2022版高考数学一轮复习-第八章-解析几何-第七讲-抛物线学案新人教版.doc

2022版高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第七讲 抛物线学案新人教版

2022版高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第七讲 抛物线学案新人教版

年级：
姓名：

第七讲　抛物线

知识梳理·双基自测

知识点一　抛物线的定义
抛物线需要满足以下三个条件：
(1)在平面内；
(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离__相等__；
(3)定点F与定直线l的关系为__点F∉l__．
知识点二　抛物线的标准方程与几何性质
标准
方程
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
x2＝2py(p＞0)
x2＝－2py(p＞0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形

顶点
O(0,0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
F____
F____
F____
F____
离心率
e＝__1__
准线方程
__x＝－__
__x＝__
__y＝－__
__y＝__
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
焦半径
(其中P(x0，y0))
|PF|＝
__x0＋__
|PF|＝
__－x0＋__
|PF|＝
__y0＋__
|PF|＝
__－y0＋__

抛物线焦点弦的处理规律
直线AB过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如图．

(1)y1y2＝－p2，x1x2＝．
(2)|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥2＝p，即当x1＝x2时，弦长最短为2p．
(3)＋＝．
(4)弦长AB＝(α为AB的倾斜角)．
(5)以AB为直径的圆与准线相切．
(6)焦点F对A，B在准线上射影的张角为90°．
(7)A、O、D三点共线；B、O、C三点共线．

题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　×　)
(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－．(　×　)
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　×　)
(4)AB为抛物线y2＝2px(p＞0)的过焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p．(　√　)
(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a＞0)的通径长为2a．(　√　)
题组二　走进教材
2．(必修2P69例4)(2021·甘肃张掖诊断)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于(　B　)
A．9 B．8
C．7 D．6
[解析]　抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1．根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8．
3．(2021·河南郑州名校调研)抛物线y＝－4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是(　B　)
A．－ B．－
C． D．
[解析]　由抛物线的方程y＝－4x2，可得标准方程为x2＝－y，则焦点坐标为F，准线方程为y＝，设M(x0，y0)，则由抛物线的定义可得－y0＋＝1，解得y0＝－．故选B．
题组三　走向高考
4．(2019·课标全国Ⅱ)若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝(　D　)
A．2 B．3
C．4 D．8
[解析]　∵抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为，
∴椭圆＋＝1的一个焦点为，
∴3p－p＝，∴p＝8．故选D．
5．(2020·新课标Ⅰ)已知A为抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝(　C　)
A．2 B．3
C．6 D．9
[解析]　A为抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，故有：9＋＝12⇒p＝6；故选C．

考点突破·互动探究
考点一　抛物线的定义及应用——多维探究
角度1　轨迹问题
例1 (1)动圆与定圆A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且和直线x＝1相切，则动圆圆心的轨迹是(　D　)
A．直线 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
[解析]　设动圆的圆心为C，则C到定圆A：(x＋2)2＋y2＝1的圆心的距离等于r＋1，而动圆的圆心到直线x＝1的距离等于r，所以动圆到直线x＝2距离为r＋1，即动圆圆心到定点(－2,0)和定直线x＝2的距离相等，根据抛物线的定义知，动圆的圆心轨迹为抛物线，所以答案为D．
角度2　到焦点与到定点距离之和最小问题
(2)①(2021·河北保定七校联考)已知M是抛物线x2 ＝4y上一点，F为其焦点，C为圆(x＋1)2＋(y－2)2 ＝1的圆心，则|MF|＋|MC|的最小值为(　B　)
A．2 B．3
C．4 D．5
②(2021·山西运城联考)已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，O为原点，点P是抛物线C的准线上的一动点，点A在抛物线C上，且|AF|＝4，则|PA|＋|PO|的最小值为(　B　)
A．4 B．2
C．3 D．4
[解析]　①设抛物线x2＝4y的准线方程为l：y＝－1，C为圆(x＋1)2＋(y－2)2＝1的圆心，所以C的坐标为(－1,2)，过M作l的垂线，垂足为E，根据抛物线的定义可知|MF|＝|ME|，所以问题求|MF|＋|MC|的最小值，就转化为求|ME|＋|MC|的最小值，由平面几何的知识可知，当C，M，E在一条直线上时，此时CE⊥l，|ME|＋|MC|有最小值，最小值为|CE|＝2－(－1)＝3，故选B．

