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2022版高考数学一轮复习 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第六讲 几何概型学案 新人教版

2022版高考数学一轮复习 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第六讲 几何概型学案 新人教版

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第六讲　几何概型

知识梳理·双基自测

知识点一　几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的_长度(面积或体积)__成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
知识点二　几何概型的特点
(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；
(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．
知识点三　几何概型的概率公式
P(A)＝___.
知识点四　随机模拟方法
(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．
(2)用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是：①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；③计算频率fn(A)＝作为所求概率的近似值．

几种常见的几何概型
(1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关．
(2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题．
(3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题．

题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．(　√　)
(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．(　√　)
(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．(　√　)
(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．(　√　)
(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．(　×　)
(6)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P＝.(　×　)
题组二　走进教材
2．(P140T1)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是(　A　)

[解析]　∵P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，
∴P(A)>P(C)＝P(D)>P(B)．故选A．
3．(P146B组T4)设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是(　D　)
A． B．
C． D．
[解析]如图所示，正方形OABC及其内部为不等式组表示的平面区域D，且区域D的面积为4，而阴影部分(不包括)表示的是区域D内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是，故选D．

题组三　走向高考
4．(2017·全国Ⅰ)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是(　B　)

A． B．
C． D．
[解析]　不妨设正方形ABCD的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S正方形＝4.
由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S黑＝S白＝S圆＝，所以由几何概型知，所求概率P＝＝＝.故选B．
5．(2019·全国)在Rt△ABC中，AB＝BC，在BC边上随机取点P，则∠BAP<30°的概率为(　B　)
A． B．
C． D．
[解析]　在Rt△ABC中，AB＝BC，Rt△ABC为等腰直角三角形，令AB＝BC＝1，则AC＝；

在BC边上随机取点P，当∠BAP＝30°时，BP＝tan 30°＝，
在BC边上随机取点P，则∠BAP<30°的概率为：P＝＝，故选B．

考点突破·互动探究
考点一　与长度有关的几何概型——自主练透
例1 (1)(2021·山西运城模拟)某单位试行上班刷卡制度，规定每天8：30上班，有15分钟的有效刷卡时间(即8：15－8：30)，一名职工在7：50到8：30之间到单位且到达单位的时刻是随机的，则他能正常刷卡上班的概率是(　D　)
A． B．
C． D．
(2)(2021·福建龙岩质检)在区间上随机取一个实数x，使cos x≥的概率为(　B　)
A． B．
C． D．
(3)(2020·山东省青岛市模拟)已知圆C：x2＋y2＝1和直线l：y＝k(x＋2)，在(－，)上随机选取一个数k，则事件“直线l与圆C相交”发生的概率为(　C　)
A． B．
C． D．
[解析]　(1)一名职工在7：50到8：30之间到单位，刷卡时间长度为40分钟，但有效刷卡时间是8：15－8：30共15分钟，由测度比为长度比可得，该职工能正常刷卡上班的概率P＝＝.故选D．
(2)由y＝cos x在区间上单调递增，在上单调递减，则不等式cos x≥在区间上的解为－≤x≤，故cos x≥的概率为＝.
(3)直线l与C相交⇒<1⇒－<k<.
∴所求概率P＝＝.故选C．
[引申]本例(3)中“圆上到直线l的距离为的点有4个”发生的概率为___.
[解析]　圆上到直线l的距离为的点有4个⇔圆心到直线l的距离小于⇔<⇔－<k<，
∴所求概率P＝＝.

名师点拨
与长度有关的几何概型
如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为
P(A)＝.
〔变式训练1〕
(1)(2017·江苏卷)记函数f(x)＝的定义域为D．在区间[－4,5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是___.
(2)(2021·河南豫北名校联盟精英对抗赛)已知函数f(x)＝sin x＋cos x，当x∈[0，π]时，f(x)≥1的概率为(　D　)
A． B．
C． D．
[解析]　(1)D＝{x|6＋x－x2≥0}＝[－2,3]，
∴所求概率P＝＝.
(2)由f(x)＝2sin≥1，x∈[0，π]得x∈，
∴所求概率P＝＝，故选D．
考点二　与面积有关的几何概型——师生共研
角度1　与平面图形有关的问题
例2 (1)(2021·河南商丘、周口、驻马店联考)如图，AC，BD上分别是大圆O的两条相互垂直的直径，4个小圆的直径分别为OA，OB，OC，OD，若向大圆内部随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为(　D　)

