本科毕业论文---基于lmi的单级倒立摆鲁棒控制器设计.doc

北华大学学士学位论文

毕业设计（论文）说明书

题目名称： 基于LMI的单级倒立摆鲁棒控制器设计
学 院： 机械工程学院
专业年级： 机械设计制造及其自动化11级
姓 名： 梁钜锋
班级学号： 机设11-02-04
指导教师： 张泽健

二○一五 年 六 月 三 日

北华大学学士学位论文

摘 要
倒立摆控制系统是一个多变量、高阶次、非线性和强耦合的典型不稳定控制系统，它的各项参数具有不确定性，同时还受到不确定因素的干扰。倒立摆是各界学者公认的典型教学和科研设备，也是控制理论教学中具有代表性的被控对象。通过对倒立摆控制系统的研究可以有效解决控制环节中的理论问题，也是实现理论通往实践的桥梁。
本文首先简单介绍倒立摆控制系统的实验设备，了解其性能控制的理论、方法和研究过程；利用牛顿—欧拉方法对倒立摆系统进行建模，得出一个非线性的数学模型；在平衡点附近提出假设，对模型做了线性化处理；然后，利用LMI方法（线性矩阵不等式法）设计了状态反馈控制器，给出系统具有性能的线性矩阵不等式的条件，并用倒立摆系统实例及其仿真来验证设计方法的有效性和优越性。用SolidWorks软件做了三维建模；完成了模型的ADAMS建模和动力学仿真，得到了摆杆速度、小车位移和小车加速度的函数图像，并输出了仿真动画。浅谈控制器增益在加法式摄动下的非脆弱鲁棒控制问题；基于LMI理论（线性矩阵不等式法），提出了非脆弱鲁棒控制器存在的充分条件，利用Matlab中的LMI工具箱求解了控制器的特征值。在设计状态反馈控制器时，本文采用求解Riccati方程的方法。由于对广义被控对象来说，评价指标的确定就成为系统设计的关键，因此本文综合考虑各方面问题，结合实际情况，在理论分析和仿真过程中反复验证，得出了比较合理的参数，保证了设计状态反馈控制器的合理及有效性。

关键词：控制；倒立摆；状态反馈； ADAMS仿真； LMI方法。

Abstract
The control of inverted pendulum system is a multivariable, high-order, nonlinear and strong coupling of typical unstable control system and its parameters with uncertainty, but also by the uncertain factors of interference. The inverted pendulum is a typical teaching and research equipment recognized by scholars from all walks of life, and it is also the representative object of the control in the teaching of control theory.. The research on the control system of the inverted pendulum can effectively solve the theoretical problems in the control link, and also the bridge to achieve the theory to practice.
firstly, this paper simply introduced the inverted pendulum control system experimental equipment and understand the performance of control theory, method and research process; modeling of the inverted pendulum system by Newton Euler method, get a nonlinear mathematical model; in the vicinity of the equilibrium point hypothesis, the linearization of the model; then, using LMI (linear matrix inequality method) to design the state feedback controller, gives the system with performance in terms of linear matrix inequality conditions and inverted pendulum system as an example and simulation to verify the effectiveness and superiority of the design method. SolidWorks software is used to do 3D modeling; model by Adams dynamics modeling and simulation, the pendulum rod speed, the displacement of the car and the car acceleration as a function of image, and the output of the simulation animation. On the gain of the controller in addition to the perturbation of non fragile robust control problems; based on the theory of LMI (linear matrix inequality method) proposed non fragile sufficient conditions for the existence of robust controller, using the MATLAB LMI toolbox to solve the characteristics of the controller values. In the design of state feedback controller, the method of solving Riccati equation is adopted.. As for generalized controlled object, the evaluation index of the identified has become the key to the system design. Therefore, this paper considers all aspects of the problem, combined with the actual situation, in the theoretical analysis and the simulation process repeated verification, obtained the reasonable parameters, guarantee the design the state feedback controller is reasonable and effective.

Keywords: control, inverted pendulum, state feedback, ADAMS simulation, LMI method.

