2018年全国普通高等学校高考数学模拟试卷(理科)(一).doc

2018年全国普通高等学校高考数学模拟试卷（理科）（一）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合A={x|﹣x2+4x≥0}，，C={x|x=2n，n∈N}，则（A∪B）∩C=（　　）
A．{2，4} B．{0，2} C．{0，2，4} D．{x|x=2n，n∈N}
2．（5分）设i是虚数单位，若，x，y∈R，则复数x+yi的共轭复数是（　　）
A．2﹣i B．﹣2﹣i C．2+i D．﹣2+i
3．（5分）已知等差数列{an}的前n项和是Sn，且a4+a5+a6+a7=18，则下列命题正确的是（　　）
A．a5是常数 B．S5是常数 C．a10是常数 D．S10是常数
4．（5分）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（　　）

A． B． C． D．
5．（5分）已知点F为双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点，直线x=a与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A，若AF的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
6．（5分）已知函数则（　　）
A．2+π B． C． D．
7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（　　）

A． B． C． D．
8．（5分）已知函数（ω＞0）的相邻两个零点差的绝对值为，则函数f（x）的图象（　　）
A．可由函数g（x）=cos4x的图象向左平移个单位而得
B．可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位而得
C．可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位而得
D．可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位而得
9．（5分）的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（　　）
A．﹣73 B．﹣61 C．﹣55 D．﹣63
10．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形ABCDEF是边长为1的正六边形，点G为AF的中点，则该几何体的外接球的表面积是（　　）

A． B． C． D．
11．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F分别作两条直线l1，l2，直线l1与抛物线C交于A、B两点，直线l2与抛物线C交于D、E两点，若l1与l2的斜率的平方和为1，则|AB|+|DE|的最小值为（　　）
A．16 B．20 C．24 D．32
12．（5分）若函数y=f（x），x∈M，对于给定的非零实数a，总存在非零常数T，使得定义域M内的任意实数x，都有af（x）=f（x+T）恒成立，此时T为f（x）的类周期，函数y=f（x）是M上的a级类周期函数．若函数y=f（x）是定义在区间[0，+∞）内的2级类周期函数，且T=2，当x∈[0，2）时，函数．若∃x1∈[6，8]，∃x2∈（0，+∞），使g（x2）﹣f（x1）≤0成立，则实数m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）已知向量，，且，则=　 　．
14．（5分）已知x，y满足约束条件则目标函数的最小值为　 　．
15．（5分）在等比数列{an}中，a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为17，设bn=a2n﹣1﹣a2n，n∈N*，则数列{bn}的前2n项和为　 　．
16．（5分）如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，，点E是线段CD上异于点C，D的动点，EF⊥AD于点F，将△DEF沿EF折起到△PEF的位置，并使PF⊥AF，则五棱锥P﹣ABCEF的体积的取值范围为　 　．

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边a，b，c分别满足c=2b=2，2bcosA+acosC+ccosA=0，又点D满足．
（1）求a及角A的大小；
（2）求的值．

18．（12分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，且，∠A1AB=∠A1AD=60°．
（1）求证：BD⊥CC1；
（2）若动点E在棱C1D1上，试确定点E的位置，使得直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为．

19．（12分）“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，
（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），利用该正态分布，求Z落在（14.55，38.45）内的概率；
②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于（10，30）内的包数为X，求X的分布列和数学期望．
附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；
②若，则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）=0.9544．

20．（12分）已知椭圆C：的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l：y=kx+2与椭圆C相交于A，B两点，在y轴上是否存在点D，使直线AD与BD的斜率之和kAD+kBD为定值？若存在，求出点D坐标及该定值，若不存在，试说明理由．
21．（12分）已知函数f（x）=ex﹣2（a﹣1）x﹣b，其中e为自然对数的底数．
（1）若函数f（x）在区间[0，1]上是单调函数，试求实数a的取值范围；
（2）已知函数g（x）=ex﹣（a﹣1）x2﹣bx﹣1，且g（1）=0，若函数g（x）在区间[0，1]上恰有3个零点，求实数a的取值范围．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，圆C1的参数方程为（θ为参数，a是大于0的常数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为．
（1）求圆C1的极坐标方程和圆C2的直角坐标方程；
（2）分别记直线l：，ρ∈R与圆C1、圆C2的异于原点的焦点为A，B，若圆C1与圆C2外切，试求实数a的值及线段AB的长．