A． B．
C． D．
(2)设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为(　C　)
A．＋ B．＋
C．－ D．－
[解析]　(1)不妨设大圆的半径为2，则大圆的面积为4π，小圆的半径为1，如图，设图中阴影部分面积为S，

由图形的对称性知，S阴影＝8S.
又S＝π×12－×2＝1，
则所求概率为＝，故选D．
(2)∵|z|＝≤1，
∴(x－1)2＋y2≤1，其几何意义表示为以(1,0)为圆心，1为半径的圆面，如图所示，而y≥x所表示的区域如图中阴影部分，故P＝＝－.

[引申]本例(1)中图形改成下图，则此点取自图中阴影部分的概率为___.

[解析]　不妨设大圆的半径为2，则小圆的半径为1，
∴所求概率P＝＝.
角度2　与线性规划交汇的问题
例3 在满足不等式组的平面点集中随机取一点M(x0，y0)，设事件A为“y0<2x0”，那么事件A发生的概率是(　B　)
A． B．
C． D．
[解析]　如图所示，不等式组表示的平面区域为△ABC且A(1,2)，B(－1,0)，C(3,0)，显然直线l：y＝2x过A且与x轴交于O，∴所求概率P＝＝＝.选B．

名师点拨
解决与面积有关的几何概型的方法
求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的几何元素，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．
〔变式训练2〕
(1)(2021·唐山模拟)右图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点，据此可估计黑色部分的面积为(　B　)

A．8 B．9
C．10 D．12
(2)(2021·四川模拟)以正三角形的顶点为圆心，其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形被称为勒洛三角形，它是具有类似于圆的“等宽性”曲线，由德国机械工程专家、数学家勒洛首先发现．如图，D，E，F为正三角形ABC各边中点，作出正三角形DEF的勒洛三角形DEF(阴影部分)，若在△ABC中随机取一点，则该点取自于该勒洛三角形部分的概率为(　C　)

A． B．
C． D．
[解析]　(1)根据面积之比与点数之比相等的关系，得黑色部分的面积S＝4×4×＝9，故选B．
(2)设△ABC的边长为2，则正△DEF边长为1，
以D为圆心的扇形面积是＝，
△DEF的面积是×1×1×＝，
∴勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形面积，
即图中勒洛三角形面积为3×＋＝，△ABC面积为，

所求概率P＝＝.
故选C．
考点三　与体积有关的几何概型——师生共研
例4 (1)(2021·山西省模拟)以正方体各面中心为顶点构成一个几何体，从正方体内任取一点P，则P落在该几何体内的概率为(　C　)
A． B．
C． D．
(2)(2020·江西抚州临川一中期末)已知三棱锥S－ABC，在该三棱锥内任取一点P，则使VP－ABC≤VS－ABC的概率为(　D　)
A． B．
C． D．
[解析]　(1)如图以正方体各面中心为顶点的几何体是由两同底正四棱锥拼成，不妨设正方体棱长为2，则GH＝，∴所求概率P＝＝＝，故选C．

(2)作出S在底面△ABC的射影为O，若VP－ABC＝VS－ABC，

则三棱锥P－ABC的高等于SO，
P点落在平面EFD上，且＝＝＝，
所以＝，
故VS－EFD＝VS－ABC，
∴VP－ABC≤VS－ABC的概率P＝1－＝.故选D．

名师点拨
求解与体积有关问题的注意点
对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的问题常转化为其对立事件的概率问题求解．
〔变式训练3〕
一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为(　C　)
A． B．
C． D．
[解析]　由已知条件可知，蜜蜂只能在以正方体的中心为中心棱长为1的小正方体内飞行，结合几何概型可得蜜蜂“安全飞行”的概率为P＝＝.