目　录
第一章　引言 1
1.1研究的目的及意义 1
1.2国内外的研究现状 2
1.2.1倒立摆控制系统的研究历程 2
1.2.2倒立摆控制系统的工程背景 2
1.3鲁棒控制理论的发展 3
1.4控制理论 4
第二章　预备知识 6
2.1倒立摆控制系统概述 6
2.2Lyapunov稳定性理论概述 6
2.2.1稳定性的概念 6
2.2.2Lyapunov稳定性定理 7
2.2.3Lyapinov函数的构造 8
2.3线性矩阵不等式(LMI)方法 8
2.3.1线性矩阵不等式(LMI)方法概述 8
2.3.2 LMI工具箱介绍 8
2.3.3线性矩阵不等式编辑器——LMIEDITl 9
2.4鲁棒控制理论基础 10
2.5MATLAB简介及基础知识 11
第三章　单级倒立摆实验系统研究 13
3.1单级倒立摆的实验设备 13
3.2机械系统分析 13
3.3执行机构 14
3.4传感器检测及其接口电路设计 15
3.5直线一级倒立摆的牛顿—欧拉方法建模 15
3.6倒立摆控制方法 16
第四章　单级倒立摆的鲁棒控制器设计 17
4.1控制器设计方案探索 17
4.2基于LMI 的状态反馈控制器的设计 17
4.3仿真及其结果 18
4.3.1系统组成及建模 19
4.3.2仿真结果 20
第五章　单级倒立摆的ADAMS仿真 22
5.1仿真流程 22
5.2基于SolidWorks的单级倒立摆三维建模 22
5.3基于ADAMS的单级倒立摆建模 23
5.4单级倒立摆的ADAMS动态仿真 25
5.4.1运行仿真计算 25
5.4.2结果后处理 25
第六章　浅谈非脆弱性鲁棒控制器设计 27
6.1非脆弱鲁棒控制器方案描述 27
6.2非脆弱鲁棒控制问题的求解 28
总结 39
致谢 30
参考文献 31
附录 33

北华大学学士学位论文
第一章 引 言
1.1研究的目的及意义
倒立摆控制系统是以倒立摆装置为被控对象的一个不确定性系统，具有非线性、不稳定、复杂多变量和强耦合等特征。为开展控制控制理论实验提供了理想的教学平台。深入研究倒立摆控制系统能有效的反映工程控制中 的许多典型问题：例如鲁棒性问题、镇定问题、随动问题、跟踪问题以及非线性问题等[1]。通过控制倒立摆，能够有效的检验新的控制方法，验证其是否具有较强的处理不稳定性和非线性问题能力。此外，它的控制方法在航天航空、军工、机器人以及一般的工业过程中具有广泛的应用，如运载火箭在发射时的垂直度控制、各种机器人行走过程中的平衡控制和太空中卫星飞行所需的姿态控制等。
在控制领域，国内外的专家、学者一直将倒立摆控制系统视为典型的研究对象，近些年来对倒立摆控制系统的稳定性以及鲁棒的镇定研究越来越火热，都在试图寻找不同的控制方法实现教学和工程实际的新突破。所以，倒立摆原理的深入研究具有重要的理论和实际意义，也必将成为控制理论中经久不衰的研究课题。
研究倒立摆这样的一个典型的被控对象，不管是在理论上还是方法上都具有非常重要的意义。各种控制理论和方法都可以在这里得以充分实践，并且可以促成相互间的有机结合。对人类控制能力的有力挑战除了它的级数增加所产生的控制难度外，更重要的是研究其控制稳定的过程中不断开发新的控制理论和方法，并设法在更广泛的受控对象中实践、应用新的控制方法。
一种控制理论的正确性和在实际应用中的可行性的验证，在控制理论发展的过程中，通常是将一个按其理论设计的控制器用于控制一个典型对象进而根据结果验证这一理论。倒立摆控制系统就是这样一个典型而特殊的被控对象。最初分析研究倒立摆控制系统是在二十世纪的五十年代，它是稳定控制中控制理论应用的一个典型范例， 是一个多变量、不稳定、具有非线性和强耦合特性的比较复杂的高阶机械系统。 分析存在严重的不确定性倒立摆控制系统，发现不仅系统的参数具有不确定性，而且系统还受到许多不确定因素的干扰。一次继续研究倒立摆控制系统一来可以解决控制中的理论性问题，二来也能将控制理论涉及的相关主要学科进行综合应用，如：数学、机械、电学、计算机和力学等。在多种控制理论及方法的研究和应用中，尤其是在存在一种可行性的实验问题的实际工程中，其理论和方法得到了有效的验证。
