2022版高考数学一轮复习-第4章-三角函数与解三角形-第6节-正弦定理与余弦定理学案新人教B版.doc

2022版高考数学一轮复习 第4章 三角函数与解三角形 第6节 正弦定理与余弦定理学案新人教B版

2022版高考数学一轮复习 第4章 三角函数与解三角形 第6节 正弦定理与余弦定理学案新人教B版

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第6节　正弦定理与余弦定理

一、教材概念·结论·性质重现
1．正弦定理
在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．
正弦定理的变形公式：
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝.
(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.

若已知两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理．在根据另一边所对角的正弦值，确定角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是结合“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题．
2．余弦定理
三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍．即
a2＝b2＋c2－2bccos A，
b2＝a2＋c2－2accos B，
c2＝a2＋b2－2abcos C.
余弦定理的推论：
cos A＝，cos B＝，
cos C＝.
3．三角形的面积公式
(1)S＝ah(h表示边a上的高)．
(2)S＝bcsin A＝acsin B＝absin C.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
4．常用结论
在△ABC中，常用以下结论：
(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.
(2)在三角形中大边对大角，大角对大边．
(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
(4)sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin ＝cos ；cos ＝sin .
(5)tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C.
(6)A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B.
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形．( √ )
(2)在△ABC中，＝.( √ )
(3)在△ABC中，a2＋b2>c2是△ABC为锐角三角形的必要不充分条件．( √ )
(4)在△ABC中，若sin Asin B<cos Acos B，则此三角形是钝角三角形．( √ )
2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝(　　)
A． B．
C．2 D．3
D　解析：由余弦定理，得4＋b2－2×2bcos A＝5，整理得3b2－8b－3＝0，解得b＝3或b＝－(舍去)．故选D.
3．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．若a＝2bcos C，则此三角形一定是(　　)
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
C　解析：在△ABC中，因为cos C＝，所以a＝2bcos C＝2b·，所以a2＝a2＋b2－c2，所以b＝c，
所以此三角形一定是等腰三角形．
4．在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝，则sin B＝(　　)
A. B.
C. D.1
B　解析：根据正弦定理＝，有＝，得sin B＝.故选B.
5．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，A＝45°.若三角形有两解，则边b的取值范围是________．
(2,2)　解析：如图，△ABC有两解的充要条件是bsin 45°<2<b，解得2<b<2.故b的取值范围是(2,2)．

考点1　利用正弦定理、余弦定理解三角形——基础性

1．(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则cos B＝
(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C.　　 D.
A　解析：由余弦定理得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C
＝42＋32－2×4×3×＝9，所以AB＝3.
又由余弦定理可知
cos B＝＝＝.
2．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin B＝4csin C，cos A＝－，则＝(　　)
A．6 B．5
C．4 D．3
A　解析：因为asin A－bsin B＝4c·sin C，所以由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.由余弦定理得cos A＝＝＝＝－，所以＝6.
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝________.
75°　解析：由正弦定理，得sin B＝＝＝.因为0°＜B＜180°，且b＜c，所以B＜C，故B＝45°，所以A＝180°－60°－45°＝75°.
4．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin A＋acos B＝0，则B＝________.
　解析：因为bsin A＋acos B＝0，
所以＝.
由正弦定理＝，得－cos B＝sin B，
所以tan B＝－1.又B∈(0，π)，所以B＝.

利用正、余弦定理解三角形的策略
(1)已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形，可用正弦定理，也可用余弦定理．用正弦定理时，需判断其解的个数；用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数．
(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角进行判断．结合图像求解较为直观易解．
考点2　判断三角形的形状——应用性

设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
B　解析：因为bcos C＋ccos B＝asin A，由正弦定理得sin Bcos C＋sin C·cos B＝sin2A，所以sin(B＋C)＝sin2A，即sin A＝sin2A.又sin A>0，所以sin A＝1，所以A＝，故△ABC为直角三角形．

若本例条件变为＝，判断△ABC的形状．
解：由＝，
得＝，
所以sin Acos A＝cos Bsin B，
所以sin 2A＝sin 2B.
因为A，B为△ABC的内角，
所以2A＝2B或2A＝π－2B，
所以A＝B或A＋B＝，
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．

1．判断三角形形状的常用途径

2．判断三角形的形状的注意点
在判断三角形的形状时，一定要注意三角形的解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中，要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响．在等式变形时，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．

