fft算法的应用研究大学论文.doc

《数字信号处理》

课程设计报告

FFT算法的应用研究

专 业： 通信工程
班 级： 通信11级
组 次： 第20组
姓名及学号： 吴杨生 2011013847
姓名及学号： 朱泽章 2011013864

组 员
承 担 任 务
吴杨生
共同完成任务

朱泽章
共同完成任务

指
导
教
师
评
价
意
见

FFT算法的应用研究

一、设计目的

MATLAB是一种功能强大、效率高、交互性好的数值和可视化计算机高级语言，它将数值分析、矩阵运算、信号处理和图形显示有机地融合为一体，形成了一个极其方便、用户界面友好的操作环境。。经过多年的发展，已经发展成为一种功能全面的软件，几乎可以解决科学计算中所有问题。MATLAB软件还提供了非常广泛和灵活的用于处理数据集的数组运算功能。
FFT算法的应用研究很广泛，数字信号也有很多，本次课程设计采取对语音信号进行FFT算法的的应用研究：录制一段个人自己的语音信号，并对录制的信号进行采样；画出采样后语音信号的时域波形和频谱图；在Matlab环境下编写基2 DIT-FFT算法；利用自己编写的算法对已采集的语音信号进行频谱分析，并画出语音信号的时域与频谱图，并与Matlab数字信号处理工具箱中的fft函数进行对比研究，验证自编算法的正确性

二、设计任务
对语音信号进行FFT算法的的应用研究

三、设计原理
1系统总体流程图
本设计要求录制一段个人自己的语音信号，并对录制的信号进行采样；画出采样后语音信号的时域波形和频谱图；在Matlab环境下编写基2 DIT-FFT算法；利用自己编写的算法对已采集的语音信号进行频谱分析，并画出语音信号的时域与频谱图，并与Matlab数字信号处理工具箱中的fft函数进行对比研究，验证自编算法的正确性。所以得到系统总体流程图如图1所示。
语音信号采集
完成信号时域图
完成信号频率响应
编写fft程序，画出信号频谱图
实现输入信号的倒序
实现一级中不同种蝶形算运
实现一级中相同种蝶形运算

与Ma
t
l
a
b自带的F
FT比较
图1 系统总体流程图

2． FFT运算规律及编程思想
2.1语音信号的采集
利用PC机自带的录音机，录制一段语音信号，保存格式为wave的文件，并将其保存在电脑中。
在MATLAB中，fn=input(' Enter WAV filename:','s'); [x,fs,nb]=wavread(fn,[n1 n2]); 用于读取语音，采样值放在向量x中，fs表示采样频率(Hz)，nb表示采样位数。[n1 n2]表示读取从n1点到n2点的值（若只有一个n的点则表示读取前n点的采样值）。sound(x,fs,nb); 用于对声音的回放。向量x则就代表了一个信号（也即一个复杂的“函数表达式”）也就是说可以像处理一个信号表达式一样处理这个声音信号。
采集到语音信号之后，需要对语音信号进行分析，如语音信号的时域分析、频谱分析、谱图分析。
2.2 DIT-FFT算法的基本原理
快速傅里叶变换（FFT）是为提高DFT运算速度而采用的一种算法。
对一个有限长度序列x(n)的N点的DFT为：

所以，要求N点的DFT,需要N2次的复数乘法运算,N*(N-1)次复数乘法运算算。随着N的增加，运算量将急剧增加，而在实际问题中，N往往是较大的，如当N=1024时，完成复数乘法和复数加法的次数分别为百万以上，无论是用通用计算机还是用DSP芯片，都需要消耗大量的时间，不能满足实时的要求,，不适合于对实时处理要求高的场合。为了能实时处理DFT,要想减少DFT的运算量可以有两个途径：第一是降N，N的值减小了，运算量就减少了；第二是利用旋转因子的周期性，对称性和可约性。利用这两个途径实现DFT的快速傅里叶变换（FFT），FFT算法基本上可分为按时间抽取的FFT算法（DIT-FFT）和按频率抽取的FFT算法（DIF-FFT）。