理论是工程的先导，倒立摆控制系统提供一个桥梁使控制理论通过实践不断应用于工程领域。所以研究倒立摆控制系统除了其深刻的理论意义，还有重要的工程背景。由于大多数的工程系统都在变化的环境中运行，系统不确定性是普遍存的，不可能用精确的数学模型描述系统中的动态特性，这是不现实的。比如机器人传感器噪声和外部扰动，未知参数变化、调整和控制对象的模型化误差等。鲁棒控制却能够实现这些目标。所以，实现控制系统的设计，要求在未知不确定性存在的情况下也能使系统稳定，并保持所希望的性能。试图描述被控对象模型的不确定性是鲁棒控制的核心，且能估计达到控制目标所留有的自由度，即使在某些特定界限下[2]。基于日常生活中出现的所有重心在上、支点在下的平衡性控制问题，甚至各类伺服云台和太空飞行器的稳定等与倒立摆的控制均有相当的类比性，那么在工程实际中它的稳定控制有很多用途。例如：代步车运行过程中的平衡控制和高精度零件的加工；航空对接控制、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制；飞机安全着陆、起重平台的稳定控制和航空运载的姿态控制；海上钻井平台的稳定控制、造船领域控制等。
1.2国内外的研究现状
1.2.1倒立摆控制系统的研究历程
从地域上看，目前研究倒立摆这一领域的学府和机构主要集中在亚洲，日本有三所，韩国的两所。而在中国也有主要的三所高校：北师大、北航[3]和中科大[4]。此外，在欧洲有俄罗斯的圣彼得堡大学、俄罗斯科学院、波兰的波兹南技术大学和意大利的佛罗伦萨大学，在美国的东佛罗里达大学里设有专门的实验室，并有一批专家长期保持对这个领域的研究。目前，在专家和学者的不断研究及创新下出现了不少成果，各式各样类型倒立摆相继问世。国内高校实验室、研究室及教学基地基本上都采用香港固高公司和加拿大Quanser公司生产的系统[5、6]；我校工程训练中心三楼倒立摆实验室用的就是香港固高公司的产品。其它一些生产厂家还包括（韩国）奥格斯科技发展有限公司（FT-4820型倒立摆）、保定航空技术实业有限公司等。倒立摆的研究正在不断突破，其控制理论也在不断发展和完善。未来，在工程实际中，特别是平衡控制领域，倒立摆的应用将越来越广泛。
从时间上看，研究倒立摆的历时我们可以追溯至20世纪50年。当时Cannon等人应用Bang-Bang控制理论，将一个曲轴稳定于倒置位置研究平衡控制问题。这也是最初的倒立摆模型。几年后，倒立摆就被作为一个典型的不稳定、非线性系统而提出。至今为止，倒立摆系统的研究一直是控制领域所关注的焦点。早期的研究以直线倒立摆建模和摆杆控制为主线，也就是一直被关注的镇定问题。80年代后期，随着模糊控制理论的出现，倒立摆控制进入了一个全新的发展历程。90年代以后，神经网络控制倒立摆的研究取得成功，突破了传统控制思想的桎梏，开启了一个全新的领域，取得了许多重要成果。
1.2.2倒立摆控制系统的工程背景
(1) 双倒立摆系统应用研究机器人的站立与行走，能够试图解决机器人研制过程中的关键技术——机器人的行走控制。
(2)利用倒立摆控制系统的实时控制能够使宇宙飞船等飞行器在飞行过程中，保持正确的姿态。
(3)倒立摆控制理论应用于通信卫星能够使之在运行的同时保持所需的稳定姿态，满足天线始终指向地球，而太阳能电池板指向太阳的要求。
(4)海上勘探石油钻井平台的稳定性控制应用倒立摆原理，为了使钻孔方向垂直，必须能自动地保钻井平台的稳定，消除大幅震动。
