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2021高考物理一轮复习 第4章 曲线运动 万有引力与航天 专题六 天体运动的“四类热点”问题教案

2021高考物理一轮复习 第4章 曲线运动 万有引力与航天 专题六 天体运动的“四类热点”问题教案

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专题六　天体运动的“四类热点”问题

考点一　“双星、三星”模型
1．双星模型
(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。如图所示。

(2)特点
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即
＝m1ωr1，＝m2ωr2
②两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2
③两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L
④两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即
＝。
2．三星模型
(1)三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)。其中一个环绕星由其余两颗星的引力提供向心力：＋＝ma。
(2)三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)。每颗行星运动所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力来提供。2×cos 30°＝ma，其中L＝2Rcos 30°。

(2018·全国卷Ⅰ·20)(多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星(　　)
A．质量之积　　　　　　　 B.质量之和
C．速率之和 D.各自的自转角速度
BC　[两颗中子星运动到某位置的示意图如图所示

每秒转动12圈，角速度已知，
中子星运动时，由万有引力提供向心力得
＝m1ω2r1①
＝m2ω2r2②
l＝r1＋r2③
由①②③式得＝ω2l，所以m1＋m2＝，
质量之和可以估算。
由线速度与角速度的关系v＝ωr得
v1＝ωr1④
v2＝ωr2⑤
由③④⑤式得v1＋v2＝ω(r1＋r2)＝ωl，速率之和可以估算。
质量之积和各自自转的角速度无法求解。]
[变式1]　双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为(　　)
A.T　　　　　　　　　 B.T
C.T D.T
B　[双星间的万有引力提供向心力。
设原来双星间的距离为L，质量分别为M、m，圆周运动的圆心距质量为m的恒星距离为r。
对质量为m的恒星：G＝m2·r
对质量为M的恒星：G＝M2(L－r)
得G＝·L
即T2＝
则当总质量为k(M＋m)，间距为L′＝nL时，T′＝T，选项B正确。]
[变式2]　

天文观测中观测到有三颗星始终位于边长为l的等边三角形三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆做周期为T的匀速圆周运动，如图所示。已知引力常量为G，不计其他星球对它们的影响，关于这个三星系统，下列说法正确的是(　　)
A．它们两两之间的万有引力大小为
B．每颗星的质量为
C．三颗星的质量可能不相等
D．它们的线速度大小均为
A　[三颗星的轨道半径r等于等边三角形外接圆的半径，即r＝l。根据题意可知其中任意两颗星对第三颗星的合力指向圆心，所以任意两颗星对第三颗星的万有引力等大，由于任意两颗星到第三颗星的距离相同，故任意两颗星的质量相同，所以三颗星的质量一定相同，设每颗星的质量为m，则F合＝2Fcos 30°＝。星球做匀速圆周运动，合力提供向心力，故F合＝mr，解得m＝，它们两两之间的万有引力F＝＝＝，选项A正确，B、C错误；根据F合＝m可得，线速度大小v＝，选项D错误。]
考点二　近地卫星、赤道上物体及同步卫星的运行问题
1．近地卫星、同步卫星和赤道上随地球自转的物体的比较
如图所示，a为近地卫星，半径为r1；b为同步卫星，半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，半径为r3。

近地卫星
同步卫星
赤道上随地球自转的物体
向心力
万有引力
万有引力
万有引力的一个分力
轨道半径
r1<r2
r2>r3＝r1
角速度
由＝mrω2得ω＝ ，故ω1>ω2
同步卫星的角速度与地球自转角速度相同，故ω2＝ω3
ω1>ω2＝ω3
线速度
由＝得v＝ ，故v1>v2
由v＝rω得v2>v3
v1>v2>v3
向心加速度
由＝ma得a＝，故a1>a2
由a＝rω2得a2>a3
a1>a2>a3
2.特别注意
＝m对赤道上的物体不适用。
有a、b、c、d四颗卫星，a还未发射，在地球赤道上随地球一起转动，b在地面附近近地轨道上正常运动，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，设地球自转周期为24 h，所有卫星的运动均视为匀速圆周运动，各卫星排列位置如图所示，则下列关于卫星的说法中正确的是(　　)

A．a的向心加速度等于重力加速度g
B．c在4 h内转过的圆心角为
C．b在相同的时间内转过的弧长最长
D．d的运动周期可能是23 h
C　[在地球赤道表面随地球自转的卫星，其所受万有引力提供重力和其做圆周运动的向心力，a的向心加速度小于重力加速度g，选项A错误；由于c为同步卫星，所以c的周期为24 h，因此4 h内转过的圆心角为θ＝，选项B错误；由四颗卫星的运行情况可知，b运动的线速度是最大的，所以其在相同的时间内转过的弧长最长，选项C正确；d运行的周期比c要长，所以其周期应大于24 h，选项D错误。]
[变式3]　