②由抛物线的定义知|AF|＝yA＋＝yA＋2＝4，∴yA＝2，代入x2＝8y，得xA＝±4，不妨取A(4,2)，又O关于准线y＝－2的对称点为O′(0，－4)，∴|PA|＋|PO|＝|PA|＋|PO′|≥|AO′|＝＝2，当且仅当A、P、O′共线时取等号，故选B．

[引申]本例(2)①中，(ⅰ)|MC|－|MF|的最大值为____；最小值为__－__；(ⅱ)若N为⊙C上任一点，则|MF|＋|MN|的最小值为__2__．
角度3　到准线与到定点距离之和最小问题
(3)已知圆C：x2＋y2＋6x＋8y＋21＝0，抛物线y2＝8x的准线为l，设抛物线上任意一点P到直线l的距离为d，则d＋|PC|的最小值为(　A　)
A． B．7　
C．6 D．9
[解析]　由题意得圆的方程为(x＋3)2＋(y＋4)2＝4，圆心C的坐标为(－3，－4)．由抛物线定义知，当d＋|PC|最小时为圆心与抛物线焦点间的距离，即d＋|PC|＝＝．
角度4　到两定直线的距离之和最小问题
(4)(2021·北京人大附中测试)点P在曲线y2＝4x上，过P分别作直线x＝－1及y＝x＋3的垂线，垂足分别为G，H，则|PG|＋|PH|的最小值为(　B　)
A． B．2
C．＋1 D．＋2
[解析]　由题可知x＝－1是抛物线的准线，焦点F(1,0)，由抛物线的性质可知|PG|＝|PF|，∴|PG|＋|PH|＝|PF|＋|PH|≤|FH|＝＝2，当且仅当H、P、F三点共线时取等号，∴|PG|＋|PH|的最小值为2．故选B．

名师点拨
利用抛物线的定义可解决的常见问题
(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线．
(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的关系进行相互转化．
(3)看到准线想焦点，看到焦点想准线，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．
〔变式训练1〕
(1)(角度1)到定点A(0,2)的距离比到定直线l：y＝－1大1的动点P的轨迹方程为__x2＝8y__．
(2)(角度1)(2021·吉林省吉林市调研)已知抛物线y2＝4x的焦点F，点A(4,3)，P为抛物线上一点，且P不在直线AF上，则△PAF周长取最小值时，线段PF的长为(　B　)
A．1 B．
C．5 D．
(3)(角度2)(2021·山西大学附中模拟)已知点Q(2，0)及抛物线y＝上一动点P(x，y)，则y＋|PQ|的最小值是__2__．
(4)(角度3)(2021·上海虹口区二模)已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和l2的距离之和的最小值为(　C　)
A． B．
C．2 D．
[解析]　(1)由题意知P到A的距离等于其到直线y＝－2的距离，故P的轨迹是以A为焦点，直线y＝－2为准线的抛物线，所以其方程为x2＝8y．
(2)求△PAF周长的最小值，即求|PA|＋|PF|的最小值，设点P在准线上的射影为D，根据抛物线的定义，可知|PF|＝|PD|，因此，|PA|＋|PF|的最小值，即|PA|＋|PD|的最小值．根据平面几何知识，可得当D，P，A三点共线时|PA|＋|PD|最小，此时P，且|PF|＝＋1＝，故选B．