旋转因子的性质：
（1）周期性
（2）共轭对称性
（3）可约性
本次课设要求用用基2的按时间抽取的FFT算法（DIT-FFT）实现FFT功能，设序列x(n)的长度为N，且N满足N=2M,M为正整数。若N不能满足上述关系，可以将序列x(n)补零实现。按时间抽取基2-FFT算法的基本思路是将N点序列按时间下标的奇偶分为两个N/2点序列，计算这两个N/2点序列的N/2点DFT，计算量可减小约一半；每一个N/2点序列按照同样的划分原则，可以划分为两个N/4点序列，最后，将原序列划分为多个2点序列，将计算量大大降低。
按时间下标的奇偶将N点x(n)分别抽取组成两个N/2点序列，分别记为x1(n)和x2(n)，将x(n)的DFT转化为x1(n)和x2(n)的DFT的计算。

利用旋转因子的可约性，即：

用蝶形运算可表示为如图2所示：
图2 DIT-FFT蝶形运算流图符号

以此类推，还可以把x1(n)和x2(n)按n值得奇偶分为两个序列，这样就达到了降N得目的，从而减少了运算量。FFT对DFT的数学运算量改进：
直接采用DFT进行计算，运算量为N2次复数乘法和N*(N-1)次复数乘法。
当采用M次FFT时，由N=2M求得M=logN，运算流图有M级蝶形，每一级都由N/2个蝶形运算构成，这样每一级蝶形运算都需要N/2次复数乘法和N次复数加法。M级运算共需要复数乘法次数为C=N/2*M,复数加法次数为C=N*M。
当N值较大时，FFT减少运算量的特点表现的越明显。
2.3 DIT-FFT算法的运算规律及编程思想
为了编写DIT-FFT算法的运算程序，首先要分析其运算规律，总结编程思想并绘出程序框图。
1. 原位计算
对点的FFT共进行M级运算，每级由N/2个蝶形运算组成。在同一级中，每个蝶的输入数据只对本蝶有用，且输出节点与输入节点在同一水平线上，这就意味着每算完一个蝶后，所得数据可立即存入原输入数据所占用的数组元素(存储单元)，这种原位(址)计算的方法可节省大量内存。
2. 蝶形运算
实现FFT运算的核心是蝶形运算，找出蝶形运算的规律是编程的基础。蝶形运算是分级进行的；每级的蝶形运算可以按旋转因子的指数大小排序进行；如果指数大小一样则可从上往下依次蝶算。对点的FFT共有M级运算，用L表示从左到右的运算级数(L=1，2，…，M )。第L级共有个不同指数的旋转因子，用R表示这些不同指数旋转因子从上到下的顺序(R=0，1，…，B-1)。第R个旋转因子的指数，旋转因子指数为P的第一个蝶的第一节点标号k从R开始，由于本级中旋转因子指数相同的蝶共有个，且这些蝶的相邻间距为，故旋转因子指数为P的最后一个蝶的第一节点标号k为：，本级中各蝶的第二个节点与第一个节点都相距B点。应用原位计算，蝶形运算可表示成如下形式：
(J)= (J)+ (J+B)*
(J+B)= (J)-(J+B)*
总结上述运算规律，可采用如下运算方法进行DIT-FFT运算。首先读入数据，根据数据长度确定运算级数M，运算总点数，不足补0处理。然后对读入数据进行数据倒序操作。数据倒序后从第1级开始逐级进行，共进行M级运算。在进行第L级运算时，先算出该级不同旋转因子的个数(也是该级中各个蝶形运算两输入数据的间距)，再从R=0开始按序计算，直到R=B-1结束。每个R对应的旋转因子指数，旋转因子指数相同的蝶从上往下依次逐个运算，各个蝶的第一节点标号k都是从R开始，以为步长，到(可简取极值N-2)结束。考虑到蝶形运算有两个输出，且都要用到本级的两个输入数据，故第一个输出计算完毕后，输出数据不能立即存入输入地址，要等到第二个输出计算调用输入数据完毕后才能覆盖。这样数据倒序后的运算可用三重循环程序实现。整个蝶形运算流程图如图3所示。

图3 整个蝶形运算流程图

送入x(n),M
N=2^M
倒序
L=1:M
B=2^(L-1)
J=0:B-1
P=J*2^(M-L)
K=J:2^L:N-1
T=A(K)+A(K+B)*WN^P
A(K+B)=A(K)-A(K+B)*WN^P
A(K)=T
输出
开始
结束束束