(多选)如图，同步卫星与地心的距离为r，运行速率为v1，向心加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2。第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则下列比值正确的是(　　)
A.＝　　　　　　 B.＝2
C.＝ D.＝
AD　[本题中涉及三个物体，其已知量排列如下
地球同步卫星：轨道半径r，运行速率v1，加速度a1
地球赤道上的物体：轨道半径R，随地球自转的向心加速度a2
近地卫星：轨道半径R，运行速率v2
对于卫星，其共同特点是万有引力提供向心力，有
G＝m，故＝ 。故选项D正确；
对于同步卫星和地球赤道上的物体，其共同特点是角速度相等，有a＝ω2r，故＝。故选项A正确。]
[变式4]　

(多选)图中的甲是地球赤道上的一个物体，乙是“神舟十号”宇宙飞船(周期约90 min)，丙是地球的同步卫星，它们运行的轨道示意图如图所示，它们都绕地心做匀速圆周运动。下列有关说法中正确的是(　　)
A．它们运动的向心加速度大小关系是a乙>a丙>a甲
B．它们运动的线速度大小关系是v乙<v丙<v甲
C．已知甲运动的周期T甲＝24 h，可计算出地球的密度ρ＝
D．已知乙运动的周期T乙及轨道半径r乙，可计算出地球质量M＝
AD　[乙和丙都是人造卫星，由G＝man＝可得：
an＝，v＝ 所以a乙>a丙，v乙>v丙，B错；又因为甲和丙的角速度相同，由an＝ω2r可得，a丙>a甲，故a乙>a丙>a甲，A对；甲是赤道上的一个物体，不是近地卫星，故不能由ρ＝计算地球的密度，C错；由G＝mr乙可得，地球质量M＝，D对。]考点三　卫星(航天器)的变轨及对接问题
1．卫星变轨的实质
两类变轨
离心运动
近心运动
示意图

变轨起因
卫星速度突然增大
卫星速度突然减小
万有引力与向心力的大小关系
G<m
G>m
变轨结果
转变为椭圆轨道运动或在较大半径圆轨道上运动
转变为椭圆轨道运动或在较小半径圆轨道上运动
新圆轨道上运动的速率比原轨道的小，周期比原轨道的大
新圆轨道上运动的速率比原轨道的大，周期比原轨道的小
动能减小、势能增大、机械能增大
动能增大、势能减小、机械能减小
2.变轨的两种情况

(2020·武汉武昌调研)(多选)嫦娥四号探测器，简称四号星，由长征三号乙改二型运载火箭搭载着从地面发射后，进入地月转移轨道，经多次变轨后进入距离月球表面100 km的圆形环月轨道(图中的轨道Ⅲ)，于2018年12月30日8时55分在该轨道再次成功实施变轨控制，顺利进入预定的着陆准备轨道，并于2019年1月3日成功着陆在月球背面的艾特肯盆地冯·卡门撞击坑的预选着陆区，自此我国成为全球首个在月球背面着陆的国家。忽略四号星质量的变化，下列说法正确的是(　　)

A．四号星在轨道Ⅲ上的运行周期比在轨道Ⅱ上的大
B．四号星在轨道Ⅰ上的机械能比在轨道Ⅱ上的大
C．四号星在轨道Ⅲ上经过P点时的加速度大小比在轨道Ⅱ上经过P点时的大
D．四号星在轨道Ⅲ上经过P点时的速率比在轨道Ⅰ上经过P点时的小
BD　[由开普勒第三定律可知，轨道半径(或半长轴)越大，卫星在该轨道上的运行周期越大，因此四号星在轨道Ⅲ上的运行周期比在轨道Ⅱ上的运行周期小，A错误；四号星由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ时，应在P点减速，则四号星在轨道Ⅰ上的机械能比在轨道Ⅱ上的大，B正确；四号星在轨道Ⅲ和在轨道Ⅱ上经过P点时受到的万有引力相等，因此四号星在轨道Ⅲ和在轨道Ⅱ上经过P点时的加速度大小相等，C错误；四号星在轨道Ⅲ上做匀速圆周运动，则有G＝m，四号星在轨道Ⅰ上经过P点时做离心运动，则有G<m，显然v3<v1，D正确。]
[变式5]　