(3)抛物线y＝即x2＝4y，其焦点坐标为F(0,1)，准线方程为y＝－1．因为点Q的坐标为(2，0)，所以|FQ|＝＝3．过点P作准线的垂线PH，交x轴于点D，如图所示．结合抛物线的定义，有y＋|PQ|＝|PD|＋|PQ|＝|PH|＋|PQ|－1＝|PF|＋|PQ|－1≥|FQ|－1＝3－1＝2，即y＋|PQ|的最小值是2．

(4)直线l2：x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，则点P到直线l2：x＝－1的距离等于PF，过点F作直线l1：4x－3y＋6＝0的垂线，和抛物线的交点就是点P，所以点P到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离和到直线l2：x＝－1的距离之和的最小值就是点F(1,0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，所以最小值为＝2，故选C．

考点二　抛物线的标准方程——自主练透
例2 (1)过点P(－3,2)的抛物线的标准方程为__y2＝－x或x2＝y__．
(2)焦点在直线x－2y－4＝0上的抛物线的标准方程为__y2＝16x或x2＝－8y__，准线方程为__x＝－4或y＝2__．
(3)如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为(　B　)

A．y2＝x 　　 B．y2＝3x
C．y2＝x 　　 D．y2＝9x
[解析]　(1)设所求抛物线的方程为y2＝－2px(p＞0)或x2＝2py(p＞0)．
∵过点(－3,2)，∴4＝－2p·(－3)或9＝2p·2．
∴p＝或p＝．
∴所求抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝y．
(2)令x＝0，得y＝－2，令y＝0，得x＝4．
∴抛物线的焦点为(4,0)或(0，－2)．
当焦点为(4,0)时，＝4，
∴p＝8，此时抛物线方程为y2＝16x；
当焦点为(0，－2)时，＝2，
∴p＝4，此时抛物线方程为x2＝－8y．
∴所求的抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－8y，
对应的准线方程分别是x＝－4，y＝2．
(3)如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，

设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°．
在直角三角形ACE中，∵|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，2|AE|＝|AC|，
∴3＋3a＝6，从而得a＝1．
∵BD∥FG，∴＝，即＝，求得p＝，因此抛物线的方程为y2＝3x．

名师点拨
求抛物线的标准方程的方法
(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，若焦点位置确定，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．
(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．一般焦点在x轴上的抛物线的方程可设为y2＝ax(a≠0)；焦点在y轴上的抛物线的方程可设为x2＝ay(a≠0)．
〔变式训练2〕
(1)(2021·重庆沙坪坝区模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过点(p,0)且垂直于x轴的直线与抛物线C在第一象限内的交点为A，若|AF|＝1，则抛物线C的方程为(　A　)
A．y2＝x B．y2＝2x
C．y2＝3x D．y2＝4x
(2)(2021·安徽蚌埠一中期中)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点P(m，－3)到焦点的距离为5，则抛物线方程为(　D　)
A．x2＝8y B．x2＝4y
C．x2＝－4y D．x2＝－8y
[解析]　(1)由题意知xA＝p，又|AF|＝xA＋＝＝1，∴p＝，∴抛物线C的方程为y2＝x，故选A．
(2)由题意可知抛物线的焦点在y轴负半轴上，故设其方程为x2＝－2py(p＞0)，所以3＋＝5，即p＝4，所以所求抛物线方程为x2＝－8y，故选D．
考点三,抛物线的几何性质——师生共研
例3 (1)(2021·广西四校联考)已知抛物线y2＝2px(p＞0)上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为(　C　)
A．4 B．9
C．10 D．18
(2)(理)(2021·四川眉山模拟)点F为抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点，过F的直线交抛物线C于A，B两点(点A在第一象限)，过A、B分别作抛物线C的准线的垂线段，垂足分别为M、N，若|MF|＝4，|NF|＝3，则直线AB的斜率为(　D　)
A．1 B．
C．2 D．
(文)(2021·四川师大附中期中)已知抛物线y2＝2px(p＞0)，F为抛物线的焦点，O为坐标原点A(x1，y1)，B(x2，y2)为抛物线上的两点，A，B的中点到抛物线准线的距离为5，△ABO的重心为F，则p＝(　D　)
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析]　(1)抛物线y2＝2px的焦点为，准线方程为x＝－．由题意可得4＋＝9，解得p＝10，所以该抛物线的焦点到准线的距离为10．故选C．
(2)(理)由抛物线定义知|AM|＝|AF|，|BN|＝|BF|，
∴∠AFM＋∠BFM＝＝90°，
∴∠MFN＝90°，
又|MF|＝4，|NF|＝3，
∴|MN|＝5，∴p＝|KF|＝＝，
又∠AFM＝∠AMF＝∠MFK，
∴kAB＝tan(180°－2∠MFK)＝－＝－＝．故选D．

