有理数域上的多项式的因式分解-应用数学论文-本科论文.doc

嘉应学院
本科毕业论文（设计）

（2014届）

题 目： 有理数域上的多项式的因式分解
姓 名： 江志会
学 号： 101010100
学 院： 数学学院
专 业： 数学与应用数学
指导老师： 许鸿儒
申请学位： 学士学位

嘉应学院教务处制

有理数域上的多项式的因式分解
摘 要
在多项式理论中，对于有理数域上多项式的因式分解的研究有着极其重要的地位。判断一元多项式是否能因式分解是不容易的。本文根据多项式的可约性和有理根的判断与求法的理论，探究多项式的因式分解的方法，并进行了归纳、整理和补充。字典

关键词：有理数域, 可约, 因式分解

ii

Abstract
In polynomial, the research on rational polynomial factorization has an extremely important position. Determine whether a polynomial can be factoring or not is not easy. According to the theory of irreducible polynomials and rational roots, we explore polynomial factorization method, and make some the induction, consolidation and supplements.
Key words： rational number field, reducible, factorization

目 录
1 有理数域上的多项式基本内容 1

1.1 多项式因式分解的基本概念 1

1.2 本原多项式 2

1.3 不可约多项式的艾森斯坦判别法 5

2 多项式的有理根及因式分解 7

2.1多项式在有理数域上的性质 7

2.2多项式有理根的判定 8

2.3多项式有理根的求法及因式分解 11

2.4因式分解的特殊解法 13

参考文献 15

1 有理数域上的多项式基本内容

1.1 多项式因式分解的基本概念

在算术中，我们已掌握了整数分解质因数的概念，如：；在此基础上，通过类比,我们得到因式分解的一般定义：
定义1.1.1 把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
对于一个多项式能否因式分解，不能孤立的来考虑，在不同的数域内有不同的结论。
例1 分解的因式
在有理数域中，它的分解式是：，分解到这里就不能再继续分解，不然的话，分解式的系数将超出有理数的范围。在实数域中,它的分解式是：，分解到这里，就不能再继续分解。在复数域中，它的分解式：。由此可见，对多项式的分解，必须先明确系数的数域，再理解其不能再分的含义。
所谓多项式在给定的数集内讨论，是指多项式中的一切系数，以及自变量所取的值，都要属于这个数集。
定义1.1.2 给定 的任何一个多项式 ， 对于F 中的任何一个不为零的元素。是 的因式。 也是 的因式，我们把 的这样的因式叫作它的平凡因式，任何一个零次多项式显然只有平凡因式。一个次数大于零的多项式可能只有平凡因式，也可能还有其它因式（非平凡因式或真因式）。
例2
由定义可以知道只有平凡因式，有非平凡因式
因此，我们研究多项式的因式分解，只是从它能否表示成非平凡因式的积来考虑的。

1.2 本原多项式
定义1.2.1 若是一个整系数多项式系数互素，那么叫作一个本原多项式。
引理1.2.1 两个本原多项式的乘积仍是一个本原多项式。
证 设给了两个本原多项式

并且

如果不是本原多项式，那么一定存在一个素数，它能整除所有系数,… , 由于和都是本原多项式，所以不能整除的所有系数，也不能整除所有系数。令a和b各是和的第一个不能被整除的系数。我们考察的系数 ,们有

这等式的左端被整除。根据选择和的条件，所有系数以及
都能被整除，因而等式右端除这一项外，其它每一项也都能被整除。因此乘积也必须被整除。但是一个素数，所以必须整除或.这与假设矛盾。
设是有理数域上的一个多项式。若是的系数不全是整数，那么以系数分母的一个公倍数乘，就得到一个整系数多项式。显然，多项式与在有理数域上同时可约或同时不可约。这样，在讨论有理数域上多项式的可约性时，只需讨论整系数多项式在有理数域上是否可约。
设是有理系数多项式，选取适当的整数乘以，总可以使是整系数多项式，如果的各项系数有公因式，可以提出来，即，，其中是各项系数互质的整系数多项式。
例3 ，这里 。
所以中的非零多项式，与中的本原多项式有紧密的联系。
定理1.2.1 设，且。则存在一个有理数使是中本原多项式。此外，如果有理数，使也是本原多项式，则。
实际上，设，这里都是有理数且。取整数使都是整数，并令，则

