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2022版高考数学一轮复习 第2章 函数的概念与性质 第4节 二次函数与幂函数学案新人教B版

2022版高考数学一轮复习 第2章 函数的概念与性质 第4节 二次函数与幂函数学案新人教B版

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第4节　二次函数与幂函数

一、教材概念·结论·性质重现
1．幂函数的概念
一般地，函数y＝xα称为幂函数，其中α为常数．

幂函数的特征
(1)自变量x处在幂底数的位置，幂指数α为常数．
(2)xα的系数为1.
(3)解析式只有一项．
2．常见的五种幂函数的图像

3．幂函数的性质
(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图像，并且图像都通过点(1,1)．
(2)如果α>0，则幂函数的图像通过原点，并且在(0，＋∞)上是增函数．
(3)如果α<0，则幂函数在(0，＋∞)上是减函数，且在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图像在y轴右方且无限逼近y轴；当x无限增大时，图像在x轴上方且无限逼近x轴．
4．二次函数的图像与性质
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图像

定义域
R
值域

单调性
在上单调递增；
在上单调递减
在上单调递增；
在上单调递减
奇偶性
当b＝0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数
顶点

对称性
图像关于直线x＝－成轴对称图形

(1)二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关．
(2)若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时，恒有f(x)>0；当时，恒有f(x)<0.
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)函数y＝2x是幂函数．( × )
(2)如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是原点．( √ )
(3)当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．( × )
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数．( × )
2．已知幂函数y＝f(x)的图像经过点，则f(2)＝(　　)
A．　　　　　　　　　 B．4
C． D．
C　解析：设f(x)＝xα，因为图像过点，所以f(4)＝4α＝，解得α＝－，所以f(2)＝2－＝.
3．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图像在x轴上方，则a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
C　解析：由题意知即解得a>.
4．已知函数y＝2x2－6x＋3，x∈[－1,1]，则y的最小值是________．
－1　解析：因为函数y＝2x2－6x＋3的图像的对称轴为x＝>1，所以函数y＝2x2－6x＋3在[－1，1]上单调递减．
当x＝1时，y取得最小值，所以ymin＝2－6＋3＝－1.
5．函数f(x)＝(m2－m－1)xm是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上单调递增，则实数m的值为__2__.

考点1　幂函数的图像与性质——基础性

1．与函数y＝x－1的图像关于x轴对称的图像大致是(　　)

B　解析：y＝x的图像位于第一象限且为增函数，所以函数图像是上升的，函数y＝x－1的图像可看作由y＝x的图像向下平移一个单位长度得到的(如选项A中的图像所示)．将y＝x－1的图像关于x轴对称后即为选项B.
2．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图像关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，则n的值为(　　)
A．－3 B．1
C．2 D．1或2
B　解析：因为幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n在(0，＋∞)上单调递减，所以所以n＝1.又n＝1时，f(x)＝x－2的图像关于y轴对称，故n＝1.故选B.
3．(2020·衡水中学调研)已知点(m,8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图像上．设a＝f ，b＝f(ln π)，c＝f(2－)，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a<c<b B．a<b<c
C．b<c<a D．b<a<c
A　解析：因为f(x)＝(m－1)xn为幂函数，
所以m－1＝1，则m＝2，f(x)＝xn.
又点(2,8)在函数f(x)＝xn的图像上，
所以8＝2n，知n＝3，故f(x)＝x3，且在R上是增函数．
又ln π>1>2－＝>，
所以f(ln π)>f(2－)>f，则b>c>a.

幂函数的图像的应用注意点
(1)对于幂函数图像，要抓住直线x＝1，y＝1，y＝x将第一象限分成的六个区域．根据α＜0,0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由幂函数的奇偶性决定．
(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
考点2　二次函数的解析式——综合性

已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，求二次函数f(x)的解析式．
解：(方法一：利用二次函数的一般式)
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得
解得
故f(x)＝－4x2＋4x＋7.
(方法二：利用二次函数的顶点式)
设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
因为f(2)＝f(－1)，所以抛物线的对称轴为x＝＝.
所以m＝.
又根据题意函数有最大值8，所以n＝8，
所以y＝f(x)＝a2＋8.
因为f(2)＝－1，
所以a2＋8＝－1，
解得a＝－4，
所以f(x)＝－4×2＋8＝－4x2＋4x＋7.
(方法三：利用二次函数的零点式)
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值ymax＝8，
即当a≠0时，＝8，
解得a＝－4；
当a＝0时，f(x)＝－1，不符合题意，舍去．
故f(x)＝－4x2＋4x＋7.