(5)在航空领域，用多级倒立摆控制系统来研究控、制多级火箭的飞行姿态，使之在运行过程中满足工程需要。所以对倒立摆控制理论的研究有丰富的工程价值。
1.3鲁棒控制理论的发展
早期的鲁棒控制研究主要集中在Bode图。按照时间的先后顺序，首先是1932年Nyquist提出的基于Nyquist曲线的频域稳定性判据，阐述了反馈增益和控制系统稳定性之间的关系，使鲁棒控制原理变得清晰明了。然后是1945年Bode对单输入、输出反馈系统的鲁棒性进行的讨论，基于系统能容许的不确定范围问题，提出了利用幅值和相位稳定裕度方法。由于鲁棒控制的早期研究主要研究在系统的不确定性是微小的参数摄动情形，尚属灵敏度分析的范畴，具有广泛的局限性。所以许多方法主要用于单输入、输出系统；从数学上说是无穷小分析思想，而且只是停留在理论上。到了20世纪七十年代的时候，鲁棒控制初步的推广了MIMIO成果，将SISO系统的灵敏度分析结果进行有效利用[7]，另一方面，鲁棒控制问题的重要性在控制论领域引入状态空间理论后，进一步发展、完善了系统控制。Zames在1963年发表的“关于小增益定理”的论文[8]和1964年Kalman整理的《关于单输入、输出系统LQ调节器稳定裕量分析的研究报告》[9]，这两篇对现代鲁棒控制理论的建立有着深远的影响，鲁棒控制这一术语也开始登上历史舞台。1971年Davion的论文中首次出现了鲁棒控制理论的说法[10]，而首先将鲁棒控制写进论文标题是从1974年Pearson等人开始的[11]。综上所述，鲁棒控制能够被推广到现代控制理论研究的前沿，与任何一个时期的理论都是密切相关的。Nyquist判据在多变量系统中的推广、Youla参数化方法和有理函数矩阵分解等基础理论的进展直接影响着鲁棒控制的发展。
发展到20世纪八十年代以后期，鲁棒控制的研究引起了高度的重视，这是鲁棒控制理论飞速发展的重要阶段。尤其是1981年，鲁棒控制理论框架基本形成，且提出了最优灵敏度控制方法[12]。IEEE Transaction on Automatic Control出版的题为《线性多变量控制系统》这个专辑中的论文强调将奇异值作为分析多变量系统频域鲁棒性的测度。同年，Doyle和Stein提出了在频域内进行回路成形，使得控制系统设计过程中的许多性能指标，包括鲁棒稳定性问题都可以表达为特定闭环传递函数矩阵的范数。在控制领域，这是一项重要的突破，现如今控制理论已经成为鲁棒控制理论的经典工具。
简单地说，鲁棒控制处理的是具有不确定性的被控对象，包括模型参数变化、外部扰动、模型与实际系统差异和执行器的误差等等。鲁棒控制方法是解决倒立摆这一复杂、不确定非线性对象的一种工具。虽然在倒立摆中还没有充分展开鲁棒控制算法的研究工作，但根据已有的一些研究成果进行推断，面向不确定性的研究对象将成为鲁棒控制领域不变的发展方向。将研究成果与实际应用相结合，解决不确定系统的控制问题，是一项艰巨而复杂的工作。倒立摆是一个典型研究对象，它能够有效的验证控制理论的正确性和在实际应用中的可行性，是理论研究和创新的试金石。将鲁棒控制算法应用到倒立摆控制系统研究的同时，反过来也验证了鲁棒控制算法优越性，最终使鲁棒算法进一步的与实际应用相结合。
1.4控制理论
任何的控制理论和方法，都要求控制对象的精确模型或要求对象模型的不确定性和外界干扰满足特殊的假定。无论是经典控制理论、现代控制理论还是自适应控制理论等，由于对象的不确定性和外界干扰往往不满足特殊性的假设条件，导致在实际控制系统中，想要得到控制对象的精确模型非常困难，甚至不可实现。因而传统控制理论与实际工程应用之间的契合存在较大的差距。