[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|2x+1|．
（1）求不等式f（x）≤10﹣|x﹣3|的解集；
（2）若正数m，n满足m+2n=mn，求证：f（m）+f（﹣2n）≥16．

2018年全国普通高等学校高考数学模拟试卷（理科）（一）
参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合A={x|﹣x2+4x≥0}，，C={x|x=2n，n∈N}，则（A∪B）∩C=（　　）
A．{2，4} B．{0，2} C．{0，2，4} D．{x|x=2n，n∈N}
【分析】由二次不等式的解法和指数不等式的解法，化简集合A，B，再由并集和交集的定义，即可得到所求集合．
【解答】解：A={x|﹣x2+4x≥0}={x|0≤x≤4}，
={x|3﹣4＜3x＜33}={x|﹣4＜x＜3}，
则A∪B={x|﹣4＜x≤4}，
C={x|x=2n，n∈N}，
可得（A∪B）∩C={0，2，4}，
故选C．

2．（5分）设i是虚数单位，若，x，y∈R，则复数x+yi的共轭复数是（　　）
A．2﹣i B．﹣2﹣i C．2+i D．﹣2+i
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．
【解答】解：由，
得x+yi==2+i，
∴复数x+yi的共轭复数是2﹣i．
故选：A．

3．（5分）已知等差数列{an}的前n项和是Sn，且a4+a5+a6+a7=18，则下列命题正确的是（　　）
A．a5是常数 B．S5是常数 C．a10是常数 D．S10是常数
【分析】推导出a1+a10=9，从而=45．
【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和是Sn，且a4+a5+a6+a7=18，
∴a4+a5+a6+a7=2（a1+a10）=18，
∴a1+a10=9，
∴=45．
故选：D．

4．（5分）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（　　）

A． B． C． D．
【分析】设边长AB=2，求出△BCI和平行四边形EFGH的面积，计算对应的面积比即可．
【解答】解：设AB=2，则BC=CD=DE=EF=1，
∴S△BCI=××=，
S平行四边形EFGH=2S△BCI=2×=，
∴所求的概率为
P===．
故选：A．

5．（5分）已知点F为双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点，直线x=a与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A，若AF的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】设出双曲线的右焦点和渐近线方程，可得将交点A的坐标，运用中点坐标公式，可得中点坐标，代入双曲线的方程，结合离心率公式，计算即可得到所求值．
【解答】解：设双曲线C：的右焦点F（c，0），
双曲线的渐近线方程为y=x，
由x=a代入渐近线方程可得y=b，
则A（a，b），可得AF的中点为（，b），
代入双曲线的方程可得﹣=1，
可得4a2﹣2ac﹣c2=0，
由e=，可得e2+2e﹣4=0，
解得e=﹣1（﹣1﹣舍去），
故选：D．

6．（5分）已知函数则（　　）
A．2+π B． C． D．
【分析】由=∫cos2tdt==，得到=（）+（﹣cosx），由此能求出结果．
【解答】解：∵，
=∫cos2tdt=
==，
∴
=（）+（﹣cosx）
=﹣2．
故选：D．

7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．
【解答】解：第1次循环后，S=，不满足退出循环的条件，k=2；
第2次循环后，S=，不满足退出循环的条件，k=3；
第3次循环后，S==2，不满足退出循环的条件，k=4；
…
第n次循环后，S=，不满足退出循环的条件，k=n+1；
…
第2018次循环后，S=，不满足退出循环的条件，k=2019
第2019次循环后，S==2，满足退出循环的条件，
故输出的S值为2，
故选：C

8．（5分）已知函数（ω＞0）的相邻两个零点差的绝对值为，则函数f（x）的图象（　　）
A．可由函数g（x）=cos4x的图象向左平移个单位而得
B．可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位而得
C．可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位而得
D．可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位而得
【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的零点求出ω，可得函数解析式，再利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：函数=sin（2ωx）﹣•+
=sin（2ωx﹣）（ω＞0）的相邻两个零点差的绝对值为，
∴•=，∴ω=2，f（x）=sin（4x﹣）=cos[（4x﹣）﹣]=cos（4x﹣）．
故把函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位，可得f（x）的图象，
故选：B．

