2022版高考数学一轮复习-课后限时集训-9-函数的单调性与最值.doc
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2022版高考数学一轮复习 课后限时集训 9 函数的单调性与最值 2022版高考数学一轮复习 课后限时集训 9 函数的单调性与最值 年级: 姓名: 课后限时集训(九) 函数的单调性与最值 建议用时:40分钟 一、选择题 1.(多选)(2020·福建晋江惠安一中月考)下列函数中,在区间(0,1)上单调递减的是( ) A.y=|x| B.y=3-x C.y= D.y=-x2+4 BCD [当x∈(0,1)时,y=|x|=x,所以y=|x|在(0,1)上单调递增;y=3-x,y=在(0,1)上均单调递减;y=-x2+4的图象是开口向下,以直线x=0为对称轴的抛物线,所以y=-x2+4在(0,1)上单调递减.] 2.函数f(x)=-x+在上的最大值是( ) A. B.- C.-2 D.2 A [函数f(x)=-x+在(-∞,0)上是减函数,则函数f(x)在上的最大值为f(-2)=2-=,故选A.] 3.函数f(x)=x-|1-x|的单调递增区间为( ) A.(-∞,0) B.(-∞,1] C.(0,+∞) D.[1,+∞) B [f(x)=因此函数f(x)的单调递增区间为(-∞,1],故选B.] 4.已知函数f(x)=|x+a|在(-∞,-1)上是单调函数,则a的取值范围是 ( ) A.(-∞,1] B.(-∞,-1] C.[-1,+∞) D.[1,+∞) A [f(x)=由题意知-a≥-1,即a≤1,故选A.] 5.已知函数f(x)是定义在区间[0,+∞)上的函数,且在该区间上单调递增,则满足f(2x-1)<f 的x的取值范围是( ) A. B. C. D. D [因为函数f(x)是定义在区间[0,+∞)上的增函数,满足f(2x-1)<f . 所以0≤2x-1<, 解得≤x<.] 6.函数y=,x∈(m,n]的最小值为0,则m的取值范围是( ) A.(1,2) B.(-1,2) C.[1,2) D.[-1,2) D [∵函数y===-1,∴当x∈(-1,+∞)时,函数是减函数,又当x=2时,y=0,∴-1≤m<2,故选D.] 二、填空题 7.已知函数f(x)=ln x+x,若f(a2-a)>f(a+3),则正实数a的取值范围是________. (3,+∞) [因为f(x)=ln x+x在(0,+∞)上是增函数, 所以解得-3<a<-1或a>3. 又a>0,所以a>3.] 8.函数f(x)=-的值域为________. [-,] [因为 所以-2≤x≤4, 所以函数f(x)的定义域为[-2,4]. 又y1=,y2=-在区间[-2,4]上均为减函数, 所以f(x)=-在[-2,4]上为减函数, 所以f(4)≤f(x)≤f(-2). 即-≤f(x)≤ .] 9.(2020·长春模拟)若函数f(x)=在(-∞,+∞)上单调递增,则实数m的取值范围是________. (0,3] [由题意知解得0<m≤3.] 三、解答题 10.已知函数f(x)=-(a>0,x>0). (1)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数; (2)若f(x)在上的值域是,求a的值. [解] (1)证明:任取x1>x2>0, 则f(x1)-f(x2)=--+=, ∵x1>x2>0, ∴x1-x2>0,x1x2>0, ∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数. (2)由(1)可知,f(x)在上是增函数, ∴f =-2=,f(2)=-=2,解得a=. 11.设函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),F(x)= (1)若f(-1)=0,且对任意实数x均有f(x)≥0成立,求F(x)的解析式; (2)在(1)的条件下,当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围. [解] (1)∵f(-1)=0,∴b=a+1. 由f(x)≥0恒成立,知a>0且方程ax2+bx+1=0中Δ=b2-4a=(a+1)2-4a=(a-1)2≤0,∴a=1. 从而f(x)=x2+2x+1. ∴F(x)= (2)由(1)可知f(x)=x2+2x+1, ∴g(x)=f(x)-kx=x2+(2-k)x+1, 由g(x)在[-2,2]上是单调函数,知-≤-2或-≥2,得k≤-2或k≥6. 