总所周知，控制理论是鲁棒控制的一个重要分支。在20世纪六十年代，状态空间方法长足发展，后来被称为现代控制理论出现在文献中，以Kalman-Bucy滤波器和最优二次调节理论为基础的LQG反馈设计(控制)方法相继问世。通常在对系统干扰信号作苛刻的要求的同时忽略了对象的不确定性，使得一些宝贵的现代控制理论的成果，未能获得较好的应用于实际控制系统的设计中，例如LQG理论等。原因可归结为两个方面。首先是由于在系统模型具有不确定性时，LQG设计就不能保证系统具有鲁棒性，因此它需要精确的数学模型；另外一方面是，在LQG设计中需要将干扰信号假定为白噪声，或假定干扰信号的统计持续性已知，然而在实际问题中，干扰的统计特性已知的情况很少，且干扰信号也会随着系统的运行而发生变化。由于上述原因，导致LQG设计方法在理论上做得相当成熟，却不能有效的投入到实际应用当中。1981年Zames提出了著名的控制思想，能够有效解决LQG设计过程中干扰信号所需限制的不合理性。对于一个单输入、输出系统的设计：这类问题属于一个特殊的干扰信号，存在于有限能量的信号集中。目的是设计一个控制器使得闭环系统具备工程特性，系统稳定，并且外部干扰对系统期望输出影响最小。有限输入能到输出能的最大增益可以用传递函数的范效来进行描述，所以对系统进行优化设计的目标函数用影响传递函数的正细范数来表示，就可以将有限功率谱干扰对影响系统期望输出的成都降到最低。综上所述范数作为性能指标具备许多的优点：
(1)研究在有变功率谱干扰时，仍然可以处理系统的控制问题；
(2) 称为范数的乘法性质，使得在具有不确定性因素时，研究对象的鲁棒稳定问题变得水到渠成。
控制理论的发展过程是漫长的，可以系统的描述为三个阶段。第一阶段具有概念直观的特点，不过缺乏科学的计算方法。1981年到1984年期间，逼近法和插值法是研究控制理论的主要使方法。逼近方法的基础是AAK理论，虽然原理上较为复杂，但在算法上已经取得了一定的进展；插值方法通常使用的是Nevanlinna—Pick插值理论，有时候也以矩阵形式的Sarason理论为基础。通常所说的“1984年方法”是当时Doyle和Glover等人在Honeywell公司的控制研讨会上，对控制理论进行总结，从而形成的。
1985年至1988年，控制理论发展的第二阶段是控制获得成功突破的重要阶段。在此期间发现许多控制问题都可统一于标准问题，包括灵敏度极小化问题、混合灵敏度优化问题、两自由度问题、滤波问题、鲁棒镇定问题、跟踪问题和模型匹配问题等。1987年问世的研究控制的书“acourseincontroltheory”是Francis的得意之作，是第一部控制理论专著。翌年，在全美控制年会上美国控制领域著名学者Doyle和英国学者Glover等发表了著名的“2-Riccati方程”解法，这一成果的问世证明了控制问题可以通过求解两个适当的代数黎卡提方程来得到。
1989年以后，控制理论发展进入了理论研究逐步完善和推广的第三阶段。在这段飞速发展的时期里，标准控制问题解法的研究成果层出不穷，有Green等的J谱分解方法、控制问题解法、Kimura的基于无损分解理论以及微分对策方法、极大值原理方法等几种纯时域解法。此外，近年来应用线性矩阵不等式LMI方法求解控制问题在研究中也取得了成果。控制问题的纯时域解法除了能够解决系统的线性时不变问题，还可以用来处理非线性系统、时变系统、奇异摄动系统、分布参数系统等的控制问题。作为鲁棒控制理论中占有重要地位的一部分，控制理论迄今为止已经取得了丰富的研究成果，随着科学技术和理论成果的不断发展，在今后控制理论必将成为工程控制领域的研究热点。

第二章 预备知识
2.1倒立摆控制系统概述
在多种控制理论与方法的研究和应用中，特别是在工程实践中，存在一种可行性的试验问题，将其理论和方法得到有效的经验，倒立摆装置作为一个从控制理论通往实践的桥梁，在自动控制理论中倒立摆装置是各界学者公认的典型教学设备，是控制理论教学中具有代表性的被控科研对象，通过实施控制手段发挥控制系统的性能，可使之具有良好的稳定性。想要解决控制中的理论问题，和将控制理论所涉及的三个基础学科：力学、数学和电学（含计算机）有机的结合起来，可以通过对倒立摆系统的研究来实现，在倒立摆系统中进行综合应用。