(2020·名师原创预测)近年来，我国的航天事业飞速发展，2019年1月3号“嫦娥奔月”掀起高潮。“嫦娥四号”进行人类历史上的第一次月球背面登陆。若“嫦娥四号”在月球附近轨道上运行的示意图如图所示，“嫦娥四号”先在圆轨道上做圆周运动，运动到A点时变轨为椭圆轨道，B点是近月点，则下列有关“嫦娥四号”的说法正确的是(　　)
A．“嫦娥四号”的发射速度应大于地球的第二宇宙速度
B．“嫦娥四号”要想从圆轨道进入椭圆轨道必须在A点加速
C．“嫦娥四号”在椭圆轨道上运行的周期比圆轨道上运行的周期要长
D．“嫦娥四号”运行至B点时的速率大于月球的第一宇宙速度
D　[“嫦娥四号”的发射速度应大于地球的第一宇宙速度7.9 km/s，小于地球的第二宇宙速度11.2 km/s，故A错误；“嫦娥四号”要想从圆轨道变轨到椭圆轨道，必须在A点进行减速，故B错误；由开普勒第三定律知＝，由题图可知，圆轨道的半径r大于椭圆轨道的半长轴a，故“嫦娥四号”在圆轨道上运行的周期T1大于在椭圆轨道上运行的周期T2，所以C错误；“嫦娥四号”要想实现软着陆，运行至B点时必须减速才能变为环月轨道，故在B点时的速率大于在环月轨道上运行的最大速率，即大于月球的第一宇宙速度，故D正确。]
[变式6]　

(多选)我国探月工程“绕、落、回”三步走的最后一步即将完成，即月球探测器实现采样返回，探测器在月球表面着陆的过程可以简化如下，探测器从圆轨道1上A点减速后变轨到椭圆轨道2，之后又在轨道2上的B点变轨到近月圆轨道3，示意图如图所示。已知探测器在轨道1上的运行周期为T1，O为月球球心，C为轨道3上的一点，AC与AO之间的最大夹角为θ，则下列说法正确的是(　　)
A．探测器要从轨道2变轨到轨道3需要在B点点火加速
B．探测器在轨道1上的速度小于在轨道2上经过B点的速度
C．探测器在轨道2上经过A点时速度最小，加速度最大
D．探测器在轨道3上运行的周期为 T1
BD　[探测器要从轨道2变轨到轨道3需要在B点减速，选项A错误；探测器在轨道1上的速度小于在轨道3上的速度，探测器在轨道2上经过B点的速度大于在轨道3上的速度，故探测器在轨道1上的速度小于在轨道2上经过B点的速度，选项B正确；探测器在轨道2上经过A点时速度最小，A点是轨道2上距离月球最远的点，故由万有引力产生的加速度最小，选项C错误；由开普勒第三定律可知＝，其中＝sin θ，解得T3＝ T1，选项D正确。]
考点四　天体中的“追赶相遇”问题
1．根据＝mrω2，可判断出谁的角速度大。
2．两星追上或相距最近时，两星运行的角度之差等于2π的整数倍；相距最远时，两星运行的角度之差等于π的奇数倍。卫星与地面上物体追及(卫星在地面上物体的正上方)时，要根据地面上物体与同步卫星角速度相同的特点进行判断。
(2019·湖南张家界三模)(多选)2018年7月27日将发生火星冲日现象，我国整夜可见，火星冲日是指火星、地球和太阳几乎排列在同一条直线上，地球位于太阳与火星之间，此时火星被太阳照亮的一面完全朝向地球，所以明亮且易于观察。地球和火星绕太阳公转的方向相同，轨迹都可近似为圆，火星公转轨道半径为地球公转轨道半径的1.5倍，则(　　)
A．地球的公转周期比火星的公转周期小
B．地球的运行速度比火星的运行速度小
C．火星冲日现象每年都会出现
D．地球与火星的公转周期之比为∶
AD　[已知火星公转轨道半径为地球的1.5倍，则由G＝mr得，T＝2π ，可知轨道半径越大，周期越大，故火星的公转周期比地球的大，选项A正确；又由G＝m可得v＝ ，则轨道半径越大，线速度(即运行速度)越小，故火星的运行速度比地球的小，选项B错误；根据
开普勒第三定律得，＝＝，因为地球的公转周期为1年，所以火星的公转周期大于1年，不是每年都出现火星冲日现象，故选项C错误，D正确。]
[变式7]　