[引申]若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体8个顶点的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为_1－__.
[解析]　所求概率P＝＝1－.
考点四　与角度有关的几何概型——师生共研
例5 (1)(2021·南岗区校级模拟)已知正方形ABCD的边长为，以A为顶点在∠BAD内部作射线AP，射线AP与正方形ABCD的边交于点M，则AM<2的概率为(　D　)
A． B．
C． D．
(2)在等腰Rt△ABC中，过直角顶点C在∠ACB内作一条射线CD与线段AB交于点D，则AD<AC的概率为___.
[解析]　(1)正方形ABCD的边长为，以A为顶点在∠BAD内部作射线AP，射线AP与正方形ABCD的边交于点M，如图所示：

己知AD＝AB＝BC＝CD＝，
DM ＝1，
所以AM＝＝2.
所以∠DAM＝.
根据阴影的对称性，
故P(AM<2)＝＝，故选D．
(2)在AB上取AC′＝AC，
则∠ACC′＝＝67.5°.
设事件A＝{在∠ACB内部作一条射线CD，与线段AB交于点D，AD<AC}．
则所有可能结果的区域角度为90°，事件A的区域角度为67.5°，
∴P(A)＝＝.

名师点拨
与角度有关的几何概型的求解方法
(1)若试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度来表示，则其概率公式为
P(A)＝.
(2)解决此类问题时注意事件的全部结果构成的区域及所求事件的所有结果构成的区域，然后再利用公式计算．
〔变式训练4〕
(1)(2021·山西太原一模)如图，四边形ABCD为矩形，AB＝，BC＝1，在∠DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为___.

(2)如图所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，则BM<1的概率为___.

[解析]　(1)当点P在BC上时，AP与BC有公共点，此时AP扫过△ABC，所以所求事件的概率P＝＝.
(2)因为∠B＝60°，∠C＝45°，所以∠BAC＝75°，
在Rt△ABD中，AD＝，∠B＝60°，
所以BD＝＝1，∠BAD＝30°.
记事件N为“在∠BAC内作射线AM交BC于点M，使BM<1”，则可得∠BAM<∠BAD时事件N发生．
由几何概型的概率公式，得P(N)＝＝.

名师讲坛·素养提升
转化与化归思想在几何概型中的应用
例6 (1)(2021·贵州遵义模拟)在区间[0,2]上任取两个数，则这两个数之和大于3的概率是(　A　)
A． B．
C． D．
(2)(2021·济宁模拟)甲、乙两人约定晚6点到晚7点之间在某处见面，并约定甲若早到则等乙半小时，而乙还有其他安排，若乙早到则不需等待，则甲、乙两人能见面的概率为(　A　)
A． B．
C． D．
[解析]　(1)设函数为x，y，则
由图可知x＋y>3的概率P＝＝.故选A．

(2)以6点作为计算时间的起点，设甲到的时间为x，乙到的时间为y，则基本事件空间是Ω＝{(x，y)|0≤x≤1,0≤y≤1}，事件对应的平面区域的面积S＝1，设满足条件的事件对应的平面区域是A，则A＝{(x，y)|0≤x≤1,0≤y≤1，y－x≤，且y≥x}，其对应的区域如图中阴影部分所示，则B(0，)，D(，1)，C(0,1)，则事件A对应的平面区域的面积是1－××－×1×1＝，根据几何概型的概率计算公式得P＝＝.

名师点拨
生活中的几何概型度量区域的构造方法：
(1)审题：通过阅读题目，提炼相关信息．
(2)建模：利用相关信息的特征，建立概率模型．
(3)解模：求解建立的数学模型．
(4)结论：将解出的数学模型的解转化为题目要求的结论．
〔变式训练5〕
(2020·海口调研)张先生订了一份《南昌晚报》，送报人在早上6：30－7：30之间把报纸送到他家，张先生离开家去上班的时间在早上7：00－8：00之间，则张先生在离开家之前能拿到报纸的概率是___.
[解析]　以横坐标x表示报纸送到时间，以纵坐标y表示张先生离家时间，建立平面直角坐标系，如图．因为随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．根据题意只要点落在阴影部分，就表示张先生在离开家之前能拿到报纸，即所求事件A发生，所以P(A)＝＝.