(文)＋＝5，＝，
∴10－p＝，所以p＝4．故选D．

名师点拨
在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．
〔变式训练3〕
(1)(2021·广东茂名五校联考)设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F(1,0)，过焦点的直线交抛物线于A、B两点，若|AF|＝4|BF|，则|AB|＝____．
(2)(2021·湖北荆州模拟)从抛物线y2＝4x在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝9，设抛物线的焦点为F，则直线PF的斜率为(　C　)
A． B．
C． D．
[解析]　(1)∵＝1，∴p＝2，
不妨设直线AB方程为x＝my＋1，

A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由，得y2－4my－4＝0，
∴y1y2＝－4，又|AF|＝4|BF|，∴y1＝－4y2，
∴y2＝－1，从而x2＝，∴|BF|＝1＋＝，
∴|AB|＝5|BF|＝．
(2)设P(x0，y0)，由抛物线y2＝4x，
可知其焦点F的坐标为(1,0)，
故|PM|＝x0＋1＝9，解得x0＝8，
故P点坐标为(8,4)，
所以kPF＝＝．故选C．
考点四,直线与抛物线的综合问题——师生共研
例4 (1)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F与双曲线－＝1的一个焦点重合，直线y＝x－4与抛物线交于A，B两点，则|AB|等于(　B　)
A．28 B．32
C．20 D．40
(2)(2021·陕西师大附中期中)已知抛物线y2＝4x的一条弦AB恰好以P(1,1)为中点，则弦AB所在直线的方程是(　B　)
A．y＝x－1 B．y＝2x－1
C．y＝－x＋2 D．y＝－2x＋3
(3)(2021·湖南五市十校联考)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)，直线y＝x－1与C相交所得的长为8．
①求p的值；
②过原点O的直线l与抛物线C交于M点，与直线x＝－1交于H点，过点H作y轴的垂线交抛物线C于N点，求证：直线MN过定点．
[解析]　(1)双曲线－＝1的焦点坐标为(±4,0)，故抛物线的焦点F的坐标为(4,0)．因此p＝8，故抛物线方程为y2＝16x，易知直线y＝x－4过抛物线的焦点．设A、B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．
由可得x2－24x＋16＝0，故x1＋x2＝24．
故|AB|＝x1＋x2＋p＝24＋8＝32．故选B．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴y1＋y2＝2，
由，知kAB＝＝＝2，
∴AB的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0，故选B．
(3)①由，消x可得y2－2py－2p＝0，

∴y1＋y2＝2p，y1y2＝－2p，
∴弦长为·＝·＝8，
解得p＝2或p＝－4(舍去)，
∴p＝2，
②由①可得y2＝ 4x，设M，
∴直线OM的方程y＝x，
当x＝－1时，∴yH＝－，
代入抛物线方程y2＝4x，可得xN＝，
∴N，
∴直线MN的斜率k＝＝，
直线MN的方程为y－y0＝，
整理可得y＝(x－1)，
故直线MN过点(1,0)．

