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2022版高考数学一轮复习 第2章 函数的概念与性质 第2节 函数的单调性与最值学案新人教B版

2022版高考数学一轮复习 第2章 函数的概念与性质 第2节 函数的单调性与最值学案新人教B版

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第2节　函数的单调性与最值

一、教材概念·结论·性质重现
1．增函数与减函数的定义
条件
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，且I⊆D：如果对任意x1，x2∈I，当x1<x2时
都有f(x1)<f(x2)
都有f(x1)>f(x2)
结论
y＝f(x)在I上是增函数(也称在I上单调递增)
y＝f(x)在I上是减函数(也称在I上单调递减)
2．函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在I上具有单调性(当I为区间时，称I为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间)．

1．单调递增(减)函数定义中的x1，x2的三个特征
一是任意性；二是有大小，即x1<x2(x1>x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可．
2．增、减函数定义的等价形式
对于∀x1，x2∈I，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0(<0)或>0(<0)，则函数f(x)在I上单调递增(减)．
3．函数的最值

最大值
最小值
条件
一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D；如果对任意x∈D
都有f(x)≤f(x0)
都有f(x)≥f(x0)
结论
称f(x)的最大值为f(x0)，而x0称为f(x)的最大值点
称f(x)的最小值为f(x0)，而x0称为f(x)的最小值点
统称
最大值和最小值统称为最值
最大值点和最小值点统称为最值点
4．平均变化率与函数单调性
(1)若I是函数y＝f(x)的定义域的子集，对任意x1，x2∈I且x1≠x2，记y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，＝，则：
①y＝f(x)在I上是增函数的充要条件是>0在I上恒成立；
②y＝f(x)在I上是减函数的充要条件是<0在I上恒成立．
(2)一般地，当x1≠x2时，称＝为函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1＜x2时)或[x2，x1](x1＞x2时)上的平均变化率．通常称Δx为自变量的改变量，Δy为因变量的改变量．

函数最值存在的两条结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)函数y＝的单调递减区间是(－∞， 0)∪(0, ＋∞)．( × )
(2)若函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则函数f(x)的单调递增区间是[1，＋∞)．( × )
(3)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是单调递增的，则这个函数在定义域上是增函数．( × )
(4)所有的单调函数都有最值．( × )
2．函数y＝x2－5x－6在区间[2,4]上(　　)
A．递减 B．递增
C．先递减再递增 D．先递增再递减
C　解析：作出函数y＝x2－5x－6的图像(图略)知开口向上，且对称轴为x＝，所以函数在区间[2,4]上先减后增．故选C.
3．下列函数中，定义域是R且为增函数的是(　　)
A．y＝e－x
B．y＝x3
C．y＝ln x
D．y＝|x|
B　解析：由所给选项知只有y＝x3的定义域是R且为增函数．故选B.
4．函数y＝在[2,3]上的最小值为(　　)
A．2 B．
C． D．－
B　解析：因为y＝在[2,3]上单调递减，所以ymin＝＝.故选B.
5．若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a的值为________．
－6　解析：由图像(图略)易知函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是.令－＝3，得a＝－6.

考点1　函数的单调性(单调区间)——基础性

1．函数f(x)＝|x2－3x＋2|的单调递增区间是(　　)
A．
B．和[2，＋∞)
C．(－∞，1]和
D．和[2，＋∞)
B　解析：y＝|x2－3x＋2|＝
如图所示，

函数的单调递增区间是和[2，＋∞)．
2．函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，－2) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)
D　解析：函数y＝x2－2x－8＝(x－1)2－9图像的对称轴为直线x＝1.由x2－2x－8>0，解得x>4或x<－2，所以(4，＋∞)为函数y＝x2－2x－8的一个单调递增区间．根据复合函数的单调性可知，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间为(4，＋∞)．
3．(多选题)下列函数中，满足“∀x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0”的是(　　)
A．f(x)＝2x B．f(x)＝|x－1|
C．f(x)＝－x D．f(x)＝ln(x＋1)
AD　解析：由(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0可知，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，A，D选项中，f(x)为增函数；B中，f(x)＝|x－1|在(0，＋∞)上不单调；C中，因为y＝与y＝－x在(0，＋∞)上单调递减，因此f(x)在(0，＋∞)上是减函数．故选AD.
4．试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性．
解：(方法一：定义法)
设－1<x1<x2<1，f(x)＝a＝a，
则f(x1)－f(x2)＝a－a
＝.
因为－1<x1<x2<1，
所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0.
故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；
当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．
(方法二：导数法)
f′(x)＝＝
＝－.
当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；
当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．