3.序列倒序
为了保证运算输出的X(k)按顺序排列，要求序列x(n)倒序输入，即在运算前要先对输入的序列进行位序颠倒。如果总点数为的x(n)的顺序数是用M位二进制数表示，则倒序数只需将顺序数的二进制位倒置即可，按照这一规律用硬件电路和汇编语言很容易产生倒序数。但用MATLAB等高级语言实现倒序时，直接倒置二进制数位的方法不可取，还须找出产生倒序的十进制规律。将十进制顺序数用I表示，与之对应的二进制数用IB表示。十进制倒序数用J表示，与之对应的二进制数用JB表示。JB是IB的位倒置结果，十进制顺序数I增加1，相当于IB最低位加1且逢2向高位进1，即相当于JB最高位加1且逢2向低位进1。JB的变化规律反映到J的变化分二种情况：如果JB的最高位是0，则直接由加1得到下一个倒序值；如果JB的最高位是1，则要先将最高位变0，再在次高位加1。但次高位加1时，同样要判断0、1值，如果是0 ，则直接加1，否则要先将次高位变0，再判断下一位。依此类推，直到完成最高位加1，逢2向右进位的运算。利用这一算法可按顺序数I的递增顺序，依次求得与之对应的倒序数J。为了节省内存，数据倒序可原址进行，当I = J时不需要交换，当I ≠ J时需要交换数据。另外，为了避免再次调换前面已经调换过的一对数据，只对I<J的情况进行数据交换即可实现数据倒序操作。图3中数据倒序的程序流程图如图4所示。
例如，N=8时，序列倒序结果如表1所示。
表1 码位倒序（N=8）

自然顺序 二进制 倒位序二进制 倒位顺序
0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 1 1 0 0 4
2 0 1 0 0 1 0 2
3 0 1 1 1 1 0 6
4 1 0 0 0 0 1 1
5 1 0 1 1 0 1 5
6 1 1 0 0 1 1 3
7 1 1 1 1 1 1 7

图4 倒序流程图
LH=N/2 J=1 N1=N-1
I=0，N-1
数据交换
算倒序数
Y
N
I<J?
T=A(J)
A(J)=A（I）
A(I)=T
K=N/2
J≥K?
J=J+K
N
J=J-K K=K/2
Y

四、设计过程

3 Matlab程序实现

3.1源程序
fs=input('输入采样频率fs='); %语音信号采样频率为fs
N1=input('输入所需变换的起点N1=');
N2=input('输入所需变换的终点N2=');
fn=input(' Enter WAV filename:','s'); %获取一个*.wav的文件
[x,fs,nb]=wavread(fn,[N1 N2]); %读取语音信号的数据
sound(x,fs,nb); %播放语音信号
%n=N2-N1+1;%当语音信号文件较大时用这两条
%x1=reshape(x,1,2*n);%语句替换x1=x';
x1=x';
y1=fft(x1);
figure(1)
plot(x1) %做原始语音信号的时域图形
title('语音信号时域波形')
xlabel('n');
ylabel('幅值');
M=nextpow2(x1); % 求x的长度对应的2的最低幂次m
N=2^M;
if length(x1)<N
x1=[x1,zeros(1,N-length(x1))]; % 若x的长度不是2的幂，补零到2的整数幂
end
%数据倒序操作
J=0;%给倒序数赋初值
for I=0:N-1;%按序交换数据和算倒序数
if I<J;%条件判断及数据交换
T=x1(I+1);x1(I+1)=x1(J+1);
x1(J+1)=T;
end
%算下一个倒序数
K=N/2;
while J>=K;
J=J-K;K=K/2;
end
J=J+K;
end
%x1;
y=x1; % 将x倒序排列作为y的初始值
WN=exp(-i*2*pi/N);
for L=1:M
B=2^L/2;%第L级中，每个蝶形的两个输入数据相距B个点，每级有B个不同的旋转因子
for J=0:B-1 % J代表了不同的旋转因子
p=J*2^(M-L);
WNp=WN^p;
for k=J+1:2^L:N % 本次蝶形运算的跨越间隔为2^L
kp=k+B; % 蝶形运算的两个因子对应单元下标的关系
t=y(kp)*WNp; % 蝶形运算的乘积项
y(kp)=y(k)-t; % 蝶形运算， 注意必须先进行减法运算，然后进行加法运算，否则要使用中间变量来传递y(k)
y(k)=y(k)+t; % 蝶形运算

end
end
end
%y
figure(2)
[x1,w1]=freqz(x1,1); %绘制原始语音信号的频率图
plot(w1,abs(x1));
title('x1的频率响应特性')
xlabel('频率');
ylabel('幅度');
figure(3)
subplot(2,1,1);
plot(abs(y1)) %Matlab自带的FFT函数实现的语音信号的FFT频谱图
title('Matlab自带的FFT函数实现的x1的频谱')
xlabel('K');
ylabel('Y1(k)');
subplot(2,1,2);
plot(abs(y)); %编写的FFT程序实现的语音信号的FFT频谱图
title('编写的FFT程序实现的的x1的频谱')
xlabel('K');