求二次函数解析式的策略

已知二次函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(0)＝3，对∀x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，则f(x)＝________.
x2－2x＋3　解析：由f(0)＝3，得c＝3.又f(1＋x)＝f(1－x)，
所以函数f(x)的图像关于直线x＝1对称，所以＝1，所以b＝2，所以f(x)＝x2－2x＋3.
考点3　二次函数的图像与性质——综合性

考向1　二次函数的图像
(1)已知函数f(x)＝ax2－x－c，且f(x)>0的解集为(－2,1)，则函数y＝f(－x)的图像为(　　)

D　解析：因为函数f(x)＝ax2－x－c，且f(x)>0的解集为(－2,1)，所以－2,1是方程ax2－x－c＝0的两根．所以a＝－1，c＝－2.所以f(x)＝－x2－x＋2.所以函数y＝f(－x)＝－x2＋x＋2，可知其图像开口向下，与x轴的交点坐标分别为(－1,0)和(2,0)．故选D.
(2)(多选题)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图像的一部分，图像过点A(－3,0)，对称轴为直线x＝－1.

下面四个结论中正确的是(　　)
A. b2>4ac
B．2a－b＝1
C．a－b＋c＝0
D．5a<b
AD　解析：因为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，A正确；二次函数的图像的对称轴为直线x＝－1，即－＝－1，得2a－b＝0，B错误；结合图像知，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，C错误；因为函数的图像开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a<b，D正确．故选AD.

1．解决二次函数图像问题的基本方法
(1)排除法，抓住函数的特殊性质或特殊点．
(2)讨论函数图像，依据图像特征，得到参数间的关系．
2．分析二次函数图像问题的要点
一是看二次项系数的符号；二是看对称轴和顶点；三是看函数图像上的一些特殊点．从这三方面入手，能准确地判断出二次函数的图像．反之，也能从图像中得到如上信息.
考向2　二次函数的单调性
若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－3,0) B．(－∞，－3]
C．[－2,0] D．[－3,0]
D　解析：当a＝0时，f(x)＝－3x＋1，在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意．当a≠0时，f(x)的图像对称轴为x＝.由f(x)在[－1，＋∞)上单调递减知解得－3≤a＜0.
综上，a的取值范围为[－3,0]．

若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调递减区间是[－1，＋∞)，则a＝________.
－3　解析：由题意知f(x)必为二次函数且a<0.
又＝－1，所以a＝－3.

利用二次函数的单调性解题时的注意点
(1)对于二次函数的单调性，关键是看图像的开口方向与对称轴的位置．若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论．
(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数(或式)通过二次函数的图像的对称性转化到同一单调区间上比较．
考向3　二次函数的最值
已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a的值．
解：f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.
①当a＝0时，函数f(x)在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；
②当a＞0时，函数f(x)在区间[－1,2]上单调递增，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝；
③当a＜0时，函数f(x)在区间[－1,2]上单调递减，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.
综上可知，a的值为或－3.

将本例改为：求函数f(x)＝x2＋2ax＋1在区间[－1,2]上的最大值．
解： f(x)＝(x＋a)2＋1－a2，
f(x)的图像是开口向上的抛物线，对称轴为直线x＝－a.
①当－a＜，即a＞－时，f(x)max＝f(2)＝4a＋5；
②当－a≥，即a≤－时，f(x)max＝f(－1)＝2－2a.
综上，f(x)max＝

二次函数的最值问题的类型
轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系．当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．
考向4　二次函数中的恒成立问题
已知函数f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1,1]上不等式f(x)>2x＋m恒成立，则实数m的取值范围是________．
(－∞，－1)　解析：f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0.
令g(x)＝x2－3x＋1－m，要使g(x)＝x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立，
只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可．
因为g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减，
所以g(x)min＝g(1)＝－m－1.
由－m－1>0，得m<－1.
因此实数m的取值范围是(－∞，－1)．

由不等式恒成立求参数取值范围
将问题归结为求函数的最值，依据是a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.

1．(2020·九江一中模拟)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图像可能是(　　)

A　解析：若0<a<1，则y＝logax在(0，＋∞)上单调递减；y＝(a－1)x2－x的图像开口向下，对称轴在y轴左侧，排除C，D.若a>1，则y＝logax在(0，＋∞)上单调递增，y＝(a－1)x2－x的图像开口向上，且对称轴在y轴右侧，因此B不正确，只有A满足．
2．若函数y＝x2－3x＋4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围为(　　)
A.(0,4] B.
C. D.
C　解析：y＝x2－3x＋4＝2＋的定义域为[0，m]．显然，在x＝0时，y＝4.又值域为，根据二次函数图像的对称性知≤m≤3.故选C.
3．(2020·唐山模拟)设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)．已知f(m)<0，则(　　)
A．f(m＋1)≥0 B．f(m＋1)≤0
C．f(m＋1)>0 D．f(m＋1)<0
C　解析：因为f(x)图像的对称轴为直线x＝－，f(0)＝a>0，所以f(x)的大致图像如图所示．

由f(m)<0，得－1<m<0.所以m＋1>0.所以f(m＋1)>f(0)>0.
4．设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1<x<4的一切x值都有f(x)>0，则实数a的取值范围为________．
　解析：由题意得a>－对1<x<4恒成立．
又－＝－22＋，<<1，
所以max＝.所以a>.