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北京大学数学学院期末试题
2011－2012学年第一学期
考试科目 高等代数I 考试时间 2012年1月3日
姓 名 学 号
一. （10分）已知n阶方阵A =, B =.
求矩阵X , 使得 A X = B .
解: 对矩阵 [ A | B ] 作初等行变换
故 X =.

二.（15分）设 A : X a A X 是R 3上的线性变换, 其中A = .
(1) 求线性变换 A像空间的维数和一组基;
(2) 求矩阵A的特征值与特征向量;
(3) 判断矩阵A能否对角化并说明理由.
解: (1) 在标准基下, A像空间就是矩阵A的列空间, 它的一组基
为 , 维数是2 .
(2)

A的特征值为l = 2 (代数二重), 0 .

对l = 2解齐次方程组 ( A - 2 I ) X = 0 :

通解为x1 = x2 , x3 = 0 , x2 为自由变量. 写成向量形式

α1 = [ 1 1 0 ] T 构成l = 2特征子空间的一组基.
对l = 0解齐次方程组 A X = 0 :

通解为x1 = - x2 , x3 = 0 , x2 为自由变量. 写成向量形式

α1 = [ -1 1 0 ] T 构成l = 0特征子空间的一组基.
(3) 由于特征值 l = 2特征子空间的维数1小于其代数重数2,
A不能否对角化.
三．（35分）填空题 (多选) .
1．已知3阶矩阵A的特征值为 1, 1/2 , 0 , 相应的特征向量为
[ 1 0 1 ] T , [ 0 1 0 ] T , [ 1 2 0 ] T , 则 2 A3 – 3 A2 = .

2. 设A = . 当t 取 不等于1的值 时, 存在矩阵B ,
使得 AB = I . 当t 取 1 时, 存在非零矩阵C , 使得 C A = 0 .
3. 当 -4/5 < t < 0 时, 三元二次型
x 2 + y 2 + 5 z 2 + 2 t x y – 2 x z + 4 y z 正定.
4. 设a是n维欧氏空间里的单位列向量 , 则 | I – 5 a aT | = - 4 .
注: 可计算行列式或利用 | Im –A B | = | In –B A | .
5. 在实数域上，以下诸矩阵的相抵分类是 {A,B,D},{C},
相似分类是 {A,D},{B},{C} , 合同分类是 {A},{B},{C},{D}.

6. 以下说法正确的有 (a)(b)(c)(d) (多选).
a) 如果两个实对称矩阵相似, 它们也一定合同;
b) 实方阵都能写成P Q的形式, 其中P是实对称矩阵, Q是正交矩阵
c) 每个矩阵都能写成P J的形式, P是可逆矩阵, J是行简化阶梯矩阵
d) 实方阵都能写成Q R的形式, Q是正交矩阵, R是上三角矩阵
四.（12分）判断对错, 正确的请给出证明, 错误的举出反例.
1) 在包含n (n>1)个向量的向量组中, 若任意n - 1 个向量都线性
无关, 则整个向量组也线性无关.
解: 此命题错误. 例如, 考察向量组 , 其中由任意一个
向量构成的部分组都线性无关, 但整个向量组线性相关.
2) 设A是m ´ n矩阵. 若存在矩阵B与C, 使得 BA = In , AC = Im , 则必有m = n , 且 B = C .
解: 此命题正确. 由矩阵乘法的结合律, 有
C = ( BA ) C = B ( AC ) = B , 于是 m = n.
五.（20分）设 f = 2 x1 x2 + 2 x1 x3 + 2 x2 x3 是三元二次型.
(1) 将 f 写成 X TA X的形式, 并求A的特征值与特征向量;
(2) 求正交矩阵P及对角矩阵D, 使得A = P D P T ;
(3) 求二次齐次函数 f ( x1 , x2 , x3 ) 在单位球面 x12 + x22 + x32 = 1
上的最大、最小值, 并确定在何处取到.
解: (1)

A的特征值为l = - 1 (代数二重), 2 .

对l = - 1解齐次方程组 ( A + I ) X = 0 :

通解为x1 = - x2 - x3 , x2 、x3为自由变量. 写成向量形式

α1 = [ -1 1 0 ] T , α2 = [ -1 0 1 ] T 构成l = -1特征子空间的一组基.
对l = 2解齐次方程组 ( A - 2 I ) X = 0 :

通解为 x1 = x3 , x2 = x3 , x3为自由变量. 向量形式:

于是α3 = [ 1 1 1 ] T构成l = 2特征子空间的一组基.
(2) 将α1 = [ -1 1 0 ] T , α2 = [ -1 0 1 ] T正交化:
令β1 = α1 ,

再单位化:

将α3 = [ 1 1 1 ] T 也单位化:
g1 , g2 , g3 构成R3 的标准正交基, P = [ g1 g2 g3 ] 为正交矩阵, 且

(3) 做正交替换X = P Y ,
f = X TA X = Y T P TA P Y = Y T D Y = - y12 - y22 + 2 y32 .
由于P正交, x12 + x22 + x32 = 1 当且仅当 y12 + y22 + y32 = 1.
当 y12 + y22 + y32 = 1时,
f = - y12 - y22 + 2 y32 £ 2( y12 + y22 + y32 ) = 2,
等号成立当且仅当 y3 = ±1, y1 = y2= 0, 即X取l = 2特征子空间中的单位向量 ± g3时成立.
类似地, 当 y12 + y22 + y32 = 1时,
f = - y12 - y22 + 2 y32 ³ - ( y12 + y22 + y32 ) = -1,
等号成立当且仅当X取l = -1特征子空间中的单位向量时成立.

六.（8分）设 A 是一个n阶正定矩阵, 其 ( i , j ) 元记为a i j .
证明: a 11 a 22 . . . a nn ³ | A | .
证法1. 对 n 应用数学归纳法.
当 n = 1 时, A = a 11 = | A | , 命题成立.
以下设命题对n -1成立, 考察A是n阶矩阵的情况.
记A =, 其中An-1是n - 1阶正定矩阵, a是 n - 1
维列向量. 对 A 做成对的行,列分块运算, 得

于是 | A | = | An-1 | ( ann - aT An-1-1 a ) .
由归纳假设, | An-1 | £ a11 a22 . . . an-1n-1 . 又由An-1 正定知An-1
的特征值都 > 0, 于是实对称矩阵An-1-1的特征值也都大于0,
故An-1-1 也正定. 特别地, 有aT An-1-1 a ³ 0 .
综上所述, | A | = | An-1 | ( ann - aT An-1-1 a )
£ a11 a22 . . . an-1n-1 ann .
故命题对所有 n ³ 成立.
证法2. 利用Cholesky 分解: 每个正定矩阵A 都可写成
A = LT L , 其中L是对角元都 > 0 的实上三角矩阵.
设 L 的 ( i , j ) 元为b i j , 则有
a j j = b1 j2 + b2 j2 + … +bj j2 ³ bj j2 .
故 a 11 a 22 . . . a nn ³ b112 b222 . . . bnn2 = | LT L | = | A |.