在稳定性控制问题上，倒立摆既具有普遍性又具有典型性。倒立摆系统是一个结构简单，价格低廉，方便控制的控制装置，便于模拟操作和数字实现很多种不同的控制方法，它是一个作为高阶次、多变量，不稳定、非线性、强耦合的被控对象的快速系统，在控制方面，只有采用行之有效的控制策略，才能使其稳定。倒立摆系统可以用 PID、自适应、状态反馈、智能控制、模糊控制及人工神经元网络等多种理论和方法，来实现其稳定控制，这些方法都能在倒立摆控制系统上得到实现，而且当一种新的控制理论和方法提出以后，在不能用理论加以严格证明的情况下，可以考虑通过倒立摆装置来验证这种新的控制理论的正确性和实用性。
倒立摆的种类有：悬挂式、直线、环形、平面倒立摆等。一级、二级、三级、四级乃至多级倒立摆。
倒立摆控制系统由倒立摆本体、包括运动控制卡和PC机在内的控制平台和电控箱三大部分组成。
2.2Lyapunov稳定性理论概述
如今，广泛的应用于自动控制、生化反应、生态生物、航空技术等工程技术和自然科学方面的稳定性理论，是 19世纪80年代俄国数学家Lyapunov创建的。他的概念和理念也发展得十分迅速，在当今社会已经成为了控制领域的研究热点。特别适合用于研究属于“力学中的数学方法”。
2.2.1稳定性的概念
由于系统的不同，初始值微分变化的影响也是不同的，我们假设如下初始值问题
（2.1）
它的解为，其中是（2.1）式的一个解。当时，不管有多小，在时，如果，始终有，也就是说初始值的微小变化极大的影响了解的误差，而当时，，与“零”解的误差不超过初始误差，且随着值增加很快消失。所以，与“零”解的误差很小的条件是足够小。这表明时式中的“零”解是稳定的。我们给出微分方程“零”解趋于稳定的严格定义如下。
假设以下微分方程
（2.2）
满足“解存在唯一”这个条件，它的解的存在区间是还满足条件：
（2.3）
保证了x(t)=0是（2.2）式的解，我们称它为“零”解。
定义：若对任意给定的，均能找到，使得当时的解能够满足且，，则称（2.2）式的“零”解是稳定的，否则 (2.2)式的“零”解就是不稳定的。
2.2.2Lyapunov稳定性定理
Lyapunov直接法[13]（即第二法）探讨的是一个二维自治系统的稳定性，经过提炼概括合理分析语言，在原始几何思想的基础之上，给出了一条稳定性定理、一条渐近稳定性定理和两条不稳定性定理。为稳定性理论的发展和完善奠定了牢固的基础，这些定理也因此被誉为稳定性判定的基本定理。
（a）稳定性定理
将目标系统状态方程设为，且是它的平衡态。如果连续一阶偏导数的正定函数存在且满足下述条件：
1) 为非正定（包括半负定）的，则系统在原点处的平衡态是一致稳定的；
2) 再者，如果的定义域为，当任意的和任意时，在范围内不恒为零，则该系统在原点处的平衡态是一致渐近稳定的，反之不是。
随着有，当前情况下系统在原点处的稳定平衡态是大范围一致渐近稳定的。
（b）渐近稳定性定理
设系统的状态方程如下
（2.4）
为平衡态。如果存在一个满足下述条件的有连续一阶偏导数的正定函数：
1）若为负定的,则该系统在原点处的平衡态是一致渐近稳定的；
2）再者，随着，有，那么该系统在原点处的平衡态是大范围一致渐近稳定的。
（c）不稳定性定理
假设是系统的状态方程，其中是它的平衡态。如果存在一个满足下述条件的有连续一阶偏导数的正定函数：
1) 为正定的，则该系统在原点处的平衡态是不稳定的；
2) 若为非负定（不包括半负定）的，且对任意的和任意的，在时不恒为零，那么该平衡态也是不稳定的。
2.2.3Lyapunov函数的构造