3.1实验结果图
用1.wav作为例子，运行调试程序。
1.程序运行开始时，要求输入采样频率fs（fs=1024），所需要变换的起点N1（N1=1000）和终点N2（N2=5095）以及要采样的语音文件（ringin.wav）；其中N1和N2的差值必须在语音信号长度范围内，但不能太小，否则听不到较为清晰的语音。其输入窗口显示如图5所示。

图5 程序开始运行时界面
将fs=1024，N1=1000，N2=5095和语音信号ringin.wav输入后得到采样后的语音信号x1的时域波形，如图6所示，其频率响应特性如图7所示，Matlab自带的FFT函数实现的x1的频谱与编写的FFT程序实现的x1的频谱的比较如图8所示
。
图6 采样后的语音信号的时域波形

图7 X1的频率响应特性

图8 FFT函数实现的x1的频谱与编写的FFT程序实现的x1的频谱的比较

数据分析
取不同的点数进行FFT变换，经观察，编写FFT程序得到的语音信号的频谱图与Matlab中自带的FFT函数得到的语音信号频谱图总是基本一致，但是如果输入的N1和N2差值加1不是2的整数次幂就会有细微差别，这是因为编写的快速傅里叶变换计算信号的N点傅里叶变换要求N为2 的整数次幂，不够的话信号将会被补零后运算，即参与运算的信号已经不同（差别很小），所以FFT运算后的结果也不尽相同，所示频谱图自然有细微的差别。
由用 MATLAB自带FFT函数实现的频谱图与用MATLAB编写的FFT程序实现的频谱图相比较，可知，两个算法计算后的结果几乎相同，验证了自编算法的正确性。
如果改变输入的值和语音信号，那么得到不一样的时域波形，频率响应，通过FFT得到频谱都会不同。需要注意的是自由输入的语音信号不同，其长度也不同，所以根据要输入的语音信号输入N1，N2的值。

5 心得体会
本次实习的主要内容是通过用Matlab实现FFT的设计，可以实现对一段自己录制的语音信号进行分析，并画出采样信号的时域与频域图。把自己编写的FFT算法与Matlab自带FFT算法进行比较。程序运行调试时，自己选择输入要采样的语音信号，采样频率以及要变换的范围，可以实现对不同信号的信号采样和进行不同点的FFT运算。
在之前数字信号处理的学习以及完成实验的过程中，已经使用过Matlab，对其有了一些基础的了解和认识，通过这次的课程设计使我进一步了解了信号的产生，采样及频谱分析的方法，以及其中产生信号和绘制信号的基本命令和一些基础编程语言。让我感受到只有在了解课本知识的前提下，才能更好的应用这个工具，并且熟练的应用Matlab也可以很好的加深我对课程的理解，方便我的思维。这次课程设计使我了解了Matlab的使用方法，提高了自己的分析和动手实践能力。同时我相信，进一步加强对MATLAB的学习与研究对我今后的学习将会起到很大的帮助。
这次的课程设计是对本学期所学知识的一次重要巩固，使得在课堂上掌握的知识得到了真正的运用。在学习的过程中和同学讨论，更明白了理论知识与实践的联系。书到用时方恨少，有些知识学会是一回事，掌握是一回事，但应用起来，确实不是那么简单的，需要很多知识的融会贯通。
程序运行调试初期，曾经多次出现错误、不能产生图形等问题，但在我翻阅资料认真改正及老师的帮助下基本功能还是完成了，程序已得到一些完善，能完成基本的要求的功能。
学习就是一个了解，疑惑，进而解惑的过程，这次课程设计就是提供了这样一个发现自己知识漏洞，与老师同学探讨进行解惑的的机会。
通过这次课程设计实习，我更深刻的了解了Matlab的运用，重新复习了FFT 中的重要的序列倒序和蝶形变换的程序，对课本上的知识有了更深的理解，使我对数字信号处理有了系统的认知。
在这里特别感谢金星老师，他给了我们很大的帮助与指导，让我们真正自己动手真正掌握了知识，感谢老师细心指导。