经长期观测发现，A行星运行轨道的半径近似为R0，周期为T0，其实际运行的轨道与圆轨道存在一些偏离，且周期性地每隔t0(t0>T0)发生一次最大的偏离，如图所示，天文学家认为形成这种现象的原因可能是A行星外侧还存在着一颗未知行星B，已知行星B与行星A同向转动，则行星B的运行轨道(可认为是圆轨道)半径近似为(　　)
A．R＝R0　　　　 B.R＝R0
C．R＝R0 D.R＝R0
A　[A行星运行的轨道发生最大偏离，一定是B对A的引力引起的，且B行星在此时刻对A有最大的引力，故此时A、B行星与恒星在同一直线上且位于恒星的同一侧，设B行星的运行周期为T，运行的轨道半径为R，根据题意有t0－t0＝2π，所以T＝，由开普勒第三定律可得＝，联立解得R＝R0，故A正确，B、C、D错误。]

1．(2017·全国Ⅰ卷·15)[本题源于人教版必修2·P9·例题1]发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球(忽略空气的影响)。速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网。其原因是(　　)
A．速度较小的球下降相同距离所用的时间较多
B．速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大
C．速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少
D．速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大
C　[在竖直方向，球做自由落体运动，由h＝gt2知，选项A、D错误。
由v2＝2gh知，选项B错误。
在水平方向，球做匀速直线运动，通过相同水平距离，速度大的球用时少，选项C正确。]
　　将一个物体以10 m/s的速度从10 m的高度水平抛出，落地时它的速度方向与地面的夹角θ是多少(不计空气阻力，取g＝10 m/s2)?

2．(2018·全国Ⅲ卷·15)[本题源于人教版必修2·P36·T1]为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍。P与Q的周期之比约为(　　)
A．2∶1　　　　　　　 B.4∶1
C．8∶1 D.16∶1
C　[地球的引力充当卫星的向心力，由G＝mr知，＝，
则两卫星＝，
因为rP∶rQ＝4∶1，
故TP∶TQ＝8∶1。
选项C正确。]
　　地球公转轨道的半径在天文学上常用来作为长度单位，叫做天文单位①，用来量度太阳系内天体与太阳的距离。已知火星公转的轨道半径是1.5天文单位，根据开普勒第三定律，火星公转的周期是多少个地球日
3．(2019·全国Ⅰ卷·21)[本题源于人教版必修2·P80·T1和人教版必修2·P41·“称量”地球的质量](多选)在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a­x关系如图中虚线所示。假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是星球N的3倍，则(　　)

A．M与N的密度相等
B．Q的质量是P的3倍
C．Q下落过程中的最大动能是P的4倍
D．Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍
教你审题：　
(1)“把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动”转化,弹簧—小球模型。

(2)“物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系”转化,
mg－kx＝ma变形,a＝g－x
满足,G＝m′g
AC　[设P、Q的质量分别为mP、mQ；M、N的质量分别为M1、M2，半径分别为R1、R2，密度分别为ρ1、ρ2；M、N表面的重力加速度分别为g1、g2。在星球M上，弹簧压缩量为0时有mPg1＝3mPa0，所以g1＝3a0＝G，密度ρ1＝＝；在星球N上，弹簧压缩量为0时有mQg2＝mQa0，所以g2＝a0＝G，密度ρ2＝＝；因为R1＝3R2，所以有ρ1＝ρ2，选项A正确；当物体的加速度为0时有mPg1＝3mPa0＝kx0，mQg2＝mQa0＝2kx0，解得mQ＝6mP，选项B错误；根据a ­x图线与坐标轴围成图形的面积和质量的乘积表示合外力做的功可知，EkmP＝mPa0x0，EkmQ＝mQa0x0，所以EkmQ＝4EkmP，选项C正确；根据运动的对称性可知，Q下落时弹簧的最大压缩量为4x0，P下落时弹簧的最大压缩量为2x0，选项D错误。]
　　题根1：把质量是0.2 kg的小球放在竖立的弹簧上，并把球往下按至A的位置，如图甲所示。迅速松手后，弹簧把球弹起，球升至最高位置C(图丙)，途中经过位置B时弹簧正好处于自由状态(图乙)。已知B、A的高度差为0.1 m，C、B的高度差为0.2 m，弹簧的质量和空气的阻力均可忽略。

(1)分别说出由状态甲至状态乙、 由状态乙至状态丙的能量转化情况。
(2)状态甲中弹簧的弹性势能是多少？状态乙中小球的动能是多少？
高考试题在这道题的基础上，从动力学角度出发，提供一个a­x图象，展示物体运动变化过程。
题根2：人教版教材必修2 P41：通过万有引力定律来“称量”地球的质量。