2021届高考数学-小题必练6-立体几何与空间向量.docx

2021届高考数学 小题必练6 立体几何与空间向量

2021届高考数学 小题必练6 立体几何与空间向量

年级：
姓名：

17

立体几何研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系．本单元的学习，可以帮助学生以长方体为载体，认识和理解空间点、直线、平面的位置关系；用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证；了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法；运用直观感知、操作确认、推理论证、度量计算等认识和探索空间图形的性质，建立空间观念．学生在学习平面向量的基础上，利用类比的方法理解空间向量的概念、运算、基本定理和应用，体会平面向量和空间向量的共性和差异，运用向量的方法研究空间基本图形的位置关系和度量关系，体会向量方法和综合几何方法的共性和差异，运用向量方法解决筒单的数学问题和实际问题，感悟向量是研究几何问题的有效工具．
内容包括：基本立体图形、基本图形位置关系、空间直角坐标系、空间向量及其运算、向量基本定理及坐标表示、空间向量的应用．
1．基本立体图形
①利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．
②知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题．
③能用斜二测法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合）的直观图．
2．基本图形位置关系
①借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义，了解以下基本事实（基本事实1~4也称公理）和定理．
基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．
定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
②从上述定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直的关系，归纳出以下判定定理，并加以证明．
◆一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行．
◆两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行．
◆垂直于同一个平面的两条直线平行．
◆两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直．
③从上述定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直的关系，归纳出以下性质定理，并加以证明．
◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．
◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．
◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直．
◆如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直．
3．空间直角坐标系
①在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置．
②借助特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标．
探索并得出空间两点间的距离公式．
4．空间向量及其运算
①经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念．
②经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程．
5．向量基本定理及坐标表示
①了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．
②掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．
③掌握空间向量的数量积及其坐标表示．
④了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义（参见案例9）．
6．空间向量的应用
①能用向量语言指述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量．
②能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角以及垂直与平行关系．
③能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理．
④能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题，
并能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用．

1．【2020·全国高考真题（理）】已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．
若球O的表面积为，则O到平面的距离为（）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【解析】设球的半径为，则，解得．
设外接圆半径为，边长为，
是面积为的等边三角形，，解得，
，
球心到平面的距离，故选C．

【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；
解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面．
2．【2020全国Ⅱ卷】下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，

根据立体图形可得，
根据勾股定理可得，
是边长为的等边三角形，
根据三角形面积公式可得，
该几何体的表面积是，故选C．
【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，
考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题．

一、单选题．
1．设，是两平面，，是两直线．下列说法正确的是（）
①若，，则
②若，，则
③若，，则
④若，，，，则
A．①③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【解析】由平行公理知①对；
垂直于同一平面的两条直线平行，故②对；
垂直于同一直线的两个平面平行，故③对；
由面面垂直性质定理知④对，
故选D．
2．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（）

A．4 B．8 C． D．
【答案】C
【解析】根据几何体的三视图还原得到该几何体的直观图为：该几何体为三棱锥体．
如图所示：
由于，，下底面为等腰直角三角形．
可得，，，，
所以该四面体四个面的面积中，最大的是，故选C．

3．已知球面上，，三点，如果，且球的体积为，则球心到平面的距离为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设球的半径，则，所以，
设外接圆的半径，则由，所以，
而，即，所以，故选D．
4．如图，正方体的棱长为，以下结论错误的是（）

A．面对角线中与直线所成的角为的有8条
B．直线与垂直
C．直线与平行
D．三棱锥的体积为
【答案】C
【解析】如图所示，建立空间直角坐标系．

对于A，，，，，
∴，，
∴，
由于两异面直线的夹角范围是，
∴异面直线与所成的角为，
同理：正方体的六个面中除了平面与的面对角线外，
其他的面对角线都与所成的角为，则共有8条，故A正确；
对于B，，，
，
∴直线与垂直，故B正确；
对于C，，∵，
∴直线与垂直，不平行，故C错误；
对于D，三棱锥的体积为，故D正确，
综上可知，只有C不正确，故选C．
5．直三棱柱中，，，则异面直线和所成角的余弦值为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，，所以三角形是等边三角形，
取的中点，以点为原点，建立空间直角坐标系如图：
设，则，，，，
所以，，，，，
所以异面直线和所成角的余弦值为，