判断函数的单调性和求单调区间的方法
定义法
一般步骤为设元—作差—变形—判断符号—得出结论
图像法
若f(x)是以图像形式给出的，或者f(x)的图像易作出，则可由图像的上升或下降判断函数的单调性
导数法
先求导数，再利用导数值的正负确定函数的单调区间
性质法
对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各基本初等函数的增减性及“增＋增＝增，增－减＝增，减＋减＝减，减－增＝减”进行判断
复合法
对于复合函数，先将函数f(g(x))分解成f(t)和t＝g(x)，然后讨论(判断)这两个函数的单调性，再根据复合函数“同增异减”的规则进行判断
考点2　函数的最值(值域)——综合性

(1)函数y＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为________．
3　解析：(方法一)函数y＝作出函数的图像如图所示．

根据图像可知，函数y＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为3.
(方法二)利用绝对值不等式的性质．y＝|x＋1|＋|x－2|＝|x＋1|＋|2－x|≥|x＋1＋2－x|＝3.故函数的最小值为3.
(2)函数f(x)＝x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．
3　解析：由于y＝x在[－1,1]上单调递减，y＝log2(x＋2)在[－1,1]上单调递增，所以f(x)在[－1,1]上单调递减，故f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝3.
(3)函数f(x)＝的最大值为________．
4　解析：当x≤0时，f(x)＝－x2－4x＝－(x＋2)2＋4，而－2∈(－∞，0]，此时f(x)在x＝－2处取得最大值，且f(－2)＝4；当x>0时，f(x)＝sin x，此时f(x)在区间(0，＋∞)上的最大值为1.综上所述，函数f(x)的最大值为4.

求函数最值的五种常用方法及其思路
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．
(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，得出最值．
(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
(4)分离常数法：求形如y＝(ac≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解．
(5)均值不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用均值不等式求出最值．

1．函数y＝的值域为________．
[－1,1)　解析：由y＝，可得x2＝.由x2≥0，知≥0，解得－1≤y<1.故所求函数的值域为[－1,1)．
2．函数y＝x＋的最大值为________．
　解析：由1－x2≥0，可得－1≤x≤1.令x＝cos θ，θ∈[0，π]，则y＝cos θ＋sin θ＝sin，θ∈[0，π]，
所以－1≤y≤，故原函数的最大值为.
3．当－3≤x≤－1时，函数y＝的最小值为________．
　解析：由y＝，可得y＝－.因为－3≤x≤－1，所以≤－≤，所以≤y≤3.
所以所求函数的最小值为.
考点3　函数单调性的应用——应用性

考向1　比较函数值的大小
设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　)
A．f(π)>f(－3)>f(－2)
B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)<f(－3)<f(－2)
D．f(π)<f(－2)<f(－3)
A　解析：因为f(x)是偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．又因为函数f(x)在[0，＋∞)单调递增．所以f(π)>f(3)>f(2)，即f(π)>f(－3)>f(－2)．

比较函数值大小的解题思路
比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用函数的性质，转化到同一个单调区间内进行比较．对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图像法求解．
考向2　解不等式
已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是_____．
(－， －2)∪(2, )　解析：因为函数f(x)＝ln x＋2x在定义域上单调递增，且f(1)＝ln 1＋2＝2.由f(x2－4)<2得f(x2－4)<f(1)．
所以0<x2－4<1，解得－<x<－2或2<x<.

求解含“f”的不等式的思路
先利用函数的相关性质将不等式转化为f(g(x))>f(h(x))的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)>h(x)(或g(x)<h(x))．
考向3　利用函数的单调性求参数(范围)
函数f(x)＝满足对任意的实数x1≠x2都有>0成立，则实数a的取值范围为________．
[4,8)　解析：由题意，函数f(x)在(－∞，1]和(1，＋∞)上分别单调递增，且f(x)在(－∞，1]上的最高点不高于其在(1，＋∞)上的最低点，即解得4≤a<8.

利用单调性求参数的范围(或值)的方法
(1)视参数为已知数，依据函数的图像或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．
(2)需注意，若分段函数在R上是单调的，则该函数在每一段上具有相同的单调性，还要注意分界点处的函数值大小．

1．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)，且在[－1,0]上单调递减．设a＝f()，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．b<c<a B．a<b<c
C．b<a<c D．a<c<b
C　解析：因为偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为2，则a＝f()＝f(－2)，b＝f(2)＝f(0)，c＝f(3)＝f(－1)．因为－1<－2<0，且函数f(x)在[－1,0]上单调递减，所以b<a<c.故选C.
2．定义在[－2,2]上的函数f(x)满足(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，x1≠x2，且f(a2－a)>f(2a－2)，则实数a的取值范围为________．
[0,1)　解析：因为函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，x1≠x2，所以函数f(x)在[－2,2]上单调递增，所以－2≤2a－2<a2－a≤2，解得0≤a<1.
3．设函数f(x)＝若函数f(x)在区间(a, a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
(－∞，1]∪[4，＋∞)　解析：作出函数f(x)的图像如图所示．

由图像可知，若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4.