高中数学必修五综合测试题-含答案.doc

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高中数学必修五综合考试卷

第I卷（选择题）
一、单选题
1．数列0,23,45,67⋯的一个通项公式是（ ）
A． an=n-1n+1（n∈N*) B． an=n-12n+1（n∈N*)
C． an=2（n-1）2n-1（n∈N*) D． an=2n2n+1（n∈N*)
2．不等式x-12-x≥0的解集是（ ）
A． [1,2] B． (-∞,1]∪[2,+∞) C． [1,2) D． (-∞,1]∪(2,+∞)
3．若变量x,y满足x+y≥0x-y+1≥00≤x≤1 ，则x-3y的最小值是（ ）
A． -5 B． -3 C． 1 D． 4
4．在实数等比数列{an}中，a2，a6是方程x2－34x＋64＝0的两根，则a4等于(　　)
A． 8 B． －8 C． ±8 D． 以上都不对
5．己知数列{an}为正项等比数列，且a1a3+2a3a5+a5a7=4，则a2+a6=（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
6．数列前项的和为（ ）
A． B． C． D．
7．若ΔABC的三边长a,b,c成公差为2的 等差数列，最大角的正弦值为32，则这个三角形的面积为（ ）
A． 154 B． 1534 C． 2134 D． 3534
8．在△ABC中，已知a=2,b=2,A=450,则B等于( )
A． 30° B． 60° C． 30°或150° D． 60°或120°
9．下列命题中正确的是(　　)
A． a＞b⇒ac2＞bc2 B． a＞b⇒a2＞b2 C． a＞b⇒a3＞b3 D． a2＞b2⇒a＞b
10．满足条件a=4,b=32,A=45∘，的的个数是 ( )
A． 1个 B． 2个 C． 无数个 D． 不存在
11．已知函数f(x)=ax2-c满足：-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5.则f(3)应满足（　　）
A． -7≤f(3)≤26 B． -4≤f(3)≤15 C． -1≤f(3)≤20 D． -283≤f(3)≤353
12．已知数列{an}是公差为2的等差数列，且a1,a2,a5成等比数列，则a2为 （　　）
A． -2 B． -3 C． 2 D． 3
13．等差数列an的前10项和S10=15，则a4+a7等于（ ）
A． 3 B． 6 C． 9 D． 10
14．等差数列an,bn的前n项和分别为Sn,Tn，若SnTn=2n3n+1，则a3b3的值为（ ）
A． 35 B． 47 C． 58 D． 1219

第II卷（非选择题）
二、填空题
15．已知an为等差数列，且a7－2a4＝－1,a3＝0,则公差d=
16．在△ABC中，A=60∘，b=1，面积为3，则边长c=_________.
17．已知ΔABC中，c=3，a=1，acosB=bcosA ，则ΔABC面积为_________.
18．若数列an的前n项和Sn=23an+13，则an的通项公式____________
19．直线x-4y+9=0下方的平面区域用不等式表示为________________．
20．函数y=x+4x-1x>1的最小值是 _____________．
21．已知x，y∈R+，且4x+y=1，则1x+1y的最小值是______．

三、解答题
22．解一元二次不等式
（1）-x2-2x+3>0 （2）x2-3x+5>0

23．△ABC的角A、B、C的对边分别是a=5、b=6、c=7。
（1）求BC边上的中线AD的长；
（2）求△ABC的面积。

24．在ΔABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且b2+c2=bc+a2.
（1）求A的大小.
（2）若a=3，求b+c的最大值.

25．数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2.
(1)求数列{an}的通项公式； (2) 求证：{an}是等差数列.

26．已知公差不为零的等差数列{an}中， S2＝16，且a1,a4,a5成等比数列.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{|an|}的前n项和Tn.

27．已知数列an是公差不为0的等差数列，a4=3，a2,a3,a5成等比数列.
（1）求an；
（2）设bn=n⋅2an，数列bn的前n项和为Tn，求Tn.

28． 某化工厂生产甲、乙两种肥料，生产1车皮甲种肥料能获得利润10000元，需要的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐8吨；生产1车皮乙种肥料能获得利润5000元，需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存有磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种肥料．问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？

29．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an+12＝Sn＋1＋Sn.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn=a2n-1⋅2an，求数列{bn}的前n项和Tn.