便是中本原多项式。
此外，如果有理数，使，及都是本原多项式，则，因都是本原的，故必须是整数，并且没有素因子，从而，即。这表明，中非零多项式本质上唯一地对应一个本原多项式。
定义1.2.2 设。如果在上仅有平凡因式的分解，即不能分解为中两个正次数多项式的积，则称为中不可约多项式。否则称在上可约(或可分解)。
例4 是不可约的，而在上可约。
研究在上是否可约，显然只需考虑是本原多项式的情形。我们注意到，如果在上可分解，因，则它在上当然是可约的。下面的结果表明，反过来的结论也成立。
定理1.2.2 设是本原多项式，如果在上可约，则在上也可约。
确切地说，设，这里，且，则存在有理数使得：
, 且
事实上，由定理1.2.1知，存在有理数，使得和都是本原多项式。于是

由引理1.2.1，是本原多项式，而也是本原多项式，故必须是整数，且没有素因子，即。因此，和都是(本原的)整系数多项式，证毕。
因此，中的多项式在上是否可约，与它在上是否可约是一回事。
定理1.2.3 若是一个整系数n(n>0)次多项式在有理数域上可约，那么总可以分解成次数都小于n的两个整系数多项式的乘积。
证明： 设

这里与都是有理数域上的次数小于n的多项式。令的系数的公分母是 .那么=,这里是一个整系数多项式。又令的系数的最大公因数是那么

这里是一个有理数而是一个本原多项式。同理，

这里是一个有理数而是一个本原多项式。于是

其中与是互素的整数，并且。由于是一个整系数多项式所以多项式的每一系数与 的乘积都必须被整除。但与 互素，所以的每一个系数必须被整除，这就是说，是多项式的每系数的一个公因数。但是一个本原多项式，因此而

和显然各与和有相同的次数，这样，可以分解成次数都小于n的两个整系数多项式的乘积。

1.3 不可约多项式的艾森斯坦判别法
由上一节知令是整数环上一个大于零次的多项式。如果在整数环上可约，即存在整数环上次数都小于次数的多项式, ，使得=，那么，, 自然可以看成有理数域上的多项式，这表明在有理数域上是可约的。反过来，如果在有理数域上是可约的，那么在整数环上也一定可约。
判别一个整系数多项式是否不可约，是一件极其困难和复杂的事情。下面的结果，给出了多项式为不可约的一个充分条件，用处相当广泛。
定理1.3.1 (艾森斯坦判别法)设是一个整系数多项式，其中。如果存在一个素数，使得，，但，在上不可约(从而在上也不可约)。
设有两个(非常数)整系数多项式：

及

使。因被整除，但不被整除，故与中恰有一个被整除，无妨设， 又不被整除。故。现在可取最小的下标r使，显然，又

因，而和式中其余项都被整除，故，这与定理中条件矛盾，证毕。
例 2 多项式，取素数 显然 满足 Eisenstein 判别法的三个条件，因而在有理数域上不可约。

2 多项式的有理根及因式分解
2.1多项式在有理数域上的性质
定理2.1.1 设为一个整系数多项式,且有一个奇数和一个偶数使得和均为奇数,则无整数根。
证明:(反证法)设有一个整数根，则由因式定理知：，即有 ，其中为除的商式,由于为整系数多项式,所以也为整系数多项式,所以由为奇数得为奇数,所以为奇数，又因为为偶数，所以为奇数;而由为奇数得为奇数,即有为奇数，又因为为奇数,所以为偶数,这样即为奇数又为偶数,显然矛盾,所以无整数根。
推论2.1.1 设为一个整系数多项式,且有一个整数根,若存在奇数使得为奇数,则对任意偶数必为偶数。
推论2.1.2 设为一个整系数多项式,且有一个整数根,若存在偶数使得为奇数,则对任意奇数必为偶数。
定理2.1.2 设为整系数多项式,若有个两两不同的整数根,则在有理数域上不可约。
证明: (反证法) 设的个两两不同的整数根为则有，。再设在有理数域上不是不可约多项式,因为所以在有理数域上可约,也即是在整数环上可约,所以存在整系数多项和，使得 其中，。所以 ,所以由,得，因此，所以,即有所以首项系数为负数与首项系数为1矛盾，所以在有理数域上不可约。
2.2多项式有理根的判定
存在性的判定通常可以用常数项的所有因数逐个地代入多项式去验证,但当常数项较大,因数较多,多项式的次数较高时,计算量之大,没有计算机的帮助是很难实现的. 如果先判别多项式的不可约,或者将多项式分解成几个多项式的积后再作判断. 这在理论上是可行的,但实际要将一个多项式分解因式时却不是一件容易的事情. 所以,研究整系数多项式有理根的存在性问题,还是从系数开始。
引理2.2.1 设是整系数多项式，且是本原的。如果，其中是有理系数多项式，那么一定是整系数的。
定理2.2.1 设是一个整系数多项式，若有素数和正整数使得
(1) 不能被整除
(2) ；
(3) (i) 当时，。且；
(ii) 当，为正整数时， (注：当时 ，此时与(i)相同) ，那么 无有理根 。
证明：
当时，假设多项式存在有理根，，则在有理数域上从而。因为互素，所以是一个本原多项式，根据上述引理知式中都是整数，比较两边系数，即得
（1）
因为是素数，且，由（1）知 ，所以 或 ，
同时，因为，所以 且 。
如果，那么由 ，及 (1)中，所以 。
即，故。
又因为及 ，所以，即。
由，依次类推，即得 ，所以 。
又因为及 ,所以,即 ,
所以,故。与矛盾。必有，则。
由于 及由 (1)式中 ，所以 ，但，必有 。
由(1)式依次类推知。
由及，得。又由前面所述知且，为素数。
则。矛盾,故无有理根。
当是正整数且时， (因为的情况为上述所证明)。此时，在中，令，得