Lyapunov直接法的核心技巧是构造Lyapunov函数，虽然人们针对不同实际问题已经运用多种方法(能量函数法、类比法、梯度法、变梯度法、微分矩方法等)具体构造出满足需要的Lyapunov函数，并获得了广泛的承认，但构造Lyapunov函数的方法仍无一般规律可循，纯粹是研究工作者本人的经验和技巧．这些方法都是试探性的，没有构造性的必然成功程序可言。
1.倒推函数法
先设计 负定（或半负定），然后积分求出，来看是否正定。若正定，便
能断定系统平衡位置渐近稳定(稳定)；否则，也只好重新再找其它合适的V函数。
2.凑合函数法
先试探构造出正定的函数（或变号），然后沿系统解对函数求导数，看条件能否保证负定、半负定。如能，便可断定系统的平衡位置是渐近稳定（不
稳定）、稳定的，否则任何结论也不能得到，只得再找其它的Lyapunov函数。目前，大部分函数的构造，都是用这种试探凑合法。
2.3线性矩阵不等式(LMI)方法[14]
2.3.1线性矩阵不等式(LMI)方法概述
控制系统中，许多控制问题可以转化为LMI形式。基于LMI方法研究的通常做法是:将系统与控制理论中的各类问题转化为标准的线性矩阵不等式问题,以达到求解的目的。
一个线性矩阵不等式就是具有以下一般形式的一个矩阵不等式：
（2.5）
其中：是给定的对称常数矩阵，是未知变量，称为决策变量，是由决策变量构成的向量，称为决策向量。
2.3.2LMI 工具箱介绍
线性矩阵不等式（LMI）工具箱是求解一般线性矩阵不等式问题的一个高性能软件包。由于其面向结构的线性矩阵不等式表示方式，使得各种线性矩阵不等式能够以自然块矩阵的形式加以描述。一个线性矩阵不等式问题一旦确定，就可以通过调用适当的线性矩阵不等式求解器来对这个问题进行数值求解。
LMI 工具箱提供了确定、处理和数值求解线性矩阵不等式的一些工具，它们主要用于：
Ø 以自然块矩阵形式来直接描述线性矩阵不等式；
Ø 获取关于现有的线性矩阵不等式系统的信息；
Ø 修改现有的线性矩阵不等式系统；
Ø 求解三个一般的线性矩阵不等式问题；
Ø 验证结果。
2.3.3线性矩阵不等式编辑器——LIMEDT
线性矩阵不等式编辑器“LIMEDT”是一个图形用户界面，它可以按符号方式直接确定线性矩阵不等式系统。输入“LIMEDT”出现一个具有一些可编辑文本区域和各种按钮的窗户。按以下步骤来确定一个线性矩阵不等式系统：
1．在文本区域的上半部分给出每一个矩阵变量的描述（名字和结构），其结构是通过类型（表示对称块矩阵，表示无结构的长方矩阵，表示其他结构矩阵）和一个“附加”的结构矩阵（类似于lmivar中的struct）来刻画的。在文本编辑区，使用一行描述一个变量。
2．在文本区的下半部分，按照MATLAB的表示方式给出要描述的线性矩阵不等式。例如，线性矩阵不等式

图2.1 LIMEDT的图形界面
（2.6）
可以通过输入
（2.7）
来描述。其中X是文本区上半部分描述矩阵变量X的变量名。一个线性矩阵不等式的描述可能需要几行，但一行中最多只能描述一个线性矩阵不等式。
图 2.1给出了用lmiedit描述线性矩阵不等式系统的窗口。
2.4鲁棒控制理论基础
在应用控制理论进行控制系统设计的过程中，首先必须获取系统的相关数学模型。然而在实际系统运行的过程中，由于系统参数变化、外部扰动以及检测技术的限制等不确定因素的影响，往往无法捕获控制对象的精确模型。此外，控制系统也较为复杂，为了设计和计算上的可行性，往往会对系统的模型进行适当的修改、简化。
在这一背景下，不确定系统的控制理论研究逐渐成为当前研究热点之一。不确定性的存在是一切被控对象的共性，而如何处理被控对象的不确定性一直是个有待研究的问题；鲁棒控制则是目前克服不确定性进行有效控制的主要手段。60年代，Cruz和Perkins将SIS0系统的灵敏度分析推广到MIM0系统，并因此引入灵敏度矩阵来衡量闭环和开环的相关系统性能．这类鲁棒控制的早期研究主要局限于系统不确定性的参数在微小范围摄动的情况下，但事实上，系统参数摄动也存在着在较大范围内变化的可能性，这也就导致了现代鲁棒控制理论的诞生。自60年代以来，鲁棒控制理论的研究取得了巨大的进展，并在三个主要方面研究中逐步走向成熟：频率域方法、多项式代数方法和时域(状态空间)方法。