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参考答案
1．C
【解析】
【分析】
观察数列分子为以0为首项，2为公差的等差数列，分母是以1为首项，2为公差的等差数列，故可得数列的通项公式．
【详解】
观察数列分子为以0为首项，2为公差的等差数列，分母是以1为首项，2为公差的等差数列，
故可得数列的通项公式an=2(n-1)2n-1（n∈Z*）．
故选：C．
【点睛】
本题考查了数列的概念及简单表示法，考查了数列的通项公式的求法，是基础题．
2．C
【解析】
【分析】
根据分式不等式的意义可转化为整式不等式(x-1)(2-x)≥0且2-x≠0，即可求解.
【详解】
原不等式等价于(x-1)(2-x)≥0且2-x≠0，解得1≤x<2，所以原不等式的解集是[1,2).
【点睛】
本题主要考查了分式不等式的解法，属于中档题.
3．A
【解析】
【分析】
画出可行域，令目标函数z=x-3y，即y=13x-13z，做出直线y=13x，平移该直线当直线过可行域且在y轴上截距最大时，即过点A(1,2)时，z有最小值.
【详解】
可行域为如图所示的四边形OBAC及其内部，令目标函数z=x-3y ，即y=13x-13z，过A(1,2) 点时，所在直线在y轴上的截距-13z取最大值，此时取得最小值，且.
【点睛】
本题主要考查了简单的线性规划，数形结合的思想方法，属于中档题.
4．A
【解析】
【分析】
利用根与系数的关系、等比数列的性质即可得出．
【详解】
等比数列{an}中，a2，a6是方程x2﹣34x+64=0的两根，
∴a2+a6=34＞，a2•a6=64=a42，又偶数项的符号相同，∴a4＞0．
则a4=8．
故选：A．
【点睛】
本题考查了等比数列的性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5．B
【解析】∵数列{an}为等比数列，且a1a3+2a3a5+a5a7=4
∴a22+2a2a6+a62=4，
即(a2+a6)2=4，
又an>0，
∴a2+a6=2．选B．
6．B
【解析】 ，故选B.
7．B
【解析】
试题分析：根据题意设三角形的三边最大角为,,则
由三角形两边之和大于第三边知即,由余弦定理得，即,计算得出:.三角形的三边分别为该三角形的面积为:所以选项是正确的.
考点：等差数列，余弦定理，三角形面积.
【思路点晴】本题给出三角形中三条边成公差为的等差数列，利用等差中项巧设三边这样只引入了一个变量，根据三角形中大边对大角，则最大角为边所对的角，根据，得到，从而得到三边分别为
8．A
【解析】
【分析】
由正弦定理asinA=bsinB知sinB=12，所以得B=300或1500，根据三角形边角关系可得B=300。
【详解】
由正弦定理asinA=bsinB得，
2sinπ4=2sinB，所以sinB=12
B=300或1500，
又因为在三角形中，a>b，所以有A>B，故B=300，答案选A。
【点睛】
本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，较简单基础。
9．C
【解析】
试题分析：对于选项A,根据不等式的性质，只有c>0时，能成立，故错误
选项B中，当a=0,b=-1,时，此时a>b，但是不满足平方后的a2>b2，成立，故错误。
选项D中，因为当a2>b2时，比如a=-2,b=0,的不满足a>b，故错误，排除法只有选C.
考点：本试题主要考查了不等式的性质的运用。
点评：解决该试题的关键是注意可乘性的运用。只有同时乘以正数不等号方向不变。
10．B
【解析】
解：因为满足条件a=4,b=32,A=45∘，利用余弦定理可知得到关于c的一元二次方程，即cosA=b2+c2-a22bc∴c2+2-6c=0，可知有两个不等的正根，因此有两解，选B
11．C
【解析】
【分析】
列出不等式组，作出其可行域，利用线性规划求出f（3）的最值即可．
【详解】
：∵﹣4≤f（1）≤﹣1，﹣1≤f（2）≤5，
∴&-4≤a-c≤-1&-1≤4a-c≤5，
作出可行域如图所示：