1．在△ABC中，＝sin2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(　　)
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
A　解析：由cos B＝1－2sin2得sin2＝，
所以＝，即cos B＝.
(方法一)由余弦定理得cos B＝＝，即a2＋c2－b2＝2a2，
所以a2＋b2＝c2.所以△ABC为直角三角形．又无法判断两直角边是否相等．故选A.
(方法二)由正弦定理得cos B＝，又sin A＝sin (B＋C)＝sin Bcos C＋cos B·sin C，所以cos Bsin C＝sin Bcos C＋cos B·sin C，即sin Bcos C＝0.又sin B≠0，所以cos C＝0.又角C为三角形的内角，所以C＝，所以△ABC为直角三角形．又因为无法判断两直角边是否相等．故选A.
2．给出下列命题：
①若tan Atan B>1，则△ABC一定是钝角三角形；
②若sin2A＋sin2B＝sin2C，则△ABC一定是直角三角形；
③若cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A)＝1，则△ABC一定是等边三角形．
其中正确命题的序号为________．
②③　解析：①因为tan Atan B>1，且A，B为三角形内角，所以tan A>0，tan B>0，所以A，B均为锐角．又因为－tan C＝tan(A＋B)＝<0，所以tan C>0，所以C为锐角，所以△ABC不是钝角三角形，故①错误．
②由正弦定理及条件，得a2＋b2＝c2，
所以△ABC一定为直角三角形，故②正确．
③由cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A)＝1及A，B，C为三角形内角，可得cos(A－B)＝cos(B－C)＝cos(C－A)＝1，所以A＝B＝C.故③正确．
考点3　三角形的面积——综合性

(2020·广东化州二模)在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c.若S△ABC＝2，a＋b＝6，＝2cos C，则c＝(　　)
A．2 B．2
C．4 D．3
B　解析：因为＝＝＝1，
所以2cos C＝1，所以C＝60°.若S△ABC＝2，则absin C＝2，所以ab＝8.因为a＋b＝6，所以c2＝a2＋b2－2ab·cos C＝(a＋b)2－2ab－ab＝(a＋b)2－3ab＝62－3×8＝12，所以c＝2.故选B.
(2020·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝150°.
(1)若a＝c，b＝2，求△ABC的面积；
(2)若sin A＋sin C＝，求C.
解：(1)由余弦定理得a2＋c2－2accos B＝b2，
将a＝c，b＝2，B＝150°代入，
可得(c)2＋c2－2×c×ccos 150°＝(2)2，
整理得7c2＝28，解得c＝2.
所以a＝2.
所以S△ABC＝acsin B＝×2×2×＝.
(2)因为A＋B＋C＝π，
所以sin A＝sin(B＋C)．
又因为sin A＋sin C＝，
所以sin(B＋C)＋sin C＝，
所以sin Bcos C＋cos Bsin C＋sin C＝.
将B＝150°代入，
整理得cos C＋sin C＝，
即sin(C＋30°)＝.
因为B＝150°，所以0°＜C＜30°，
即0°＜C＋30°＜60°，
所以C＋30°＝45°，解得C＝15°.

求解三角形面积问题的方法技巧
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．
(2)若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．
总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．

1．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为________．
6　解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B.
又因为b＝6，a＝2c，B＝，
所以36＝4c2＋c2－2×2c2×，
所以c＝2，a＝4，
所以S△ABC＝acsin B＝×4×2×＝6.
2．(2020·全国卷Ⅰ)如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC＝1，AB＝AD＝，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，则cos∠FCB＝________.

－　解析：AB⊥AC，AB＝，AC＝1，
由勾股定理得BC＝＝2.
同理得BD＝，所以BF＝BD＝，
在△ACE中，AC＝1，AE＝AD＝，∠CAE＝30°，
由余弦定理得CE2＝AC2＋AE2－2AC·AEcos 30°＝1＋3－2×1××＝1，
所以CF＝CE＝1，
在△BCF中，BC＝2，BF＝，CF＝1，
由余弦定理得cos∠FCB＝＝＝－.
3．(2020·菏泽高三联考)在①B＝，②a＝2，③bcos A＋acos B＝＋1这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决相应问题．
已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S.若4S＝b2＋c2－a2，b＝，且________，求△ABC的面积S的大小．
解：因为4S＝b2＋c2－a2，cos A＝，S＝bcsin A.
所以2bcsin A＝2bccos A.
显然cos A≠0，所以tan A＝1.
又A∈，所以A＝.
若选①，B＝，由＝，得a＝＝＝2.
又sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝，
所以S＝absin C＝×2××＝.
若选②，a＝2，由＝，得sin B＝＝＝.
因为B∈，所以cos B＝.
又sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝，
所以S＝absin C＝×2××＝.
若选③，bcos A＋acos B＝＋1，所以acos B＝1，
即a·＝1，所以a2＝6＋2c－c2.
又a2＝6＋c2－2c×＝6＋c2－2c，
所以6＋2c－c2＝6＋c2－2c，解得c＝＋1.
所以S＝bcsin A＝××(＋1)×sin ＝.

