2022版高考数学一轮复习-课时规范练34-空间直线、平面的平行新人教A版.docx

2022版高考数学一轮复习 课时规范练34 空间直线、平面的平行新人教A版

2022版高考数学一轮复习 课时规范练34 空间直线、平面的平行新人教A版

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课时规范练34　空间直线、平面的平行
基础巩固组
1.下列说法正确的是(　　)
A.若两条直线与同一条直线所成的角相等,则这两条直线平行
B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行
C.若一条直线分别平行于两个相交平面,则一定平行它们的交线
D.若两个平面都平行于同一条直线,则这两个平面平行
2.(2020陕西高三模拟)已知m,n为不同的直线,α,β为不同的平面,给出下列命题:
①m⊥α,m⊥n⇒n∥α;②m⊥β,n⊥β⇒m∥n;③m⊥α,m⊥β⇒α∥β;④m⊂α,n⊂β,α∥β⇒m∥n
其中正确命题的序号是(　　)

A.②③ B.①②③
C.②④ D.①②④
3.已知正方体的棱C1D1上存在一点E(不与端点重合),使得BD1∥平面B1CE,则下列命题正确的是(　　)
A.BD1∥CE B.AC1⊥BD1
C.D1E=2EC1 D.D1E=EC1

4.(2020四川冕宁中学三模)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知E,F,G均是线段A1C1上的点,且A1E=EF=FG=GC1.则下列直线与平面A1BD平行的是(　　)
A.CE B.CF
C.CG D.CC1

5.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若E,F,G,H分别是棱A1B1,BB1,CC1,C1D1的中点,则必有(　　)
A.BD1∥GH
B.BD∥EF
C.平面EFGH∥平面ABCD
D.平面EFGH∥平面A1BCD1

6.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是A1B1,B1C1,BB1的中点,下列四个推断中正确的是(　　)
A.FG∥平面AA1D1D
B.EF∥平面BC1D1
C.FG∥平面BC1D1
D.平面EFG∥平面BC1D1

7.如图,四边形ABCD是空间四边形,E,F,G,H分别是四边上的点,它们共面,且AC∥平面EFGH,BD∥平面EFGH,AC=m,BD=n,则当四边形EFGH是菱形时,AE∶EB=　　　　. 
8.(2020山西太原二中高考模拟)在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为棱CC1,C1D1,D1D,DC的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M满足条件　　　　时,有MN∥平面B1BDD1. 
9.已知平面α,β和直线m,给出以下条件:①m∥α;②m⊥α;③m⊂α;④α⊥β;⑤α∥β,当条件　　　成立时,有m∥β;当条件　　　成立时,有m⊥β(填所选条件的序号). 
10.(2020陕西西安高三三模)如图,菱形ABCD的边长为4,∠ABC=60°,E为CD中点,将△ADE沿AE折起,点D移动到点P的位置使得平面APE⊥平面ABCE,BE与AC相交于点O,H是棱PE上的一点且满足PH=2HE.

(1)求证:OH∥平面BCP;
(2)求四面体A-BPH的体积.

综合提升组
11.(2020辽宁高三模拟)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=DD1=1,AB=3,E,F,G分别为AB,BC,C1D1的中点,点P在平面ABCD内,若直线D1P∥平面EFG,则线段D1P长度的最小值是(　　)

A.223 B.62
C.52 D.72

12.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=1.一平面截该长方体,所得截面为六边形OPQRST,其中O,P分别为AD,CD的中点,B1S=12,则AT=　　　　. 
13.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,B1C1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q,如图.

(1)若A1C交平面EFBD于点R,证明:P,Q,R三点共线;
(2)线段AC上是否存在点M,使得平面B1D1M∥平面EFBD,若存在,确定M的位置;若不存在,说明理由.

创新应用组

14.(2020安徽合肥第六中学高三模拟)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,底面ABCD是矩形,EF<BC.
(1)证明:EF∥平面ABCD;
(2)在《九章算术》中,称图中所示的五面体ABCDEF为“刍甍”(chúméng),书中将刍甍ABCDEF的体积求法表述为“术曰:倍下袤,上袤从之,以广乘之,又以高乘之,六而一”.其意思是:若刍甍ABCDEF的“下袤”BC的长为a,“上袤”EF的长为b,“广”AB的长为c,“高”即“点F到平面ABCD的距离”为h,则刍甍ABCDEF的体积V的计算公式为V=16(2a+b)ch,证明该体积公式.