令z=f（3）=9a﹣c，则c=9a﹣z，
由可行域可知当直线c=9a﹣z经过点A时，截距最大，z取得最小值，
当直线c=9a﹣z经过点B时，截距最小，z取得最大值．
联立方程组&a-c=-1&4a-c=-1可得A（0，1），
∴z的最小值为9×0﹣1=﹣1，
联立方程组&4a-c=5&a-c=-4，得B（3，7），
∴z的最大值为9×3﹣7=20．
∴﹣1≤f（3）≤20．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
12．D
【解析】
【分析】
由等差数列知，a1=a2-d,a5=a2+3d，又三数成等比数列，所以a22=(a2-d)(a2+3d)，求解即可.
【详解】
因为a1=a2-d,a5=a2+3d，又a1,a2,a5成等比数列，所以a22=(a2-d)(a2+3d)，解得a2=3，故选D.
【点睛】
本题主要考查了等差数列通项公式及等比中项，属于中档题.
13．A
【解析】
【分析】
由题意结合等差数列前n项和公式和等差数列的性质整理计算即可求得最终结果.
【详解】
由题意可得：S10=a1+a102×10=5a1+a10=15，
则a1+a10=3，由等差数列的性质可得：a4+a7= a1+a10=3.
本题选择A选项.
【点睛】
本题主要考查等差数列的性质，等差数列前n项和公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
14．C
【解析】
【分析】
根据等差数列的求和公式进行变形可得a3b3=S5T5，结合条件代入n=5后可得所求的值．
【详解】
由等差数列的求和公式可得a3b3=2a32b3=a1+a5b1+b5=52(a1+a5)52(b1+b5)=S5T5=2×53×5+1=58，
故选C．
【点睛】
本题考查等差数列的求和公式和项的下标和的性质，解题时要注意等差数列的项与和之间的联系，关键是等差数列中项的下标和性质的灵活运用，考查变化和应用能力．
15．B
【解析】
【分析】
利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，求解即可．
【详解】
设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由等差数列的通项公式以及已知条件得a1+6d-2(a1+3d)＝-1a1+2d＝0 ，即a1＝1a1+2d＝0 ，
解得d=-12，
故选：B．
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式，熟记公式是解题的关键，同时注意方程思想的应用．
16．4
【解析】
【分析】
由已知利用三角形面积公式可求c
【详解】
∵A=60∘,b=1,面积为3=12bcsinA=12×1×c×32，
∴解得：c=4，
【点睛】
在解三角形面积时有三个公式可选择，但是题上已知角A，所以我们需抓取S=12bcsinA
17．34
【解析】
【分析】
由已知及正弦定理可得sin（A﹣B）=0，结合A，B的范围，可求﹣π＜A﹣B＜π，进而求得A﹣B=0，可得a=b=1，利用余弦定理可求cosA，同角三角函数基本关系式可求sinA，根据三角形面积公式即可计算得解．
【详解】
∵acosB=bcosA，
∴由正弦定理可得：sinAcosB=sinBcosA，可得：sin（A﹣B）=0，
∵0＜A＜π，0＜B＜π，可得：﹣π＜A﹣B＜π，
∴A﹣B=0，可得：a=b=1，
∴cosA=b2+c2-a22bc=1+3-12×1×3=32，可得：sinA=12，
∴S△ABC=12bcsinA=12×1×3×12=34．
故答案为：34．
【点睛】
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
18．an= -2n-1
【解析】
【分析】
把n=1的式子代入已知中得到数列的首项，再由n≥2时，an=Sn-Sn-1，推得anan-1=-2，得到数列an表示首项为a1=1，公比为q=-2的等比数列，即可求解.
【详解】
由题意，当n=1时，a1=S1=23a1+13，解得a1=1，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=23an+13-23an-1-13=23an-23an-1，
即an=-2an-1，所以anan-1=-2，
所以数列an表示首项为a1=1，公比为q=-2的等比数列，
所以数列an的通项公式为an=(-2)n-1.
【点睛】
本题主要考查了等比数列的通项公式，及数列an与Sn的关系的应用，其中熟记数列的an与Sn的关系式，合理推理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
19．x-4y+9>0
【解析】
【分析】
作出直线x-4y+9=0，判断O所在的平面区域，即可得到结论．
【详解】
点(0,0)在直线x-4y+9=0的下方，应使不等式成立，
所以直线x-4y+9=0下方的平面区域用不等式表示为x-4y+9>0．
故答案为：x-4y+9>0
【点睛】
本题主要考查二元一次不等式表示平面区域，先判断原点对应的不等式是解决本题的关键，比较基础．
20．5
【解析】
【分析】
先对函数的解析式变形，再利用基本不等式求最小值.
【详解】
由题得y=x-1+4x-1+1≥2(x-1)⋅4x-1+1=5.(当且仅当x>1x-1=4x-1即x=2时取等)
故答案为：5
【点睛】
（1）本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 使用基本不等式求最值时，要注意观察收集题目中的数学信息（正数、定值等），然后变形，配凑出基本不等式的条件.本题解题的关键是变形y=x-1+4x-1+1.
21．9
【解析】
【分析】
直接将代数式4x+y与1x+1y相乘，利用基本不等式可求出1x+1y的最小值．
【详解】
由基本不等式可得1x+1y=4x+y1x+1y=4xy+yx+5≥24xy⋅yx+5=9.，当且仅当4xy=yx4x+y=1⇒x=16y=13，等号成立，因此1x+1y的最小值为9，
故答案为：9．
【点睛】
在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
22．（1）(-3,1)；（2）R.
【解析】
【分析】
1利用因式分解即可
2利用判别式即可得到答案
【详解】
（1）由-x2-2x+3>0，
得x2+2x-3<0，
解得-3<x<1。
所以不等式的解集为(-3,1)。
（2）因为Δ=(-3)2-4×5=-11<0，
所以不等式x2-3x+5>0的解集为R。