故选C．
6．三棱锥的三条侧棱互相垂直，且，则其外接球上的点到平面的距离的最大值为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】空间四个点在同一球面上，两两垂直，且，
则可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱，
所以过空间四个点的球面即为的正方体的外接球，球的直径即是正方体的对角线，长为，
球心O到平面的距离为体对角线的，即球心O到平面的距离为．
其外接球上的点到平面的距离的最大值为，故选B．
7．用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形．已知点是斜边的中点，且，则的边边上的高为（）

A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】∵直观图是等腰直角三角形，，，
∴，根据直观图中平行于轴的长度变为原来的一半，
∴的边上的高，故选D．
8．如图，在直三棱柱中，底面为直角三角形，，，，点是线段上一动点，则的最小值是（）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】连，沿将展开与在同一个平面内，
连接，长度即是所求．

∵直三棱柱中，底面为直角三角形，，，，
∴矩形是边长为的正方形；则，
另外；
在矩形中，，，则；
易发现，即，
∴，则，
故，
故答案为B．

二、多选题．
9．如图，正方体的棱长为1，E，F，G分别为，，的中点，则（）

A．直线与直线垂直
B．直线与平面平行
C．点C与点G到平面的距离相等
D．平面截正方体所得的截面面积为
【答案】BD
【解析】对于A，取中点M，则为在平面上的射影，
与不垂直，与不垂直，故A错；
对于B，取中点N，连接，，
在正方体中，，，
平面，平面，
所以平面，
同理可证平面，，
所以平面平面，
平面，所以平面，故B正确；
对于C，假设C与G到平面的距离相等，即平面将平分，
则平面必过的中点，连接交于H，而H不是中点，
则假设不成立，故C错；
对于D，在正方体中，，
把截面补形为四边形，
由等腰梯形计算其面积，故D正确，

故选BD．
10．已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（）
A．若，，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则与所成的角和与所成的角相等
【答案】BCD
【解析】选项A：若，，则或，
又，并不能得到这一结论，故选项A错误；
选项B：若，，则由线面垂直的性质定理和线面平行的性质定理可得，故选项B正确；
选项C：若，，则有面面平行的性质定理可知，故选项C正确；
选项D：若，，则由线面角的定义和等角定理知，与所成的角和与所成的角相等，
故选项D正确，
故选BCD．
11．如图所示，在长方体，若，、分别是、的中点，则下列结论中成立的是（）

A．与垂直 B．平面
C．与所成的角为 D．平面
【答案】ABD
【解析】连接、、，则为的中点，

对于A选项，平面，平面，，
、分别为、的中点，则，，A选项正确；
对于B选项，四边形为正方形，则，
又，，平面，
，平面，B选项正确；
对于C选项，易知为等边三角形，则，
，则与所成的角为，C选项错误；
对于D选项，，平面，平面，平面，
D选项正确，
故选ABD．
12．如图，在三棱柱中，底面是等边三角形，侧棱底面，为的中点，若，，则（）

A．
B．异面直线与所成角的余弦值为
C．异面直线与所成角的余弦值为
D．平面
【答案】AC
【解析】A：因为侧棱底面，所以，
因为是等边三角形，，所以，
因为，所以平面，则，A正确；
以为原点，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为，B不正确，C正确；
又因为，，
设平面法向量为，则，
即，取，则，
因为，且，所以若平面不成立，D不正确，
故选AC．

三、填空题．
13．在三棱锥中，底面，，，，，若E，F是的三等分点，则异面直线与所成角的余弦值_________．

【答案】
【解析】如图所示：以为轴，为轴，平面内垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
则，，
则，，
则，
故异面直线与所成角的余弦值为，
故答案为．

14．如图所示，已知平行六面体中，，，．为的中点，则长度为______．

【答案】
【解析】因为，
所以
，
，
所以，
故答案为．
15．在直三棱柱中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为________．
【答案】
【解析】因为，，，所以角为直角，
又直棱柱中，侧棱与底面垂直，所以两两垂直，以点为坐标原点，
以方向分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，
所以，，
设异面直线与所成角为，
则，
故答案为．

16．如图所示，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，，底面为直角梯形，其中，，，为的中点．

（1）则直线与平面所成角的余弦值为_______；
（2）则点到平面的距离为______．
【答案】，
【解析】（1）在△PAD中，O为AD中点，所以，
又侧面PAD⊥底面ABCD，平面平面，平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD．
又在直角梯形ABCD中，易得；
所以以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系．

则，，，，，
所以，
，得OA⊥平面POC，
所以是平面POC的一个法向量，
，，
所以PB与平面POC所成角的余弦值为．
（2），设平面PDC的法向量为，
则，取z＝1，得，
B点到平面PCD的距离．