已知△ABC的三边长分别为a，b，c，满足a2＋b2＋2c2＝8，则三角形ABC面积的最大值为(　　)
A. B.
C. D.
[四字程序]
读
想
算
思
△ABC面积的最大值
1.面积的表达式；
2．以谁为变量？
用适当的变量表示S
转化与化归
a2＋b2＋2c2＝8
1.S＝ah；
2．S＝absin C；
3．边作变量；
4．角作变量；
5．海伦公式
S2＝a2b2·
(1－cos2C)；
S≤
1.均值不等式；
2．函数最值；
3．三角函数的性质

思路参考：余弦定理＋角化边＋二次函数的最值．
B　解析：因为a2＋b2＋2c2＝8，即a2＋b2＝8－2c2，
所以S2＝a2b2sin2C
＝a2b2(1－cos2C)
＝a2b2
＝a2b2－
≤2－
＝－＋c2
＝－2＋，
故当a2＝b2＝，c2＝时，S2有最大值，
所以△ABC面积的最大值为.

思路参考：设高转化，利用均值不等式．
B　解析：如图，过点C作CD⊥AB于点D.
设AD＝m，BD＝n，CD＝h.
因为a2＋b2＋2c2＝8，所以m2＋n2＋2h2＋2c2＝8.
因为m2＋n2≥＝，当且仅当m＝n时取等号．

故m2＋n2＋2h2＋2c2≥＋2h2＋2c2＝＋2h2≥2ch＝4S，
所以S≤，当且仅当m＝n，c＝h时取等号．
所以△ABC面积的最大值为.

思路参考：利用海伦公式S＝＋均值不等式．
B　解析：设p＝(a＋b＋c)，则p－a＝(b＋c－a)，p－b＝(a＋c－b)，p－c＝(a＋b－c)．
所以S＝
＝
＝.
因为a2＋b2＋2c2＝8，
所以S＝.
因为a2＋b2＋2c2＝8，
所以4a2b2≤(a2＋b2)2
＝(8－2c2)2.
所以S≤＝.
当c2＝时，S2有最大值.
所以△ABC面积的最大值为.

思路参考：建系设点．
B　解析：如图，以AB所在直线为x轴，以线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系．

不妨令x1>0，y2>0，设A(－x1,0)，
B(x1,0)，C(x2，y2)．
因为a2＋b2＋2c2＝8，
所以(x1－x2)2＋y＋(x1＋x2)2＋y＋8x＝8，
所以5x＋x＋y＝4.
因为S＝x1y2，所以2S≤5x＋y＝4－x≤4.
所以S≤，当且仅当x2＝0,5x＝y＝2时取等号．
所以△ABC面积的最大值为.

1．本题考查三角形的面积的最值问题，解法灵活多变，基本解题策略是借助于三角形的相关知识将目标函数转化为边之间的代数关系，借助于三角函数的性质求最值，对于此类多元最值问题要注意合理转化或消元．
2．基于课程标准，解答本题一般需要熟练掌握数学阅读技能、运算求解能力、推理能力和表达能力，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养，试题的解答过程展现了数学文化的魅力．
3．基于高考数学评价体系，本题创设了数学探索创新情景，通过知识之间的联系和转化，将最值转化为熟悉的数学模型．本题的切入点十分开放，可以从不同的角度解答题目，体现了灵活性；同时，解题的过程需要知识之间的转化，体现了综合性．

(2020·全国卷Ⅱ)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C.
(1)求A；
(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值．
解：(1)由正弦定理和已知条件sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C，
得BC2－AC2－AB2＝AC·AB.①
由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos A．②
由①②得cos A＝－.
因为0<A<π，所以A＝.
(2)由正弦定理及(1)得＝＝＝2，
从而AC＝2sin B，AB＝2sin(π－A－B)＝3cos B－sin B.
故BC＋AC＋AB＝3＋sin B＋3cos B＝3＋2sin.
又0<B<，所以当B＝时，△ABC的周长取得最大值3＋2.