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2022版高考数学一轮复习 第2章 函数的概念与性质 第5节 指数与指数函数学案新人教B版

2022版高考数学一轮复习 第2章 函数的概念与性质 第5节 指数与指数函数学案新人教B版

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第5节　指数与指数函数

一、教材概念·结论·性质重现
1．n次方根
(1)根式的概念
一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得xn＝a，则x称为a的n次方根．当有意义时，称为根式，n称为根指数，a称为被开方数．
(2)a的n次方根的性质
①()n＝a；
②当n为奇数时，＝a；
当n为偶数时，＝|a|＝
2．有理数指数幂
幂的有
关概念
正数的正分数指数幂：a＝()m＝ (a＞0，m，n∈N*，n＞1)
正数的负分数指数幂：a＝＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
指数幂
的运算性质
aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；
(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；
(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)
3．指数函数的概念
一般地，函数y＝ax称为指数函数，其中a是常数，a>0且a≠1.形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．
4．指数函数的图像与性质

0<a<1
a>1
图像

定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
当x<0时，y>1；
当x>0时，0<y<1
当x>0时，y>1；
当x<0时，0<y<1
减函数
增函数
5．比较幂的大小的方法
(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断．
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的图像的变化规律来判断．
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断．
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)＝()n＝a.( × )
(2)(－1)＝(－1)＝.( × )
(3)函数y＝a－x是R上的增函数．( × )
(4)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)．( × )
(5)函数y＝2x－1是指数函数．( × )
(6)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.( × )
2．计算[(－2)6]－(－1)0的结果为(　　)
A．－9　　　　　　　　 B．7
C．－10 D．9
B　解析：原式＝26×－1＝23－1＝7.故选B.
3．若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图像经过点P，则f(－1)＝________.
　解析：由题意知＝a2，所以a＝，所以f(x)＝x，所以f(－1)＝
－1＝.
4．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________.
－　解析：当a>1时，易知f(x)在[－1,0]上单调递增，
则即无解．
当0<a<1时，易知f(x)在[－1,0]上单调递减，
则即解得所以a＋b＝－.
5．已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________．
c＜b＜a　解析：因为y＝x是减函数，所以＞＞0，即a＞b＞1.
又c＝＜0＝1，所以c＜b＜a.

考点1　指数幂的化简与求值——基础性

1．若实数a>0，则下列等式成立的是(　　)
A．(－2)－2＝4 B．2a－3＝
C．(－2)0＝－1 D．(a－)4＝
D　解析：对于A，(－2)－2＝，故A错误；对于B,2a－3＝，故B错误；对于C，(－2)0＝1，故C错误；对于D，(a)4＝，故D正确．
2．化简：·(a＞0，b＞0)＝________.
　解析：原式＝2×＝21＋3×10－1＝.
3．计算：＋(0.002)－10(－2)－1＋π0＝________.
－　解析：原式＝－2＋500－＋1＝＋10－10－20＋1＝－.

指数幂运算的一般原则
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．
(4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式要力求统一．
考点2　指数函数的图像及应用——综合性

(1)已知函数f(x)＝2x－2，则函数y＝|f(x)|的图像可能是(　　)

B　解析：y＝|f(x)|＝|2x－2|＝易知函数y＝|f(x)|的图像的分段点是x＝1，且过点(1,0)，(0,1)，|f(x)|≥0. 又y＝|f(x)|在(－∞，1)上单调递减．故选B.
(2)若函数y＝|2x－1|的图像与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围为________．
(0,1)　解析：作出曲线y＝|2x－1|的图像与直线y＝b如图所示．由图像可得b的取值范围是(0,1)．

指数函数图像的应用问题的求解方法
(1)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图像，数形结合求解．
(2)根据指数函数图像判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图像的交点进行判断．

1．若函数y＝|2x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为________．
(－∞，0]　解析：因为函数y＝|2x－1|的单调递减区间为(－∞，0]，所以k≤0，即k的取值范围为(－∞，0]．
2．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．
[－1,1]　解析：作出曲线|y|＝2x＋1的图像，如图所示，要使该曲线与直线y＝b没有公共点，只需－1≤b≤1.

3．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图像有两个公共点，则a的取值范围为________．
　解析：y＝|ax－1|的图像是由y＝ax的图像先向下平移1个单位，再将x轴下方的图像沿x轴翻折到x轴上方得到的．当a>1时，如图1，两个图像只有一个交点，不合题意；当0<a<1时，如图2，要使两个图像有两个交点，则0<2a<1，得0<a<.
综上可知，a的取值范围是.

