，A、C、D错误。]
　竖直平面内轻“杆”模型
2．(2020·山东济南质检)如图甲所示，轻杆的一端固定一小球(可视为质点)，另一端套在光滑的水平轴O上，O轴的正上方有一速度传感器，可以测量小球通过最高点时的速度大小v；O轴处有一力传感器，可以测量小球通过最高点时O轴受到的杆的作用力F，若取竖直向下为F的正方向，在最低点时给小球不同的初速度，得到的F­v2(v为小球在最高点处的速度)图象如图乙所示，取g＝10 m/s2，则(　　)

甲　　　　　　　乙　　
A．O轴到小球的距离为0.5 m
B．小球的质量为3 kg
C．小球恰好通过最高点时的速度大小为5 m/s
D．小球在最低点的初速度大小为 m/s时，通过最高点时杆不受球的作用力
A　[小球在最高点时重力和杆的作用力的合力提供向心力，若v＝0，则F＝mg＝3 N，解得小球质量m＝0.3 kg，若F＝0，则mg＝m，代入数据解得R＝0.5 m，选项A正确，B错误；杆模型中，在最高点只要小球速度大于等于零，小球即可在竖直面内做圆周运动，选项C错误；设小球在最低点的初速度为v0，小球能上升的最大高度为h，根据机械能守恒定律得mv＝mgh，当v0＝ m/s时，h＝0.75 m<2R，小球不能到达最高点，选项D错误。]