【点睛】
本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题。
23．（1）1452；（2）66
【解析】
【分析】
（1）由余弦定理得cosB=a2+c2-b22ac可以求出cosB的值，再通过AD2=BD2+AB2-2BD•AB•cosB求出AD的值。
（2）通过cosB计算出sinB的值，再通过SΔABC=12acsinB计算出△ABC的面积。
【详解】
（1）在△ABC中，由余弦定理得cosB=a2+c2-b22ac ，
=25+49-362×5×7=1935 ，
由D是BC边上的中点知BD=52,
在△ABD中，由余弦定理知，
AD2=BD2+AB2-2BD•AB•cosB=(52)2+49-2×52×7×1935=1454，
所以AD=1452 ，
（2）由（1）知cosB=1935，三角形中sinB>0 ，
sinB=1-cosB2=1-(1935)2=12635 ，
SΔABC=12acsinB ，
=12×5×7×12635=66，所以△ABC的面积是66。
【点睛】
本题考察的是解三角形，要对解三角形的正弦定义、余弦定理、三角形面积公式有着足够的了解。
24．（1）π3；（2）23
【解析】
【分析】
（1）将余弦定理与已知等式相结合求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的大小；（2）将a代入可得b+c2-3=3bc，利用基本不等式即可得结果.
【详解】
（1）b2+c2=bc+a2⇒b2+c2-a2=bc⇒cosA=b2+c2-a22bc=12
∵A∈0，π∴A=π3
（2）∵a=3∴b2+c2=bc+3⇒b+c2-3=3bc
∵bc≤b+c22∴b+c2-3≤3b+c24，
∴b+c2≤12∴b+c≤23.
【点睛】
本题主要考查了余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键.
25．（1）an＝34－2n.（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）当n≥2时，an=Sn-Sn-1，又当n=1时，a1=S1，即可得出．
（2）只要证明：an+1-an= 常数即可．
【详解】
解 (1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝34－2n，
又当n＝1时，a1＝S1＝32＝34－2×1满足an＝34－2n.
故{an}的通项为an＝34－2n.
(2)证明：an＋1－an＝34－2(n＋1)－(34－2n)＝－2.
故数列{an}是以32为首项，－2为公差的等差数列．
【点睛】
本题考查了数列递推关系、等差数列的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
26．（1）an＝11－2n(n∈N*)．（2）见解析．
【解析】
【分析】
(1)S2＝16，a1,a4,a5成等比数列，2a1+d=16a1+3d2=a1a1+4d解得首项和公差进而得到通项；（2）当n≤5时，Tn＝a1＋a2＋…＋an, 直接按照等差数列求和公式求和即可, n≥6,Tn＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－ …－an =n2－10n＋50,写成分段即可.
【详解】
（1）由S2＝16，a1,a4,a5成等比数列，得2a1+d=16a1+3d2=a1a1+4d解得
所以等差数列{an}的通项公式为an＝11－2n(n∈N*)．
（2）当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋10n.
当n≥6时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－ …－an＝2S5－Sn＝2×(－52＋10×5)－(－n2＋10n)＝n2－10n＋50，
故Tn＝
【点睛】
数列通项的求法中有常见的已知Sn和an的关系，求an表达式，一般是写出Sn-1做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。
27．（1）an=n-1；（2）Tn=(n-1)·2n+1
【解析】
【分析】
（1）设数列an的首项为a1，公差为d，由a2,a3,a5成等比数列，列出方程，求得d=1，即可得到数列的通项公式；
（2）由（1）得bn=n⋅2n-1，利用乘公比错位相减法，即可求解数列的和.
【详解】
（1）设数列{an}的首项为a1，公差为d（d≠0），则an＝a1＋(n－1)d．
因为a2，a3，a5成等比数列，
所以(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋4d)，
化简得，a1d＝0，
又因为d≠0，
所以a1＝0，又因为a4＝a1＋3d＝3，
所以d＝1．
所以an＝n－1．
（2）bn＝n·2n－1，
Tn＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1， ①
则2Tn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n ． ②
①－②得，
－Tn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n，
＝－n·2n
＝(1－n)·2n－1．
所以，Tn＝(n－1)·2n＋1．
【点睛】
本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法”，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题将数列与解析几何结合起来，适当增大了难度，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.
28．生产甲种、乙种肥料各2车皮，能够产生最大利润，最大利润为3万元．
【解析】
【分析】
设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮能够产生利润z万元，列出线性约束条件，再利用线性规划求解.
【详解】
设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮能够产生利润z万元．
目标函数为z＝x＋0.5y，
约束条件为：4x+y≤1018x+15y≤66x≥0,x∈Ny≥0,y∈N，
可行域如图中阴影部分的整点．