考点3　指数函数的性质及应用——应用性

考向1　比较大小
已知a＝2，b＝4，c＝25，则(　　)
A．b<a<c　　　　　　B．a<b<c
C．b<c<a D．c<a<b
A　解析：因为a＝2＝4>4＝b，c＝25＝5>4＝a，所以b<a<c. 故选A.
考向2　解指数方程或不等式
(1)已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________．
　解析：当a<1时，41－a＝2，解得a＝；当a>1时，代入不成立．故a的值为.
(2)设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是________．
(－3,1)　解析：当a<0时，不等式f(a)<1可化为a－7<1，
即a<8，所以a<－3，所以a>－3.
又a<0，所以－3<a<0.
当a≥0时，不等式f(a)<1可化为<1.
所以0≤a<1.
综上，a的取值范围为(－3,1)．
考向3　指数型函数的单调性
已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则m的取值范围是________．
(－∞，4]　解析：令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间上单调递增，在区间上单调递减．而y＝2t在R上单调递增，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．
考向4　指数型函数的最值
若函数f(x)＝ax2－4x＋3有最大值3，则a＝________.
1　解析：令h(x)＝ax2－4x＋3，y＝h(x)．因为f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，
因此必有解得a＝1，
即当f(x)有最大值3时，a的值为1.

综合应用指数函数性质的常考题型及求解策略
常考题型
求解策略
比较幂值
的大小
(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；
(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小
解简单指
数不等式
先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解，要注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论
探究指数
型函数的
性质
与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致，另外要明确复合函数的构成，借助“同增异减”，将问题归结为内层函数相关的问题加以解决

1．已知f(x)＝2x－2－x，a＝，b＝，c＝log2，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为(　　)
A．f(b)＜f(a)＜f(c)
B．f(c)＜f(b)＜f(a)
C．f(c)＜f(a)＜f(b)
D．f(b)＜f(c)＜f(a)
B　解析：易知f(x)＝2x－2－x在R上为增函数．又a＝＝＞＝b＞0，c＝log2＜0，则a＞b＞c，所以f(c)＜f(b)＜f(a)．
2．(2020·全国卷Ⅱ)若2x－2y＜3－x－3－y，则(　　)
A．ln(y－x＋1)＞0
B．ln(y－x＋1)＜0
C．ln|x－y|＞0
D．ln|x－y|＜0
A　解析：(方法一)由2x－2y＜3－x－3－y，可得2x－3－x＜2y－3－y.
令f(x)＝2x－3－x，则f(x)在R上单调递增，且f(x)＜f(y)，
所以x＜y，即y－x＞0.
由于y－x＋1＞1，
故ln(y－x＋1)＞ln 1＝0.故选A.
(方法二)取x＝－1，y＝0，满足2x－2y＜3－x－3－y，
此时ln(y－x＋1)＝ln 2＞0，ln|x－y|＝ln 1＝0，可排除BCD.故选A.
3．函数y＝x2＋2x－1的值域是(　　)
A．(－∞，4) B．(0，＋∞)
C．(0,4] D．[4，＋∞)
C　解析：设t＝x2＋2x－1，则y＝t.因为0<<1，所以y＝t为关于t的减函数．因为t＝(x＋1)2－2≥－2，所以0<y＝t≤－2＝4.故所求函数的值域为(0,4]．
4．函数f(x)＝4x－2x＋1的单调递增区间是________．
[0，＋∞)　解析：设t＝2x(t>0)，则y＝t2－2t的单调递增区间为[1，＋∞)．令2x≥1，得x≥0.又y＝2x在R上单调递增，所以函数f(x)＝4x－2x＋1的单调递增区间是[0，＋∞)．

(2020·临沂月考)设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a>c>b B．a>b>c
C．c>a>b D．b>c>a
[四字程序]
读
想
算
思
比较大小
比较大小的方法是什么？
式子变换
转化与化归
a, b, c均为幂值的形式
1.利用函数单调性；
2．通过中间量比较大小；
3．作差或商比较
1.构造函数；
2．统一幂指数；
3．化为根式形式
注意分数指数幂的等价变形以及分数指数幂的运算法则

思路参考：构造指数函数，利用单调性求解．
A　解析：先比较b与c的大小，构造函数y＝x. 因为0<<1，所以函数y＝x为减函数．又因为>，所以b＝<＝c. 再比较a与c，因为＝＝>0＝1，所以a>c，所以a>c>b.故选A.

思路参考：统一幂指数，利用幂函数单调性比较大小．
A　解析：因为a，b，c为正实数，且a5＝2＝，b5＝3＝，c5＝
2＝，
所以a5> c5> b5，即a>c>b.故选A.

思路参考：将三个数转化为同次根式的形式比较大小．
A　解析：因为a＝，b＝，c＝，所以a>c>b.故选A.

1．本题给出了三种比较指数幂大小的方法，解法一是构造函数法，利用指数函数性质比较大小，利用这种方法应注意底数是否大于1；解法二与解法三比较类似，都是对a，b，c进行简单变形，转化为同次根式的形式，由被开方数的大小可得出a，b，c的大小．特别是解法三，结构较为简洁，转化为同次根式迅速求解．
2．基于新课程标准，对于比较大小的问题，要熟练掌握基本初等函数的性质，尤其是单调性，同时也要熟练掌握指数式与对数式的互化，指数幂的运算法则等知识. 比较大小问题体现了逻辑推理、数学运算的数学素养．

(多选题)已知a，b满足等式a＝b，下列四个关系式中可能成立的是(　　)
A．0＜b＜a B．a＜b＜0
C．0＜a＜b D．b＜a＜0
AB　解析：函数y1＝x与y2＝x的图像如图所示．

由a＝b得a<b<0或0<b<a或a＝b＝0.故AB可能成立，CD不可能成立．