9．（5分）的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（　　）
A．﹣73 B．﹣61 C．﹣55 D．﹣63
【分析】求出展开式中所有各项系数和，以及展开式中的常数项，
再求展开式中剔除常数项后的各项系数和．
【解答】解：展开式中所有各项系数和为（2﹣3）（1+1）6=﹣64；
=（2x﹣3）（1+++…），
其展开式中的常数项为﹣3+12=9，
∴所求展开式中剔除常数项后的各项系数和为
﹣64﹣9=﹣73．
故选：A．

10．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形ABCDEF是边长为1的正六边形，点G为AF的中点，则该几何体的外接球的表面积是（　　）

A． B． C． D．
【分析】可得该几何体是六棱锥，底面是正六边形，有一条侧面垂直底面．过底面中心N作底面垂线，过侧面PAF的外心M作面PAF的垂线，两垂线的交点即为球心，根据三视图的数据求出球的半径即可．
【解答】解：如图，可得该几何体是六棱锥P﹣ABCDEF，底面是正六边形，有一PAF侧面垂直底面，且P在底面的投影为AF中点，过底面中心N作底面垂线，过侧面PAF的外心M作面PAF的垂线，两垂线的交点即为球心O，
设△PAF的外接圆半径为r，，解得r=，∴，
则该几何体的外接球的半径R=，
∴表面积是则该几何体的外接球的表面积是S=4πR2=．
故选：C．

11．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F分别作两条直线l1，l2，直线l1与抛物线C交于A、B两点，直线l2与抛物线C交于D、E两点，若l1与l2的斜率的平方和为1，则|AB|+|DE|的最小值为（　　）
A．16 B．20 C．24 D．32
【分析】设直线l1，l2的方程，则，将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及抛物线的焦点弦性质，即可求得|AB|+|DE|，利用基本不等式的性质，即可求得|AB|+|DE|的最小值．
【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点F（1，0），设直线l1：y=k1（x﹣1），直线l2：y=k2（x﹣1），
由题意可知，则，
联立，整理得：k12x2﹣（2k12+4）x+k12=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，
设D（x3，y3），E（x4，y4），同理可得：x3+x4=2+，
由抛物线的性质可得：丨AB丨=x1+x2+p=4+，丨DE丨=x3+x4+p=4+，
∴|AB|+|DE|=8+==，
当且仅当=时，上式“=”成立．
∴|AB|+|DE|的最小值24，
故选：C．

12．（5分）若函数y=f（x），x∈M，对于给定的非零实数a，总存在非零常数T，使得定义域M内的任意实数x，都有af（x）=f（x+T）恒成立，此时T为f（x）的类周期，函数y=f（x）是M上的a级类周期函数．若函数y=f（x）是定义在区间[0，+∞）内的2级类周期函数，且T=2，当x∈[0，2）时，函数．若∃x1∈[6，8]，∃x2∈（0，+∞），使g（x2）﹣f（x1）≤0成立，则实数m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据题意，由函数f（x）在[0，2）上的解析式，分析可得函数f（x）在[0，2）上的最值，结合a级类周期函数的含义，分析可得f（x）在[6，8]上的最大值，对于函数g（x），对其求导分析可得g（x）在区间（0，+∞）上的最小值；进而分析，将原问题转化为g（x）min≤f（x）max的问题，即可得+m≤8，解可得m的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，对于函数f（x），当x∈[0，2）时，，
分析可得：当0≤x≤1时，f（x）=﹣2x2，有最大值f（0）=，最小值f（1）=﹣，
当1＜x＜2时，f（x）=f（2﹣x），函数f（x）的图象关于直线x=1对称，则此时有﹣＜f（x）＜，
又由函数y=f（x）是定义在区间[0，+∞）内的2级类周期函数，且T=2；
则在∈[6，8）上，f（x）=23•f（x﹣6），则有﹣12≤f（x）≤4，
则f（8）=2f（6）=4f（4）=8f（2）=16f（0）=8，
则函数f（x）在区间[6，8]上的最大值为8，最小值为﹣12；
对于函数，有g′（x）=﹣+x+1==，
分析可得：在（0，1）上，g′（x）＜0，函数g（x）为减函数，
在（1，+∞）上，g′（x）＞0，函数g（x）为增函数，
则函数g（x）在（0，+∞）上，由最小值f（1）=+m，
若∃x1∈[6，8]，∃x2∈（0，+∞），使g（x2）﹣f（x1）≤0成立，
必有g（x）min≤f（x）max，即+m≤8，
解可得m≤，即m的取值范围为（﹣∞，]；
故选：B．