即实数k的取值范围为(-∞,-2]∪[6,+∞). 1.(多选)(2020·山东淄博实验中学期中)对于实数x,记[x]表示不超过x的最大整数,例如[π]=3,[-1.08]=-2,定义函数f(x)=x-[x],则下列说法中正确的是( ) A.f(-3.9)=f(4.1) B.函数f(x)的最大值为1 C.函数f(x)的最小值为0 D.方程f(x)-=0有无数个根 ACD [f(-3.9)=-3.9-[-3.9]=-3.9-(-4)=0.1,f(4.1)=4.1-[4.1]=4.1-4=0.1,A正确;显然x-1<[x]≤x,因此0≤x-[x]<1,∴f(x)无最大值,但有最小值且最小值为0,B错误,C正确;方程f(x)-=0的解为x=k+(k∈Z),D正确.故选ACD.] 2.设函数f(x)=g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的递减区间是________. [0,1) [由题意知g(x)=函数图象如图所示, 其递减区间是[0,1).] 3.已知f(x)=,x∈[1,+∞). (1)当a=时,用定义证明函数的单调性并求函数f(x)的最小值; (2)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围. [解] (1)当a=时,f(x)=x++2,任取1≤x1<x2,则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+=. 因为1≤x1<x2,所以x1x2>1,所以2x1x2-1>0. 又x1-x2<0,所以f(x1)<f(x2),所以f(x)在[1,+∞)上是增函数,所以f(x)在[1,+∞)上的最小值为f(1)=. (2)因为在区间[1,+∞)上,f(x)=>0恒成立, 则⇔等价于a大于函数φ(x)=-(x2+2x)在[1,+∞)上的最大值. 因为φ(x)=-(x+1)2+1在[1,+∞)上单调递减,所以当x=1时,φ(x)取最大值为φ(1)=-3,所以a>-3,故实数a的取值范围是(-3,+∞). 1.(多选)(2020·济南市期末)对于定义域为D的函数f(x),若存在区间[m,n]⊆D,同时满足下列条件: ①f(x)在[m,n]上是单调的,②当定义域是[m,n]时,f(x)的值域也是 [m,n],则称[m,n]为该函数的“和谐区间”.下列函数存在“和谐区间”的是( ) A.f(x)=x3 B.f(x)=3- C.f(x)=ex-1 D.f(x)=ln x+2 ABD [对于A,y=x3在R上单调递增,若存在区间[m,n],m<n,使解得或所以存在区间[-1,0],[-1,1],[0,1]满足条件,所以A存在“和谐区间”;对于B,f(x)=3-在(-∞,0)和(0, +∞)上单调递增,设m<n<0或0<m<n,满足解得所以存在区间[1,2]满足条件,所以B存在“和谐区间”;对于C,y=ex-1在R上单调递增,若存在区间[m,n],m<n,使即ex=x+1有两个不等实数根,但函数y=ex的图象与直线y=x+1相切于点(0,1),所以ex=x+1没有两个不等实数根,所以C不存在“和谐区间”;对于D,y=ln x+2在(0,+∞)上单调递增,若存在区间[m,n],m<n,使即ln x+2=x有两个不等实数根,转化为ln x=x-2,即y=ln x的图象与直线y=x-2有两个不同的交点,易知满足条件,所以D存在“和谐区间”.故选ABD.] 2.已知定义在R上的函数f(x)满足①f(x+y)=f(x)+f(y)+1;②当x>0时,f(x)>-1. (1)求f(0)的值,并证明f(x)在R上是单调递增函数. (2)若f(1)=1,解关于x的不等式f(x2+2x)+f(1-x)>4. [解] (1)令x=y=0,得f(0)=-1. 在R上任取x1>x2,则x1-x2>0,f(x1-x2)>-1. 又f(x1)=f[(x1-x2)+x2]=f(x1-x2)+f(x2)+1>f(x2), 所以函数f(x)在R上是单调递增函数. (2)由f(1)=1,得f(2)=3,f(3)=5. 由f(x2+2x)+f(1-x)>4, 得f(x2+2x)+f(1-x)+1>5, 即f(x2+x+1)>f(3), 又函数f(x)在R上是增函数,故x2+x+1>3, 解得x<-2或x>1, 故原不等式的解集为{x|x<-2或x>1}.- 配套讲稿:
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