a)频率域方法。
现代鲁棒控制理论的建立和成熟在很大程度上得益于60年代里两个重要结论的提出：一个是Zames的小增益原理，另一个是Kalman证明了SIS0系统线性二次型最优状态反馈控制具有很好的鲁棒性，即无穷大增益裕量和60度相位稳定裕量。而在70年代里所提出的逆奈奎斯特阵列方法多项式矩阵方法及控制器参数化形式则为多变量系统的鲁棒镇定提供了一个重要工具。80年代，Safonov，Zames和Doyle等学者为鲁棒控制理论的发展做出了新的突破。优化设计方法的提出使鲁棒稳定化问题、跟踪问题、模型匹配问题、最小灵敏度和混合灵敏度问题等均可归纳为标准的二优化设计问题，而标准的优化设计问题的求解步骤如下：先通过Youla参数化将其换成模型匹配或一般距离问题，然后再变换为Nehari问题来进行求解：亦或者将其归结为两个代数Riccati方程或线性矩阵不等式的求解问题，从而进行求解。
优化控制器设计方法具有如下几个优点：第一，鲁棒控制器设计问题被赋予了一个清晰而坚实的理论基础；第二，尽管它回到了输入输出模型，然而实际设计时保留了状态空间方法中某些计算上的优点；第三，设计者可以在相当大的程度上控制闭环系统的频率域响应形状，从而使该方法易被工程师们所接受。同一时期，由Doyle提出的结构奇异值方法克服了优化控制器设计方法过分保守的不足，完美地把鲁棒稳定性和鲁棒性能结合起来；但完善的综合方法还有待进一步的研究和发展。
b)多项式代数方法
关于参数摄动不确定性系统的鲁棒性分析较有成效的结果是Kharitonov定理。但它只讨论了多项式族的Hurwitz问题，对于一般的D稳定性困难较大；另外，在它应用到实际控制系统时也具有保守性。总之，以Kharitonov定理为代表的多项式代数方法为参数不确定性系统的鲁捧控制问题研究提供了强有力的工具，但其基本上局限于鲁棒稳定性分析，对于参数不确定性系统的鲁捧镇定问题，没有什么满意的结果。
c)时域方法
在时域鲁棒性分析中，Lyapunov方法得到了广泛应用。但Lyapunov方法对于常实参数摄动来说，所得结果非常保守；此外，由于Lyapunov方法的充分性，所得结果优劣常常取决于Lyapunov函数的选取，但到底用什么方法来确保所选的Lyapunov函数能够满足要求，或者选取什么样的Lyapunov函数最好，至今为止仍不清楚。近来仿射Lyapunov方法、摄动模式形如矩阵组的稳定半径计算、具有参数不确定性离散系统的鲁棒稳定性分析、时域区间矩阵族的鲁棒稳定性等问题均有一定的突破，但仍有待进一步研究。
对于时域鲁棒镇定问题，不确定性系统的可镇定性及相应的鲁棒镇定控制器设计方法、鲁棒二次镇定、同时镇定等问题都得到了深入的研究取得了一系列研究成果，但还有待进一步的完善和发展。
目前，线性系统的鲁棒控制理论已基本形成，但还有许多问题需要继续研究。随着人类活动空间的不断扩大，被控对象种类的增多，控制装置的复杂化，加上实际工程对控制精度要求的不断提高，使得传统的以线性模型来研究非线性对象的方法已不能满足需要。因而，线性系统的鲁棒控制方法正在向非线性系统扩展，并在相对阶与反馈线性化、最小相位与零输出动态、无源性与稳定性、耗散性与增益、Lyapunov函数的递推设计、鲁棒镇定、鲁棒控制等方面取得了不少成果。
总之，鲁棒控制理论提出了从根本上解决被控对象模型不确定和外界扰动不确定性问题的有效方法。控制理论的研究成果已有很多被编入MATLAB等商业软件中，这就为研