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）已知向量，，且，则=　　．
【分析】根据题意，由向量数量积的坐标计算公式可得•=2sinα﹣cosα=0，则有tanα=，结合同角三角函数的基本关系式分析可得sinα、cosα的值，即可得的坐标，向量模的计算公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，向量，，
若，则•=2sinα﹣cosα=0，则有tanα=，
又由sin2α+cos2α=1，则有或，
则=（，）或（﹣，﹣），
则||=，
则=2+2﹣2•=；
故答案为：

14．（5分）已知x，y满足约束条件则目标函数的最小值为　　．
【分析】由约束条件作出可行域，令t=5x﹣3y，化为y=，求出其最小值，即可求得目标函数的最小值．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

联立，解得A（2，4），
=，
令t=5x﹣3y，化为y=，由图可知，当直线y=过A时，
直线在y轴上的截距最大，t有最小值为﹣2．
∴目标函数的最小值为．
故答案为：．

15．（5分）在等比数列{an}中，a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为17，设bn=a2n﹣1﹣a2n，n∈N*，则数列{bn}的前2n项和为　　．
【分析】首先求出数列的通项公式，进一步利用等比数列的前n项和公式求出结果．
【解答】解：等比数列{an}中，a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为17，
设首项为a1，公比为q，
则：，
整理得：，
解得：．
则：，
所以：bn=a2n﹣1﹣a2n==﹣22n﹣4，
则：T2n==．
故答案为：．

16．（5分）如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，，点E是线段CD上异于点C，D的动点，EF⊥AD于点F，将△DEF沿EF折起到△PEF的位置，并使PF⊥AF，则五棱锥P﹣ABCEF的体积的取值范围为　（0，）　．

【分析】设DF=x，得出棱锥的体积V关于x的函数，再根据函数单调性和x的范围得出结论．
【解答】解：∵PF⊥AF，PF⊥EF，AF∩EF=F，
∴PF⊥平面ABCD．
设PF=x，则0＜x＜1，且EF=DF=x．
∴五边形ABCEF的面积为S=S梯形ABCD﹣S△DEF=×（1+2）×1﹣x2=（3﹣x2）．
∴五棱锥P﹣ABCEF的体积V=（3﹣x2）x=（3x﹣x3），
设f（x）=（3x﹣x3），则f′（x）=（3﹣3x2）=（1﹣x2），
∴当0＜x＜1时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，1）上单调递增，又f（0）=0，f（1）=．
∴五棱锥P﹣ABCEF的体积的范围是（0，）．
故答案为：．

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边a，b，c分别满足c=2b=2，2bcosA+acosC+ccosA=0，又点D满足．
（1）求a及角A的大小；
（2）求的值．

【分析】（1）运用正弦定理和诱导公式、两角和的正弦公式，化简可得角A的值，再由余弦定理，可得a；
（2）运用向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值．
【解答】解：（1）由2bcosA+acosC+ccosA=0及正弦定理得
﹣2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC，
即﹣2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，
在△ABC中，sinB＞0，所以．
又A∈（0，π），所以．
在△ABC中，c=2b=2，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2+bc=7，
所以．
（2）由，
得=，
所以．

18．（12分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，且，∠A1AB=∠A1AD=60°．
（1）求证：BD⊥CC1；
（2）若动点E在棱C1D1上，试确定点E的位置，使得直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为．