由定理的条件显然知，的系数均为整数 因为，是正整数，且由定理的 (1) (2)知
， ，但
又由定理中 (3) (ii)知其中， 及，同时，由以上证明知无有理根， 故无有理根。
推论2.2.1 设为定理中的多项式 ，如果有一个素数，使
(1)；或 是正整数；
(2)；
(3)是正整数 ,
那么，无有理根。由定理知推论显然成立 。
2.3多项式有理根的求法及因式分解

定理2.3.1设

是一个整系数多项式．若是f(x)的一个有理根，这里(p，q)=1，则
(1) ，；
(2)
证 因为是的一个有理根，所以是的一次因式，故

由知道是本原多项式，所以由引理2.2.1知道Î .于是设
，
因此
。
比较两边系数，得
，
故
。
又
，
其中
定理2 .3.1给出了求整系数多项式有理根的一种方法．设的首项系数的因数为，常数项的因数是，
则的有理根只可能是。为求得有理根，可对逐个用综合除法进行试验。
当个数较多，逐个试验比较麻烦时，还可考虑如下事实。
若是的一个根, 则, .因此

都是整数．因此，结合除法只要对使与都是整数的进行试验(我们可以假定都不为0，否则可以用或除，再对所得的商式作类似的考察)。
例1 求多项式的有理根及因式分解
解 f(x)的有理根只可能为±1,±2，±，±；又因为,且

都不是整数，但

全为整数．所以对-2，±作综合除法试验．因为
，
所以-2是的一个有理根，且有
．
此时，易见-2不再是的根，且
．
于是(若观察不到,则可分别对,作综合除法试之),得的有理
根为-2与．所以，的因式分解为
2.4因式分解的特殊解法
1．拆项法
它是指把多项式的某一项分裂成为两项，利用分组来分解因式的方法，它常适用于双二次三项式、二次三项式、三次四项式、四次二项式、四次三项式等多项式的因式分解。
例1 分解因式 。
分析 把常数项分解为
解：

2．添项法
它是指在多项式中添加某一辅助项，利用分组来分解因式的方法。它也常适用于双二次三项式、二次三项式、三次四项式、四次二项式、四次三项式等多项式的因式分解。
例2 在有理数范围内分解因式。
分析 添加辅助项
解：

3．待定系数法
它是指形如二次二项式，在指定数域内能分解成为，通过恒等的性质，确定、、、, 待定分解因式的方法。它适用于有二次齐次项的多项式的因式分解，以及某些缺项的高次多项式的因式分解。
例3 分解因式。
解：由
设原式

与原式比较对应项系数，得

解得
故。

4．对称法
它是指形如二元二次式形式的多项式的因式分解的方法。
例4分解因式。
分析 当时原式，故可断定是原式的一个因子，同理、也是原式的因子
解：设原式，令；把他们代入等式的两边，得

化简整理，得，解得。故

参考文献
[1] 张禾瑞、郝鈵新．高等代数（第四版）[M]．北京：高等教育出版社，1999．
[2] 何军华、李永彬．高等代数[M]．北京：高等教育出版社，2012.
[3] 李长明、周焕山. 初等数学研究[M]． 北京：高等教育出版社，1995.
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