当直线y＝－2x＋2z经过可行域上的点M时，截距2z最大，即z最大．
解方程组4x+y=1018x+15y=66得：M点坐标为(2,2)．
所以zmax＝x＋0.5y＝3.
所以生产甲种、乙种肥料各2车皮，能够产生最大利润，最大利润为3万元．
【点睛】
(1)本题主要考查线性规划的应用，意在考查学生对该知识的掌握水平和应用能力.(2) 线性规划问题步骤如下：①根据题意，设出变量x,y；②列出线性约束条件；③确定线性目标函数z=f(x,y)；④画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；⑤利用线性目标函数作平行直线系y=f(x)(z为参数）；⑥观察图形，找到直线y=f(x)(z为参数）在可行域上使z取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案.
29．(1)an=n(n∈N+) ； （2）Tn=(2n-3)⋅2n+1+6.
【解析】
【分析】
（1）a＝Sn＋1＋Sn①，当n≥2时，a＝Sn＋Sn－1②，①－②得a－a＝an＋1＋an可推出an＋1－an＝1，即可求解（2）利用错位相减法求和即可.
【详解】
(1)因为a＝Sn＋1＋Sn，①
所以当n≥2时，a＝Sn＋Sn－1，②
①－②得a－a＝an＋1＋an，即(an＋1＋an)(an＋1－an)＝an＋1＋an，
因为an>0，所以an＋1－an＝1，所以数列{an}从第二项起，是公差为1的等差数列．
由①知a＝S2＋S1，因为a1＝1，所以a2＝2，
所以当n≥2时，an＝2＋(n－2)×1，即an＝n.③
又因为a1＝1也满足③式，所以an＝n(n∈N*)．
(2)由(1)得bn=a2n-1⋅2an＝(2n－1)·2n，Tn＝2＋3·22＋5·23＋…＋(2n－1)·2n，④
2Tn＝22＋3·23＋…＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n＋1，⑤
④－⑤得－Tn＝2＋2×22＋…＋2×2n－(2n－1)·2n＋1，
所以－Tn＝2＋23(1-2n-1)1-2－(2n－1)·2n＋1，
故Tn＝(2n－3)·2n＋1＋6.
【点睛】
本题主要考查了数列前n项和Sn与an的关系，错位相减法求和，以及由递推关系求通项，属于难题.
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