【分析】（1）连接A1B，A1D，AC，则△A1AB和△A1AD均为正三角形，设AC与BD的交点为O，连接A1O，则A1O⊥BD，由四边形ABCD是正方形，得AC⊥BD，从而BD⊥平面A1AC．进而BD⊥AA1，由此能证明BD⊥CC1．
（2）推导出A1B⊥A1D，A1O⊥AO，A1O⊥BD，从而A1O⊥底面ABCD，以点O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出当E为D1C1的中点时，直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为．
【解答】解：（1）连接A1B，A1D，AC，
因为AB=AA1=AD，∠A1AB=∠A1AD=60°，
所以△A1AB和△A1AD均为正三角形，
于是A1B=A1D．
设AC与BD的交点为O，连接A1O，则A1O⊥BD，
又四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，
而A1O∩AC=O，所以BD⊥平面A1AC．
又AA1⊂平面A1AC，所以BD⊥AA1，
又CC1∥AA1，所以BD⊥CC1．
（2）由，及，知A1B⊥A1D，
于是，从而A1O⊥AO，
结合A1O⊥BD，AO∩AC=O，得A1O⊥底面ABCD，
所以OA、OB、OA1两两垂直．
如图，以点O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz，
则A（1，0，0），B（0，1，0），D（0，﹣1，0），A1（0，0，1），C（﹣1，0，0），
，，，
由，得D1（﹣1，﹣1，1）．
设（λ∈[0，1]），
则（xE+1，yE+1，zE﹣1）=λ（﹣1，1，0），即E（﹣λ﹣1，λ﹣1，1），
所以．
设平面B1BD的一个法向量为，
由得令x=1，得，
设直线DE与平面BDB1所成角为θ，
则，
解得或（舍去），
所以当E为D1C1的中点时，直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为．

19．（12分）“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，
（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），利用该正态分布，求Z落在（14.55，38.45）内的概率；
②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于（10，30）内的包数为X，求X的分布列和数学期望．
附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；
②若，则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）=0.9544．

【分析】（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为．
（2）①P（14.55＜Z＜38.45）=P（26.5﹣11.95＜Z＜26.5+11.95）=0.6826，
②根据题意得X～B（4，），；； ；；．
即可求得X的分布列、期望值．
【解答】解：（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为．
（2）①∵Z服从正态分布N（μ，σ2），且μ=26.5，σ≈11.95，
∴P（14.55＜Z＜38.45）=P（26.5﹣11.95＜Z＜26.5+11.95）=0.6826，
∴Z落在（14.55，38.45）内的概率是0.6826．
②根据题意得X～B（4，），；； ；
；．
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P

∴．

20．（12分）已知椭圆C：的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l：y=kx+2与椭圆C相交于A，B两点，在y轴上是否存在点D，使直线AD与BD的斜率之和kAD+kBD为定值？若存在，求出点D坐标及该定值，若不存在，试说明理由．
【分析】（1）根据题意，由椭圆的几何性质分析可得，解可得a、b的值，将a、b的值代入椭圆的方程，即可得答案；
（2）联立直线与椭圆的标准方程可得（1+2k2）x2+8kx+6=0，分析可得△可得k的范围，设存在点D（0，m），由此表示KAD与KBD，由根与系数的关系分析可得只需6k﹣4k（2﹣m）=6k﹣8k+4mk=2（2m﹣1），据此分析可得答案．
【解答】解：（1）由已知可得解得a2=2，b2=c2=1，
所求椭圆方程为．
（2）由得（1+2k2）x2+8kx+6=0，
则△=64k2﹣24（1+2k2）=16k2﹣24＞0，解得或．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，，
设存在点D（0，m），则，，
所以==．
要使kAD+kBD为定值，只需6k﹣4k（2﹣m）=6k﹣8k+4mk=2（2m﹣1），k与参数k无关，
故2m﹣1=0，解得，
当时，kAD+kBD=0．
综上所述，存在点，使得kAD+kBD为定值，且定值为0．