参考答案

课时规范练34　空间直线、
平面的平行
1.C　由两条直线与同一条直线所成的角相等,可知两条直线可能平行,可能相交,也可能异面,故A错误;
若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面可能平行或相交,故B错误;
设α∩β=l,m∥α,m∥β,利用线面平行的性质定理,在平面α中存在直线a∥m,在平面β中存在直线b∥m,所以可知a∥b,根据线面平行的判定定理,可得b∥α,然后根据线面平行的性质定理可知b∥l,所以m∥l,故C正确;
若两个平面都平行于同一条直线,则两个平面可能平行,也可能相交,故D错误.故选C.
2.A　若m⊥α,m⊥n,则n∥α或n⊂α,命题①错误;
若m⊥β,n⊥β,由线面垂直的性质定理可知m∥n,命题②正确;
若m⊥α,m⊥β,则α∥β,命题③正确;
若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m与n无公共点,所以,m与n平行或异面,命题④错误.故选A.
3.

D　如图,设B1C∩BC1=O,可得平面BC1D1∩平面B1CE=OE,∵BD1∥平面B1CE,根据线面平行的性质定理可得BD1∥OE,
∵O为B1C的中点,∴E为C1D1中点,∴D1E=EC1.故选D.

4.B　如图,连接AC,使AC交BD于点O,连接A1O,CF,则O为AC的中点,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1∥CC1,且AA1=CC1,则四边形AA1C1C为平行四边形,
∴A1C1∥AC,且A1C1=AC.∵O,F分别为AC,A1C1的中点,∴A1F∥OC,且A1F=OC,
∴四边形A1OCF为平行四边形,则CF∥A1O.∵CF⊄平面A1BD,A1O⊂平面A1BD,∴CF∥平面A1BD.故选B.
5.D　由三角形中位线定理可知,GH∥D1C,因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,所以BD1,GH不可能互相平行,故A错误;
由三角形中位线定理可知,EF∥A1B,因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,所以BD,EF不可能互相平行,故B错误;
由三角形中位线定理可知,EF∥A1B,而直线A1B与平面ABCD相交,故直线EF与平面ABCD也相交,故平面EFGH与平面ABCD相交,故C错误;
由三角形中位线定理可知,EF∥A1B,EH∥A1D1,所以EF∥平面A1BCD1,EH∥平面A1BCD1,而EF∩EH=E,因此平面EFGH∥平面A1BCD1,故D正确.故选D.
6.AC　∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是A1B1,B1C1,BB1的中点,∴FG∥BC1,∵BC1∥AD1,∴FG∥AD1.∵FG⊄平面AA1D1D,AD1⊂平面AA1D1D,∴FG∥平面AA1D1D.故A正确;∵EF∥A1C1,A1C1与平面BC1D1相交,∴EF与平面BC1D1相交.故B错误;∵E,F,G分别是A1B1,B1C1,BB1的中点,∴FG∥BC1,∵FG⊄平面BC1D1,BC1⊂平面BC1D1,∴FG∥平面BC1D1.故C正确;∵EF与平面BC1D1相交,∴平面EFG与平面BC1D1相交,故D错误.故选AC.
7.m∶n　∵AC∥平面EFGH,BD∥平面EFGH,AC⊂平面ABC,BD⊂平面ABD,平面ABC∩平面EFGH=EF,平面ABD∩平面EFGH=EH,
∴EF∥AC,EH∥BD,∴EF=BEABm,EH=AEABn.又四边形EFGH是菱形,∴BEABm=AEABn,∴AE∶EB=m∶n.
8.点M在线段FH上　

∵E,F,G,H分别为棱CC1,C1D1,D1D,DC的中点,N是BC的中点,∴HN∥DB,FH∥D1D,又FH∩HN=H,∴平面FHN∥平面B1BDD1.
∵点M在四边形EFGH及其内部运动,若MN∥平面B1BDD1,则点M在线段FH上.
9.③⑤　②⑤　根据面面平行的性质可得,若m⊂α,α∥β,则m∥β;
根据线面垂直以及面面平行的性质可得,若m⊥α,α∥β,则m⊥β.
10.(1)证明由题意,可得CE∥AB,AB=2CE,所以OEOB=12.
又因为PH=2HE,所以OH∥BP.
又由BP⊂平面BCP,OH⊄平面BCP,
所以OH∥平面BCP.
(2)解由平面APE⊥平面ABCE,平面APE∩平面ABCE=AE,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,所以△ABC,△ADC都是等边三角形,又E为CD中点,所以
AE⊥CE,所以CE⊥平面APE.
因为CE∥AB,所以AB⊥平面APE,S△APH=23S△APE=23×12×2×4×32=433,
所以四面体A-BPH的体积V=VB-APH=13·S△APH·AB=13×433×4=1693.
11.