名师点拨
(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要将两方程联立，消元，用到根与系数的关系．
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．
提醒：涉及弦的中点、斜率问题一般用“点差法”求解．
〔变式训练4〕
(1)(2021·甘肃诊断)直线l过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，且交抛物线于A，B两点，交其准线于C点，已知|AF|＝4，＝3，则p＝(　C　)
A．2 B．
C． D．4
(2)(2021·安徽皖南八校模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F到直线x－y＋1＝0的距离为．
①求抛物线C的方程；
②过点F的直线l与C交于A，B两点，交y轴于点P．若||＝3||，求直线l的方程．
[解析]　(1)过A，B分别作准线的垂线交准线于E，D两点，
设|BF|＝a，根据抛物线的性质可知，|BD|＝a，
|AE|＝4，根据平行线段比例可知＝，
即＝，解得a＝2，
又＝，即＝，
解得p＝a＝，故选C．

(2)①由抛物线C：y2＝2px(p＞0)，可得焦点F，
因为焦点到x－y＋1＝0的距离为，
即＝，解得p＝2，
所以抛物线C的方程y2＝4x．
②由①知焦点F(1,0)，设直线l：y＝k(x－1)，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程组，整理得
k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
所以x1＋x2＝2＋，①
x1x2＝1，②
又由||＝3||，得＝3，
可得x1＝4x2，③
由②③，可得x1＝2，x2＝，
代入①，可得2＋＝，解得k＝±2，
所以直线l的方程为2x－ y－2＝0或2x＋y－2＝0．

名师讲坛·素养提升
巧解抛物线的切线问题
例5 (1)抛物线C1：x2＝2py(p＞0)的焦点与双曲线C2：－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝(　D　)
A． B．
C． D．
(2)(2019·新课标Ⅲ，节选)已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．证明：直线AB过定点．
[解析]　(1)抛物线C1：x2＝2py(p＞0)的焦点坐标为，双曲线－y2＝1的右焦点坐标为(2,0)，两点连线的方程为y＝－(x－2)，联立得2x2＋p2x－2p2＝0．
设点M的横坐标为m，易知在M点处切线的斜率存在，则在点M处切线的斜率为y′x＝m＝．
又双曲线－y2＝1的渐近线方程为±y＝0，其与切线平行，所以＝，即m＝p，代入2x2＋p2x－2p2＝0，得p＝或p＝0(舍去)．
(2)设D，A(x1，y1)，
则x＝2y1，由于y′＝x，
∴切线DA的斜率为x1，故＝x1，
整理得：2tx1－2y1＋1＝0．
设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0．
故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0，即y－＝tx．
∴直线AB过定点．

名师点拨
利用导数工具解决抛物线的切线问题，使问题变得巧妙而简单，若用判别式解决抛物线的切线问题，计算量大，易出错．
注意：直线与抛物线只有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件，过抛物线外一点与抛物线只有一个公共点的直线有0条或3条；过抛物线上一点和抛物线只有一个公共点的直线有2条．
〔变式训练5〕
(1)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)，过点M作C的切线，则切线的斜率为__±1__．
(2)已知抛物线x2＝8y，过点P(b,4)作该抛物线的切线PA，PB，切点为A，B，若直线AB恒过定点，则该定点为(　C　)
A．(4,0) B．(3,2)
C．(0，－4) D．(4,1)
[解析]　(1)设斜率为k，则切线为y＝k代入y2＝2px中得k2x2＋p(k2－2)x＋＝0．
Δ＝0，即p2(k2－2)2－4·k2·＝0．
解得k2＝1，∴k＝±1．
(2)设A，B的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，
∵y＝，y′＝，
∴PA，PB的方程y－y1＝(x－x1)，y－y2＝(x－x2)，
由y1＝，y2＝，可得y＝x－y1，y＝x－y2，
∵切线PA，PB都过点P(b,4)，
∴4＝×b－y1,4＝×b－y2，
故可知过A，B两点的直线方程为4＝x－y，
当x＝0时，y＝－4，
∴直线AB恒过定点(0，－4)．故选C．