21．（12分）已知函数f（x）=ex﹣2（a﹣1）x﹣b，其中e为自然对数的底数．
（1）若函数f（x）在区间[0，1]上是单调函数，试求实数a的取值范围；
（2）已知函数g（x）=ex﹣（a﹣1）x2﹣bx﹣1，且g（1）=0，若函数g（x）在区间[0，1]上恰有3个零点，求实数a的取值范围．
【分析】（1）根据题意，由函数的解析式计算可得f'（x），由函数的导数与函数单调性的关系，分2种情况分析讨论，求出a的取值范围，综合即可得答案；
（2）根据题意，对g（x）求导分析可得f（x）=g'（x），由g（0）=g（1）=0，知g（x）在区间（0，1）内恰有一个零点，由（1）的结论，分析g（x）的极值，综合即可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）=ex﹣2（a﹣1）x﹣b，
其导数为f'（x）=ex﹣2（a﹣1），
当函数f（x）在区间[0，1]上单调递增时，f'（x）=ex﹣2（a﹣1）≥0在区间[0，1]上恒成立，
∴2（a﹣1）≤（ex）min=1（其中x∈[0，1]），解得；
当函数f（x）在区间[0，1]单调递减时，f'（x）=ex﹣2（a﹣1）≤0在区间[0，1]上恒成立，
∴2（a﹣1）≥（ex）max=e（其中x∈[0，1]），解得．
综上所述，实数a的取值范围是．
（2）函数g（x）=ex﹣（a﹣1）x2﹣bx﹣1，
则g'（x）=ex﹣2（a﹣1）x﹣b，
分析可得f（x）=g'（x）．
由g（0）=g（1）=0，知g（x）在区间（0，1）内恰有一个零点，
设该零点为x0，则g（x）在区间（0，x0）内不单调，
所以f（x）在区间（0，x0）内存在零点x1，
同理，f（x）在区间（x0，1）内存在零点x2，
所以f（x）在区间（0，1）内恰有两个零点．
由（1）知，当时，f（x）在区间[0，1]上单调递增，故f（x）在区间（0，1）内至多有一个零点，不合题意．
当时，f（x）在区间[0，1]上单调递减，
故f（x）在（0，1）内至多有一个零点，不合题意；
所以．
令f'（x）=0，得x=ln（2a﹣2）∈（0，1），
所以函数f（x）在区间[0，ln（2a﹣2）]上单调递减，在区间（ln（2a﹣2），1]上单调递增．
记f（x）的两个零点为x1，x2（x1＜x2），
因此x1∈（0，ln（2a﹣2）]，x2∈（ln（2a﹣2），1），必有f（0）=1﹣b＞0，f（1）=e﹣2a+2﹣b＞0．
由g（1）=0，得a+b=e，
所以，
又f（0）=a﹣e+1＞0，f（1）=2﹣a＞0，
所以e﹣1＜a＜2．
综上所述，实数a的取值范围为（e﹣1，2）．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，圆C1的参数方程为（θ为参数，a是大于0的常数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为．
（1）求圆C1的极坐标方程和圆C2的直角坐标方程；
（2）分别记直线l：，ρ∈R与圆C1、圆C2的异于原点的焦点为A，B，若圆C1与圆C2外切，试求实数a的值及线段AB的长．
【分析】（1）直接把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．
（2）直接利用圆与圆的其位置关系求出相关的等量，并求出极径的长．
【解答】解：（1）圆C1：（θ是参数）消去参数θ，
得其普通方程为（x+1）2+（y+1）2=a2，
将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式并化简，
得圆C1的极坐标方程，
由圆C2的极坐标方程，
得ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ．
将x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2代入上式，
得圆C2的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．
（2）由（1）知圆C1的圆心C1（﹣1，﹣1），半径r1=a；
圆C2的圆心C2（1，1），半径，
，
∵圆C1与圆C2外切，
∴，
解得，
即圆C1的极坐标方程为．
将代入C1，
得，
得；
将代入C2，
得，
得；
故．

[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|2x+1|．
（1）求不等式f（x）≤10﹣|x﹣3|的解集；
（2）若正数m，n满足m+2n=mn，求证：f（m）+f（﹣2n）≥16．
【分析】（1）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；
（2）求出m+2n≥8，求出f（m）+f（﹣2n）的最小值即可．
【解答】解：（1）此不等式等价于或或
解得或或3＜x≤4．
即不等式的解集为．
（2）证明：∵m＞0，n＞0，m+2n=mn，，即m+2n≥8，
当且仅当即时取等号．
∴f（m）+f（﹣2n）=|2m+1|+|﹣4n+1|≥|（2m+1）﹣（﹣4n+1）|=|2m+4n|=2（m+2n）≥16，
当且仅当﹣4n+1≤0，即时，取等号．
∴f（m）+f（﹣2n）≥16．

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