D　如图,连接D1A,AC,D1C,
因为E,F,G分别为AB,BC,C1D1的中点,所以AC∥EF,EF⊄平面ACD1,则EF∥平面ACD1,因为EG∥AD1,所以同理得EG∥平面ACD1,又EF∩EG=E,得平面ACD1∥平面EFG,因为直线D1P∥平面EFG,所以点P在直线AC上,在△ACD1中,有AD1=2,AC=2,CD1=2,所以S△AD1C=12×2×22-222=72,故当D1P⊥AC时,线段D1P的长度最小,有S△AD1C=12×AC×D1P,解得D1P=7212×2=72.
故选D.
12.25　设AT=x,则A1T=1-x.由面面平行的性质定理可知OP∥SR,OT∥QR,PQ∥TS,则△DOP∽△B1RS.又因为DP=DO=1,所以B1S=B1R=12,所以A1S=C1R=32.由△ATO∽△C1QR,可得AOAT=C1RC1Q,所以C1Q=32x.由△A1TS∽△CQP,可得CQCP=A1TA1S,所以CQ=23(1-x),所以32x+23(1-x)=1,可得x=25,所以AT=25.
13.(1)证明因为AC∩BD=P,AC⊂平面AA1C1C,BD⊂平面EFBD,所以,点P是平面AA1C1C和平面EFBD的一个公共点,同理可知,点Q也是平面AA1C1C和平面EFBD的公共点,即平面AA1C1C和平面EFBD的交线为PQ.
因为A1C∩平面EFBD=R,A1C⊂平面AA1C1C,所以,点R也是平面AA1C1C和平面EFBD的公共点,由基本事实3可知,R∈PQ,因此,P,Q,R三点共线;
(2)

解存在点M,使得平面B1D1M∥平面EFBD.
如下图所示,
设B1D1∩A1C1=O,过点O作OM∥PQ交AC于点M,下面证明平面B1D1M∥平面EFBD.
因为E,F分别为D1C1,B1C1的中点,所以B1D1∥EF.
因为B1D1⊄平面EFBD,EF⊂平面EFBD,所以B1D1∥平面EFBD.
又OM∥PQ,OM⊄平面EFBD,PQ⊂平面EFBD,所以OM∥平面EFBD.
因为OM∩B1D1=O,OM,B1D1都在平面B1D1M中,因此,平面B1D1M∥平面EFBD.
因为E,F分别为D1C1,B1C1的中点,所以EF∥B1D1,且EF∩OC1=Q,则点Q为OC1的中点,
易知A1C1∥AC,即OQ∥PM,又OM∥PQ,所以四边形OMPQ为平行四边形,
所以PM=OQ=12OC1=14A1C1=14AC.
因为四边形ABCD为正方形,且AC∩BD=P,则P为AC的中点,所以点M为AP的中点,所以AM=12AP=14AC,
因此,线段AC上存在点M,且AMAC=14时,平面B1D1M∥平面EFBD.
14.证明(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴BC∥AD.
又∵AD⊂平面ADEF,BC⊄平面ADEF,∴BC∥平面ADEF.
又∵BC⊂平面BCEF,平面ADEF∩平面BCEF=EF,
∴BC∥EF.
又∵BC⊂平面ABCD,EF⊄平面ABCD,∴EF∥平面ABCD.

(2)设G,H分别是棱BC,AD上的点,且满足GC=HD=EF,
连接FG,FH,GH.由(1)知,GC∥HD∥EF,
∴四边形GCEF和GCDH为平行四边形.∴GF∥CE,GH∥CD.
又CD∩CE=C,∴平面GHF∥平面CDE,∴多面体CDE-GHF为三棱柱.
因此,刍甍ABCDEF可被分割成四棱锥F-ABGH和三棱柱CDE-GHF.
由题意知,在矩形ABGH中,
BG=BC-CG=BC-EF=a-b,AB=c,
∴矩形ABGH的面积S矩形ABGH=(a-b)c.
又四棱锥F-ABGH的高,即“点F到平面ABCD的距离”为h,
∴四棱锥F-ABGH的体积VF-ABGH=13S四边形ABGH·h=13(a-b)ch.
三棱柱CDE-GHF的体积可以看成是以矩形GCDH为底,以点F到平面ABCD的距离h为高的四棱柱体积的一半.
又矩形GCDH的面积S矩形GCDH=bc,
∴三棱柱CDE-GHF的体积VCDE-GHF=12S矩形GCDH·h=12bch.
故刍甍ABCDEF的体积为
V=VF-ABGH+VCDE-GHF=13(a-b)ch+12bch=cha-b3+b2=16(2a+b)ch.则刍甍ABCDEF体积公式得证.